2.1
2. CINEMATICA RIGIDULUI
2.1. Elementele generale ale mişcării rigidului
2.1.1. Definirea poziţiei unui rigid
Un rigid are o infinitate de puncte materiale. A cunoaşte mişcarea unui rigid revine la a cunoaşte mişcare oricărui punct a lui. Ipoteza de rigiditate impune ca distanta dintre doua puncte oarecare sa rămână constantă. Această ipoteză reduce numarul parametrilor pentru a determina mişcarea unui rigid la numai 6. Astfel, daca avem n puncte, numărul de grade de libertate este 3n, iar numărul minim de legături pentru a asigura rigiditatea ansamblului este 3(n-4)+6. Atunci numărul de parametrii necesari pentru a descrie mişcarea unui ansamblu rigid de n puncte este diferenta celor două numere şi anume 6. Această valoare nu depinde de numărul de puncte care alcătuiesc rigidul. Pentru a clarifica problema definirii poziţiei unui rigid să considerăm pentru început cazul, mai simplu, plan.
În plan putem determina poziţia unui punct aparţinând unui rigid ataşând corpului un sistem de referinţă local Oxy. Acesta este definit, în raport cu sistemul de referinţă global, prin coordonatele originii O(x0,y0) şi prin unghiul q făcut de axa Ox cu axa Ox1. Dacă cunoaştem poziţia unui punct M(x,y) în raport cu sistemul de referinţă local Oxy, rotit cu unghiul q faţă de sistemul global, poziţia lui faţă de sistemul de referinţă global O1x1y1 se determină cu relaţiile:
cunoscute din geometria analitică elementară. S-a notat:
avem:
Vectorii indiciaţi cu Ox1y1 indică faptul că au componentele exprimate în sistemul de coordonate Ox1y1 iar cei indiciaţi cu Oxy au componentele exprimate în sistemul respectiv. Notaţiile au încercat să evite indicii pentru a simplifica scrierea.
Aceleaşi relaţii se puteau obţine scriind:
şi apoi ţinând seama de faptul că (vezi fig.2.1.b):
Fig.2.1. Raportarea rigidului la sistemele de coordonate local şi global
prin identificarea coeficienţilor lui
şi din membrul drept şi cel stâng se obţine relaţia anterioară:
sau:
unde:
reprezintă matricea de rotaţie, ce conţine vectorii bazei sistemului de referinţă local. Se verifică cu usurinţă că [R] este o matrice ortonormală, deci:
şi det [R] = 1.
În mod analog să considerăm un rigid căruia îi ataşăm un sistem de coordonate local Oxyz (fig.2.2). Poziţia punctului material M în raport cu sistemul local este cunoscută prin coordonatele sale x,y,z. Poziţia punctului M în raport cu sistemul global de coordonate Ox1y1z1 va fi determinată dacă se cunosc:
- poziţia originii sistemului de referinţă local O;
- versorii ortogonali
, şi ai celor trei axe.
Cum un versor are trei componente, cunoaşterea celor trei versori ar impune cunoaşterea a nouă componente scalare. Condiţiile ca
, şi să reprezinte baza unui sistem ortonormat duc la şase condiţii:
deci sunt suficienţi trei parametri scalari pentru a caracteriza poziţia axelor sistemului de referinţă mobil. Dacă considerăm şi cei trei parametri care definesc poziţia originii O, rezultă că poziţia sistemului de referinţă local, deci şi a rigidului, este definită de şase parametri scalari. Versorii
, şi sunt definiţi de relaţiile:
Fig.2.2. Raportarea rigidului la sistemele de coordonate local(mobil) şi global(fix)
unde cos(x,x1) reprezintă cosinusul făcut de axa Ox cu axa O1x1 (proiecţia versorului
pe axa O1x1), etc. Avem relaţia:
deci
de unde înlocuind
, şi , efectuând calculele se obţine:
sau:
unde s-a notat:
Se verifică uşor că [R] este ortonormală deci verifică relaţia:
relaţie matriceală ce impune şase relaţii scalare între cosinuşii directori. Pentru uşurinţa calculului s-a notat:
Se obţin relaţiile scalare:
Din cei nouă cosinuşi directori care apar în matricea de rotaţie [R] doar trei pot fi aleşi independenţi. În practică, cosinuşii directori sunt utilizaţi rar ca parametri independenţi, alegându-se alţi trei parametri, spre exemplu unghiurile lui Euler, sau unghiurile lui Cardan (Tait-Bryan), mai uşor de utilizat în aplicaţii. Cosinuşii directori vor fi exprimaţi în funcţie de aceşti parametri independenţi.