5.4
5.2.3. Gradele de libertate ale unui mecanism planMobilitatea unui mecanism este reprezentată de numărul de mişcări relative care pot exista între elementele constitutive ale mecanismului.
Un corp în plan are trei grade de libertate. O cuplă scade din numărul de grade de libertate ale unui corp, aşa cum s-a vazut anterior. Dacă există n corpuri mobile, l cuple inferioare(permit un grad de libertate) şi h cuple superioare(permit două gradde de libertate), numărul de grade de libertate rămase (sau mobilitatea mecanismului) este:
unde F = numărul total de grade de libertate în mecanism ;
Exemplul 1. Să considerăm mecanismul din fig.5.15. Avem n=3, l=4(A,B,C,D), h=0. Calculăm numărul de grade de libertate:
Fig.5.15
Notă: D şi E au aceaşi funcţie, deci sunt considerate o singură dată.
Exemplul 2 . Calculaţi numărul de grade de libertate al mecanismului din fig. 5.16a. Figura 5.16b reprezintă o aplicaţie a mecanismului.
Figura 5.16. Mecanismul de basculare al autocamionului
n = 4, l = 4 (A, B, C, D), h = 0 ,
Exemplul 3
Calculaţi mobilitatea mecanismelor din fig 5.17.
Figura 5.17
Pentru mecanismul din fig. 5.17.a: n = 6, l = 7, h = 0
Pentru mecanismul din fig.5.17.b: n = 4, l = 3, h = 2
5.2.4. Transformări finite
Se reiau şi se dezvoltă câteva consideraţii din capitolul 2 al acestui curs.
5.2.4.1 Transformările finite de rotaţie
Figura 5.18. Un punct al unui corp rigid care a suferit o rotaţie plană
Presupunem că un punct P al unui rigid cu mişcare plan paralelă suferă o deplasare finită, datorată unei rotaţii finite a corpului în jurul unuei axe perpendiculare pe plan, de unghi . Mişcarea punctului P poate fi descrisă printr-un operator de rotaţie R12:
unde:
Fig.5.19. Translaţie plană
5.2.4.2. Transformările de translaţie
Un punct P al unui rigid efectuează o translaţie plană trecând din P1 în P2 modificându-şi coordonatele cu (
x, y). Mişcarea finită poate fi descrisă printr-un operator de translaţie
:
,
unde:
.
5.2.4.3 Compunerea deplasărilor finite în plan
Figura 5.20 Compunerea deplasărilor finite în plan
Să considerăm un punct P al rigidului care îşi schimbă poziţia în urma unei rotaţii trecând din P1 în P2' într-o mişcare circulară după care efectuează o mişcare de translaţie trecând din P2' în P2. Putem reprezenta aceşti doi paşi prin:
şi:
Compunem aceste mişcări, obţinând:
unde D12 este operatorul deplasare totală:
În cazul general, când are loc o translaţie cu componente după amândouă axe, operatorul deplasare totală va fi:
.
5.2.5 Transformări în spaţiu
5.2.5.1. Rotaţia în spaţiu
Să considerăm o rotaţie a unui punct în jurul unei axe u care trece prin originea sistemului de coordonate. Unghiul de rotaţie în jurul acestei axe este θ . În acest caz operatorul de rotaţie este:
unde ux, uy, uz sunt proiecţiile ortogonale ale axei unitare u pe axele x, y respectiv z. S-a notat:
5.2.5.2 Translaţia în spaţiu
Dacă un punct P a rigidului execută o translaţie, trecând din P1 în P2 cu schimbarea de coordonate (
, , ), operatorul de translaţie va descrie această transformare:
5.2.5.3 Transformarea spaţială compusă, de rotaţie şi translaţie
La fel ca în cazul plan, prin compunerea celor două transformări se obţine:
5.2.6 Notaţiile lui Denavit-Hartenberg
Notaţiile Denavit-Hartenberg sunt frecvent utilizate pentru transformarea sistemelor de coordonate în cazul mecanismelor şi roboţilor. Ele pot fi utilizate pentru a reprezenta matricea de transformare între corpuri ca în fig. 5.22.
Figura 5.21 Notaţiile Denavit-Hartenberg
În această figură,
zi-1 şi zi sunt axele a două cuple de rotaţie;
θi reprezintă unghiul dintre axele xi-1 şi xi;
di este distanţa dintre originea sistemului de coordonate xi-1yi-1zi-1 şi piciorul perpendicularei comune pe cele două axe;
ai este mărimea perpendicularei comune;
αi este unghiul dintre axele zi-1 şi zi;
Matricea de transformare va fi:
;
Această matrice de transformare se mai notează cu T(ai, αi, θi, di).
5.2.7. Aplicarea tranformărilor matriceale la lanţuri cinematice
Un lanţ cinematic se compune din rigide aflate în legătură. Metoda matriceală poate fi utilizată pentru a obţine ecuaţiile de mişcare. Dacă elementele sistemului mecanic sunt legate pentru a forma un sistem închis, compunerea tuturor matricelor de transformare vor duce la matricea unitate. Dacă sistemul se compune din n corpuri avem:
T12T23...T(n-1)n = I .
Formula prezentată permite dezvoltarea unei metode de rezolvare a mecanismelor şi anume metoda ecuaţiilor de contur.