חידמטיקה #13 - השרבוט של גלילאו

💡 הידעת??

איך מתמטיקה עושה סדר ביקום?

היום לפני 410 שנים, ב-26.2.1616, קיבל המדען האיטלקי גלילאו גליליי אזהרה רשמית מהכנסייה הקתולית: נאסר עליו להחזיק, ללמד או להגן על הדעה שכדור הארץ נע סביב השמש.

במשך 1,400 שנים המודל המדעי והדתי המקובל היה שכדור הארץ הוא מרכז היקום. עבור הכנסייה, זה לא היה רק עניין של כוכבים – אם הארץ היא המרכז, אז האדם הוא מרכז הבריאה. לערער על זה היה לערער על הסמכות שלהם ועל הסדר האלוהי.

אבל הייתה בעיה: כשמסתכלים מהארץ, כוכבי הלכת נראים כאילו הם עוצרים וזזים פתאום אחורה.

כדי להסביר את ה"בלאגן" הזה, המדענים הוסיפו שכבות של תיקונים מתמטיים מסובכים שניסו להתאים בכוח את המציאות למודל הישן.

בשנת 1543, ניקולאוס קופרניקוס הציע רעיון נועז: אולי השמש במרכז - וכדור הארץ הוא זה שזז? פתאום, הכל נהיה פשוט יותר. התנועה הנסוגה כבר לא הייתה תעלומה: כשכדור הארץ 'עוקף' כוכב לכת אחר במסלולו, זה רק נראה לנו כאילו הוא נוסע לאחור. בדיוק כמו שמכונית שאתם עוקפים בכביש המהיר נראית לרגע כאילו היא נוסעת לאחור יחסית אליכם.

כמה עשורים אחר כך, גלילאו גליליי חיזק את רעיונותיו של קופרניקוס בעזרת טלסקופ משופר שבנה. כשהביט דרכו, הוא הבחין שכוכב הלכת נוגה משנה את צורתו - לפעמים כסהר ולפעמים כמעט עגול, כמו הירח. מבחינה גיאומטרית, זה הראה שנוגה מקיף את השמש, לא את כדור הארץ.
זו לא הייתה הוכחה מוחלטת לכך שהשמש במרכז היקום, אבל זו הייתה ראיה חזקה מאוד שהמודל הישן שגוי.

כמה שנים אחר כך, יוהנס קפלר שכלל את הכל וגילה שכוכבי הלכת נעים באליפסות, אז התחזיות הפכו מדויקות הרבה יותר, המתמטיקה התחילה להתאים למציאות בצורה מרשימה.

למרות האזהרה שקיבל מהכנסייה שלא ללמד את שיטת קופרניקוס, גלילאו המשיך להגן עליה ובשנת 1633 נשפט, נאלץ להצהיר שהוא טועה, ונשלח למאסר בית עד סוף חייו.

לקח לעולם כמעט 360 שנה, ורק בשנת 1992, בימיו של האפיפיור יוחנן פאולוס השני, הודתה הכנסייה הקתולית רשמית שנעשה לו עוול ושהוא צדק.

במשך שנים, מדענים ניסו להתאים בכוח את החישובים המתמטיים כדי שיתאימו לאמונה שכדור הארץ הוא המרכז. זה יצר מודלים מסורבלים. השינוי הגדול קרה ברגע שהסתכלו על המערכת כולה מנקודת מבט אחרת – ופתאום, הבלאגן הפך לסדר אלגנטי.

גם בחידה שלפניכם לא מדובר בערימת ספרות אקראית, אלא במערכת שקובעת אילו צמדים מותר - ואילו לא.

לפעמים הסדר אינו מובן מיד, אבל הוא קיים, וניתן לגלות אותו כשמתבוננים על הכל בעיניים חדשות. הכול תלוי בנקודת המבט.

מוזמנות ומוזמנים לפתור את החידמטיקה בתמונה המצורפת.

מה התשובה? (לחצו כאן כדי להציג)

התשובה היא: 3

נווה שטרן, תלמיד שכבה ו' בירושלים, בנה "שרשרת לוגית" מהסוף להתחלה תוך שהוא מזהה במדויק את הרגע שבו המספרים נכנסים למחזוריות קבועה. הניתוח שלו ממחיש כיצד זיהוי תבניות מאפשר לפצח מספרים ארוכים במיוחד במינימום מאמץ:

"תחילה מצאתי את כל הכפולות הדו-ספרתיות של 17 ו-23 (17, 34, 51, 68, 85, 23, 46, 69, 92).
לאחר מכן הרכבתי את 'שרשרת' המספרים מהסוף להתחלה: מכיוון שהספרה האחרונה היא 1, הספרה שלפניה חייבת להיות 5 (מתוך 51), וזו שלפניה 8 (מתוך 85).
המשכתי כך עד שזיהיתי סדרה שחוזרת על עצמה: 6-4-3-2-9.
כדי למצוא את הספרה ה-1616, החסרתי את 3 הספרות הראשונות וחילקתי את השאר ב-5 (אורך הסדרה החוזרת).
השארית שיצאה היא 3. לכן הספרה השמאלית ביותר היא 3".

_________________________

שירה איתן, תלמידת שכבה ז' בבר אילן, שילבה הומור והשראה היסטורית יחד עם שימוש מרשים במושג ה"מודולו" (שארית). הנימוק שלה מדגיש את ההבדל בין עבודה ארוכה ומייגעת לבין שימוש אלגנטי בכלים מתמטיים מתקדמים:

"קודם הבחנתי שהמספרים הדו ספרתיים שהם כפולות שלמות של 17 הם: 17, 34, 51, 68, 85 ושל 23 הם: 23, 46, 69, 92 ואז התחלתי לכתוב את המספר מימין לפי הכללים (אולי הייתי משועממת כמו גילילאו ;)).
נתון שהספרה הכי ימנית היא 1 ואז אם כך לידה משמאל חייב לבוא 5 ואז משמאלה 8 ומשמאלה 6 וכולי וכולי ... וקיבלתי: 851 92346 92346 92346...

ואז כמו מדענית טובה הבחנתי שאחרי שלוש הספרות הימניות מקבלים מחזוריות של 92346 - ז"א מחזורית של 5 ואז נותר בעצם לחלק את אורך השרשרת (חוץ מ-3 הספרות הראשונות) ב-5 ואז לפי השארית (הבנתי מאבא שלי שקוראים לפעולה המתמטית הזאת "מודולוס Modulo" או בסימון (mod) נדע מה הספרה הכי שמאלית של המספר הארוך הזה...

זאת נראית אסטרטגיה יעילה יותר משל גילילאו שכתב את כל המספר באורך של 1616 ספרות ...
מקבלים:

(1616-3) mod5=3

הספרה במקום השלישי במחרוזת שחוזרת על עצמה (שזה בעצם המשמעות של השארית) היא 3.

אז באמצעות שימוש בהבחנה ומתמטיקה מצאנו את הספרה השמאלית ביותר של המספר (בלי לכתוב את כולו ... שזה יהיה קצת מעייף ... ואני כנראה לא מספיק משועממת ... ;))".

_________________________

גפן אורי מזרחי, תלמידת שכבה ו' בכפר סבא, הציגה פתרון אלגוריתמי מובנה ומסודר להפליא שמפרק את הבעיה לשלבים. היכולת שלה "לנקות" את עודפי הספרות ולהתמקד בשארית הרלוונטית היא דוגמה מצוינת לחשיבה מתמטית שיטתית:

"1. קודם כל, רשמתי את כל הכפולות של 17 ושל 23 עד מאה.

2. חיפשתי מהרשימה שעשיתי מספר שספרת היחידות שלו זה אחד ומצאתי את את המספר 51 ואז חיפשתי מהרשימה מספר שספרת היחידות שלו זה 5 והגעתי ל85, וכן הלאה...

3. עשיתי כמה פעמים וגיליתי ששלושת הספרת הראשונות הן 1-5-8, ולאחריהן יש סדר קבוע: 9-2-3-4-6.

4. אם יש סכ"ה 1,616 ספרות ומורידים את השלוש הראשונות (1-5-8), יוצא 1,613 ספרות ומכיוון שהסדרה החוזרת (9-2-3-4-6) היא בעלת 5 ספרות אז אפשר גם להחסיר את ה-1,610 מפני שהוא מתחלק בחמש.

5. בשלב הזה נשארנו עם 3 ספרות, אז ספרתי בסדרה (9-2-3-4-6) והמספר שיצא הוא המספר 3 ולכן התשובה היא 3".

_________________________

Page updated

Google Sites

Report abuse