התשובה היא: 37

נגה לביא, תלמידת שכבה ו' בהרצליה, עבדה בצורה מסודרת להפליא. היא לא הסתפקה בניסוי וטעייה אלא בנתה טבלה וניתחה את סדרות ההפרשים, גם של נקודות החיתוך וגם של החתיכות:

"כדי לפתור את החידה התחלתי בלחשב את מספר החתיכות המקסימלי במספרים קטנים יותר. הבנתי שבכל פעם שמוסיפים קו נוצרות במקסימום כמות נקודות חיתוך ששווה למספר הקווים שהיו עד עכשיו וכמות חתיכות שגדולה באחד ממספר הקווים (כל עוד לא עשינו קווים מקבילים או שלושה ומעלה שחוצים באותה נקודה).

אחר כך יצרתי טבלה שהעמודות שלה הן קווים, חיתוכים (נקודות חיתוך בין קווים) וחתיכות. בשורה הראשונה של קו ישר אחד היו 0 חיתוכים ו-2 חתיכות.

בהמשך הטבלה, בעמודות של החיתוכים ושל החתיכות נוצרו סדרות עם סדרות הפרשים:

חיתוכים - 0,1,3,6,10... (סדרת הפרשים - 1,2,3,4,...).

חתיכות - 2,4,7,11,16... (סדרת הפרשים - 2,3,4,5,...).

ככה אפשר לחשב את מספר החתיכות בשלב של 8 קווים - 37 (וגם את מספר החיתוכים - 28)".

_________________________

נוגה שלומי, תלמידת שכבה ו' ברופין, תיארה את הפתרון בצורה ציורית ופיוטית מקסימה, ממש כמו סיפור אגדה. היא דמיינה את הסמוראי והשמש, והבינה שכל מפגש בין קווים יוצר זהב חדש:

"קראתי את החידה ודמיינתי דיסקית מזהב שנראית כמו שמש. הסמוראי עומד מולה עם חרב חדה, אבל הוא לא חותך סתם הוא חושב חכם.

בחיתוך הראשון החרב עושה קו אחד ישר, ופתאום השמש מתחלקת לשתי חתיכות זהב. בחיתוך השני הסמוראי מבין סוד: אם הוא חותך כך שהקו החדש פוגש את הקו הקודם, הוא לא מוסיף סתם עוד חתיכה הוא יוצר עוד שתיים.

אז הוא מחליט: כל חיתוך חדש יעבור דרך כל החיתוכים שכבר קיימים, וככה כל פעם מספר החתיכות קופץ יותר ויותר.

אני התחלתי לספור: חיתוך ראשון 2, אחריו כל חיתוך מוסיף עוד יותר מהקודם

(כי הוא פוגש את כל הקווים שכבר היו).

כשסיימתי לספור את כל הקפיצות הקטנות האלה, הגעתי למספר הכי גדול שאפשר להגיע אליו בלי לשבור את הכללים: 37 חתיכות זהב".

_________________________

אסתר שפיגלמן, תלמידת שכבה ז' בלמידה מקוונת, הסבירה את הגיאומטריה שמאחורי המספרים. היא נימקה בדיוק למה החיתוך השמיני מוסיף דווקא 8 חלקים (כי הוא פוגש 7 קווים קודמים), וסיכמה את הכל בחיבור פשוט:

"כל חיתוך ישר יכול לפגוש חיתוך קודם שהיה רק בנקודה אחת (כי הם שני ישרים).

חיתוך כזה יחלק את 2 החתיכות שמשני צידי הקו ל-2.

חיתוך שיוסיף הכי הרבה חתיכות הוא כזה שפוגש את כל X החיתוכים הקודמים ומוסיף X+1 חתיכות.

אז החיתוך הראשון חוצה ל-2 את המעגל. החיתוך השני חוצה קו אחד ולכן מוסיף 2.

השלישי חוצה 2 קווים ומוסיף 3 חתיכות וכן הלאה. החיתוך השמיני חוצה 7 קווים ומוסיף 8 חתיכות. סה"כ 2+2+3+4+5+6+7+8=37".

_________________________