5.5

5.3. Metoda ciclurilor independente(Voinea şi Atanasiu) Prezentăm metoda ciclurilor independente după cursul lui Rădoi,M., Deciu,E. Şi Voiculescu,D., CURS DE MECANICĂ. Statică şi cinematică. Reprografia Institutului Politehnic Bucureşti, 1974. O prezentare mai completă este făcută în cartea celor care au propus metoda, Voinea,R., Atanasiu,M., Metode analitice noi în teoria mecanismelor. Ed. Tehnică, Bucureşti, 1964. Metoda se referă la rezolvarea mecanismelor, definite ca fiind lanţuri cinematice închise. Un mecanism este definit de majoritatea autorilor ca fiind format din cel puţin un lanţ cinematic închis. (Deşi această definiţie reduce semnificativ domeniul sistemelor mecanice ce pot fi studiate. Ca urmare s-a introdus noţiunea de sistem mecanic multicorp, care permite studierea atât a lanţurilor cinematice închise cât şi a celor deschise). Dacă se pot identifica mai multe lanţuri cinematice în cadrul unui mecanism, dintre acestea există un număr minim care detrmină problema dpdv mecanic. Ideea metodei este de a utiliza analogia cineto-statică pentru un întreg lanţ cinematic.

Astfel determinarea vitezei unghiulare şi a vitezei unui punct aparţinând ultimului corp dintr-un şir de „n” corpuri care se mişcă unele în raport cu celelalte, revine la reducerea în acel punct a sistemului de viteze unghiulare relative-considerate ca vectori alunecători, şi a sistemului de viteze lineare relative-considerate ca vectori liberi.Se vor obţine relaţiile:      

                                                                                                                            (5.3.1)

                  

                                                                                            (5.3.2)

Se va considera în cele ce urmează un lanţ cinematic închis alcătuit dintr-un număr de „n” corpuri legate între ele, pe care le vom numerota crescător, în ordine în care urmează în lanţul cinematic 1,2,    ,i,... n. Legăturile dintre corpuri sunt realizate prin cuplele cinematice A,B, ....,M. În cuplele cinematice s-au reprezentat vitezele unghiulare relative 

   şi vitezele lineare relative    . Viteza absolută a punctului P aparţinând corpului i, exprimată în funcţie de viteza absolută a corpului A aparţinând corpului i  este:

                                                                                                                         (5.3.3)

 

 Fig.5.22

unde avem şi relaţia:             

                                                                                                                         (5.3.4)

Cu   s-a notat viteza relativă a punctului P faţă de A, ambele aparţinând corpului i, adică:                                      

                                                                                                                         (5.3.5)

unde:                          

                                                                                                                         (5.3.6)

Cu    s-a notat viteza relativă a punctului A de pe corpul I faţă de punctual A de pe corpul j. Dacă se ţine seama de relaţiile   şi   expresia   a vitezei absolute a punctului P de pe corpul i va deveni:                          

                                                                                                    (5.3.7)

         Vectorul de poziţie   se poate exprima în funcţie de vectorii de poziţie ai punctelor A şi P faţă de reperul fix O:                         

                                                                                                                              (5.3.8)

Rezultă: 

                                                                                                      (5.3.9)

Însumând pentru toate corpurile dintr-un lanţ cinematic închis relaţiile de tipul (5.3.9) se obţine:

  

                                       (5.3.9)                

                                                                                                                                                                         Deoarece:              

                                                                                                                         (5.3.11)

care reprezintă viteza unghiulară relativă, şi inversând ordinea în produsul vectorial, suma din relaţia (5.3.10) se mai poate scrie:

                                                                                                                                       (5.3.12)

            Scriind relaţiile (5.3.6) şi (5.3.7) pentru toate corpurile unui lanţ cinematic închis şi ţinând seama de rezultatele (5.3.9)- (5.3.12) se obţin relaţiile:

                                                                                                                                 (5.3.13)

                                                                                                       (5.3.14)

Relaţiile vectoriale (5.3.13) şi (5.3.14) sunt utilizate la determinarea vitezelor şi sunt analoge ecuaţiilor de echilibru (pentru forţe şi momente) scrise pentru un sistem de corpuri solidificat. Se pune astfel în evidenţă analogia statică-cinematică.

În cazul problemelor care se rezolvă cu această metodă, relaţiile vectoriale (5.3.13) şi (5.3.14) se proiectează pe axele  unui sistem de axe fix şi se obţin ecuaţii care sunt analoge ecuaţiilor de echilibru din statică. În acest caz încărcarea sistemului este constituita din 

  şi   . 

Pentru analiza acceleraţiilor se utilizează relaţiile obţinute în studiul mişcării relative a rigidelor:

                                                                                  (5.3.15)

                                     

                                                                                                          (5.3.16) 

                                                 

Dacă se urmăreşte aceeaşi cale ca pentru determinarea vitezelor, acceleraţia absolută a punctului P care aparţine corpului i în funcţie de acceleraţia punctului A de pe acelaşi corp este:

                                       ,                  (5.3.17)

unde acceleraţia relativă a punctului P faţă de A se calculează cu:

                                                                                  (5.3.18)

În expresia (5.3.18) se aplică (5.3.15) sub forma:

                                                                .                                        (5.3.19)

 Dacă se scriu (5.3.18) şi (5.3.19) şi se ţine seama de (5.3.9) se obţin relaţiile generale care pot fi utilizate pentru studiul acceleraţiilor:

                                                                                                          (5.3.20)

                                                                                        (5.3.21)

 Facem menţiunea că în cazul mecanismelor plane vectorii viteza unghiulara si acceleratie unghiulara sunt paraleli, deci produsul lor vectorial este nul. În aplicaţiile practice ecuaţiile vectoriale (5.3.20) şi (5.3.21) se proiectează pe un sistem de axe fix convenabil ales şi se obţin ecuaţiile scalare de echilibru.

Dacă un mecanism are mai multe cicluri independente se aplică metoda pentru fiecare ciclu în parte.