5.1

CAPITOLUL 5

 

CINEMATICA  SISTEMELOR  DE  RIGIDE 5.1. Legături. Condiţii cinematice

5.1.1. Legături

Legăturile reprezintă restricţii cinematice impuse punctului material, sistemelor de puncte materiale, rigidului sau sistemelor de rigide. Spre exemplu un punct material trebuie să se mişte astfel încât tot timpul să se găsească pe o curbă dată. O legătură se poate exprima în general printr-o relaţie geometrică de forma:

sau:

 în cazul coordonatelor generalizate. Legăturile se pot clasifica astfel:

-         scleronome, dacă nu depind de timp;

-         reonome, dacă depind de timp.

O altă clasificare a legăturilor este în:

-     olonome, când nu apar explicit derivatele coordonatelor în raport cu timpul;

-         neolonome, când apar în expresia lui f derivatele coordonatelor.

Studiul legăturilor va fi reluat în cadrul capitolului de mecanică analitică. În acest capitol vor fi analizate cele mai utilizate legături cinematice, definite drept cuple cinematice.

În continuare prezentăm sunt prezentate cu titlu de exemplificare condiţiile cinematice impuse de legături pentru câteva sisteme simple.

Exemplul 1. Să considerăm un sistem de corpuri aflate în legătură ca în fig.      5.1.a. Mosorelul 3 se rostogoleşte pe un plan orizontal fiind tras de o greutate 1 care trece peste un mosorel 2. Ne propuenm să vedem care sunt condiţiile cinematice impuse de acest sistem de corpuri aflate în legătură. Există trei  moduri de mişcare pentru sistem:

a) Rostogolire pură. În acest caz mosorelul 3 se va rostogoli, fără a luneca, pe bara orizontală şi ţinând seama de firul care asigură legătură dintre corpuri şi care are aceeaşi viteză lineară de-a lungul lui la un moment dat, se vor putea scrie  condiţiile cinematice, care leagă vitezele:

         

     

Fig.5.1.a  Sistemul de corpuri                      Fig.5.1.b  Legături cinematice

 

      ;  

    ;  

  

 sau, sub forma compactă: 

Cu  s-a notat viteza masei  , cu  viteza unghiulară a cilindrului 2, cu  viteza centrului de masă a mosorelului 3 iar cu 

 viteza unghiulară a lui. Dacă relaţiile scrise se derivează în raport cu timpul se vor obţine legăturile dintre acceleraţii:        

                                   

unde notaţiile sunt evidente. Acest caz este cel mai întâlnit în practică, în aplicaţiile curente.

b) Rostogolire şi alunecare.   În acest caz corpul  3  se va rostogoli şi în acelaşi timp va aluneca de-a lungul barei. Sistemul va avea două grade de libertate. În acest caz condiţiile cinematice vor fi:

    ;

 .

Facând calculele se obţine:

Fig.5.1.c.  Rostogolire cu alunecare

sau, concentrat:

          

        Derivând relaţia scrisă  în raport cu timpul se obţine:

c) Alunecare pură. Teoretic ar mai putea exista un mod de mişcare care constă din translaţia mosorelului de-a lungul planului înclinat. Acest mod se poate realiza numai în cazuri particulare, când centrul de greutate la mosorelului nu se găseşte în centrul geometric.

În acest caz condiţiile cinematice vor fi:

          

Fig.5.1.d Alunecare pură

   ;

 ;

 .

de unde:

    ,

sau, concentrat:

  .

        Derivând relaţia scrisă  în raport cu timpul se obţine:

  .