4.3

4.2. Mişcarea relativă a rigidului4.2.1. Generalităţi

 

Fig.4.10

La fel ca în studiul mişcării relative a punctului material, se pune şi problema studiului mişcării relative a unui rigid. Noţiunile de mişcare relativă, transport şi absolută se aplică corespunzător rigidului. În esenţă dacă se cunoaşte mişcarea unui rigid faţă de un sistem de referinţă mobil O1x1y1z1 , rigidul fiind legat la rândul lui solidar cu un sistem de referinţă mobil O2x2y2z2, se pune problema determinării mişcării rigidului faţă de un sistem de referinţă fix O0x0y0z0. Pentru uşurinţa scrierii se vor nota cele trei sisteme de referinţă cu T1, T2, respectiv T0. A cunoaşte mişcarea unui rigid revine la a cunoaşte mişcarea oricărui punct al său. Alegem un punct arbitrar al rigidului a cărui mişcare dorim să o determinăm. Faţă de punctul material unde aveam viteza relativă şi acceleraţia relativă, în acest caz intervine şi viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară relativă.

 

4.2.2. Studiul vitezelor

 , iar vectorul de poziţie faţă de T1 se notează cu  . Ţinând cont de cele afirmate anterior avem:

           Vectorul de poziţie al punctului material faţă de T2 îl notăm cu 

-           viteza relativă a punctului M va fi viteza lui M faţă de triedrul mobil T1. Dacă vom considera T1 fix, atunci viteza punctului M faţă de el este dată de relaţia cunoscută din cinematica rigidului:

                                                          

                            (4.2.1)

  reprezintă viteza punctului O2 faţă de O1.

unde 

- viteza de transport a punctului M este viteza pe care ar avea-o M dacă rigidul ar fi legat solidar de T1. În acest caz, vectorul de poziţie al lui M faţă de T1 fiind 

 , se obţine:

 .                                  (4.2.2)

                                                                        

 

- viteza absolută se obţine prin însumarea vitezei de transport şi relativă:

                                         (4.2.3)

                       

de unde va rezulta formula finală a vitezei punctului M faţă de sistemul de referinţă fix T0:

                                     

  .                                    (4.2.4)

           Notaţia pentru triedre, respectiv T0, T1, T2 s-a făcut pentru a putea generaliza relaţia obţinută anterior. Astfel, dacă avem “n” triedre T0, T1,…Tn mobilul fiind legat solidar de ultimul triedru Tn , ne propunem determinarea vitezei absolute a unui punct M al rigidului, în funcţie de mişcările relative ale unui triedru faţă de altul. Se notează cu 

  vectorii de poziţie ai punctului M faţă de triedrele respective, cu 

  viteza originii triedrului “i” faţă de “j”, cu    viteza unghiulară a triedrului “i” faţă de “j”.

          Rezultă atunci viteza punctului M faţă de sistemul de referinţă fix dată de relaţia:

                                                          

                                                                                                (4.2.5)

sau                                                                  

      .                              (4.2.5’)          Ne propunem în continuare exprimarea vitezei unghiulare absolute a ultimului reper faţă de reperul fix, prin intermediul vitezelor unghiulare relative ale unui reper faţă de altul. Dacă se consideră două puncte oarecare ale rigidului M şi N, atunci relaţia lui Poisson ne dă:

  .                      (4.2.6)

                                                                         

          Cu relaţia anterioară care exprimă vitezele absolute ale punctelor M şi N prin intermediul mişcărilor relative, se obţine:   

  ,                         (4.2.7)

                                                                 

                     

 .                            (4.2.8)

          Prin scădere rezultă:

.   

                                                

                                                                                                              (4.2.9)

          Comparând relaţia obţinută cu formula lui Poisson rezultă:

  .                                   (4.2.10)