התשובות הן: 11 או 16

כל הכבוד לכל מי שהשקיעו בפתרון ובנימוק ושלחו אלינו את תשובותיהם!

📣 עדכון

תודה לכל התלמידים (והמשפחות) ששלחו פתרון לחידת ספינת Warrimoo המאתגרת (חידמטיקה #5).

היה תענוג לראות את כיווני החשיבה היצירתיים!

רוב הפתרונות שהתקבלו הציגו חשיבה לוגית יפהפייה וחלק מהפותרים גם הגיעו לפתרון של 16 סירות.

עם זאת, מספר פותרים חדי-עין הפנו את תשומת ליבנו לכך שבעזרת כלים מתמטיים מורכבים יותר, ניתן לייעל את הצי עוד יותר, כך שהתשובה המינימלית היא 11 סירות. פתרון זה מתבסס על "הטור ההרמוני" וחישוב מרחקים משתנים – מתמטיקה גבוהה ששייכת בדרך כלל לעולמות האקדמיה ולא נלמדת בבית הספר.

אז שאפו ענק למי שהצליח להגיע למספר 11 – הצלחתם להפתיע אפילו אותנו! ואנחנו כמובן נקבל את כל מי שהגיש את התשובה 11 כתשובה נכונה.

נימוקים לתשובה 11

אלעד אליאס, תלמיד שכבה ו' בלמידה מקוונת, ניגש לחידה כמו מתמטיקאי אמיתי. הוא לא רק חישב, אלא הגדיר את הנוסחה הכללית ("המספר ההרמוני") שמתארת את הבעיה, והסביר איך משתמשים בה כדי למצוא את כמות הסירות:

"ההיגיון הוא שסירה אחת לא יכולה לעשות את הדרך עד האי ובחזרה כי היא יכולה לשאת דלק ל 2 ימי הפלגה בלבד, והמרחק הלוך וחזור הוא 6 ימים.

הפתרון הוא להקים תחנות תדלוק בדרך: כל n הסירות יוצאות לדרך יחד. הן עוצרות כל פעם בנקודה שהמרחק מהנקודה הקודמת שהיו בה הוא השבר אחד חלקי מספר הסירות שהגיעו לנקודה. שם סירה אחת עוצרת על מנת להוות תחנת דלק ליתר הסירות בהלוך (מעבירה לשאר הסירות שמתקדמות, להמשך הדרך) ובחזור (ממתינה להם בנקודה עם דלק לחזור, לאחר שסירה אחת הצליחה להזעיק עזרה) ובסוף חוזרת איתם לספינה. הסירה האחרונה אוספת דלק מכל הסירות האחרות, מגיעה לאי, מזעיקה את העזרה, וחוזרת דרך כל נקודות התדלוק. בגלל שכל אחת מהסירות יכולות לשאת 2 ימי הפלגה הן יכולות לעשות כך גם את הדרך חזרה.

כדי לחשב את המשתנה n, כמה סירות צריך, השתמשתי במספר הרמוני. המספר ההרמוני הוא סכום של שברים:

Hn = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...1/n

הוא מתאים כאן כי כל סירה תורמת פחות דלק ככל שמתרחקים.

בודקים מתי Hn גדול או שווה ל 3.

כאשר n=11 זה מתקיים כי התוצאה יוצאת בערך 3.02 ולכן צריך 11 סירות".

_________________________

תום גיבורי, תלמיד שכבה ו' בתל אביב, בנה את הפתרון נדבך אחר נדבך. הוא הראה בדרך לוגית יפה איך כל סירה שנוספת למשט מוסיפה עוד "חתיכה" קטנה למרחק הכולל, עד שמגיעים ליעד:

"ננסה לראות כמה רחוק אפשר להגיע מהספינה ולחזור אליה. אם יש רק סירה אחת, היא יכולה להגיע למרחק של יום אחד ולחזור.

אם מוסיפים סירה שניה, שתי הסירות יפליגו יחד למרחק חצי יום. לכל סירה יש עכשיו דלק ליום וחצי. סירה ב תמלא את הדלק לסירה א. בסירה ב יישאר דלק ליום אחד. סירה א תמשיך למרחק יום אחד ותחזור. סירה ב תמלא לה דלק עבור חצי יום ושתי הסירות יחזרו. סה"כ הגענו למרחק של יום וחצי.

אם מוסיפים סירה שלישית, 3 הסירות מפליגות יחד למרחק שליש יום. לכל סירה יש עכשיו דלק ליום ושני שליש. סירה ג תמלא את הדלק לסירות א ו-ב. בסירה ג יישאר דלק ליום אחד. סירות א ו-ב ימשיכו כמו בשלב הקודם למרחק של יום וחצי ויחזרו. סירה ג תמלא להן דלק עבור שליש יום וכל הסירות יחזרו. סה"כ הגענו למרחק של יום ועוד חצי יום ועוד שליש יום.

כלומר המרחק שאפשר להגיע אליו אם יש הרבה סירות יהיה יום ועוד חצי יום ועוד שליש יום ועוד רבע יום וכו'. המספר הקטן ביותר של סירות שעבורו הסכום הזה הוא לפחות 3 ימים הוא 11 סירות".

_________________________

רז לב טוב, תלמיד שכבה ו' בקריות, סיכם את הבעיה למשוואה ברורה אחת. הוא הבין את העקרון שכל סירה "מקריבה" את הדלק שלה כדי לקדם את האחרות, וחישב את הטור המדויק:

"הרעיון הוא שכל הסירות מתקדמות מרחק קטן, ואז סירה אחת שומרת לעצמה מספיק דלק כדי לחזור לסירת האם ותורמת את כל יתר הדלק לשאר הסירות.

כל סירה צריכה מספיק דלק בשביל להגיע לנקודה ולחזור.

כדי לבדוק כמה סירות צריך כדי להגיע למרחק של 3 ימים , הסירה הראשונה עושה מרחק של 1/1 השנייה 1/2 השלישית 1/3 וכן הלאה.

בדקתי מתי המרחק הכולל עולה על 3 וגיליתי ש:

1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11=3.02

כלומר צריך 11 סירות כדי שכל סירה תוכל להתקדם חלק קטן, לתת את יתרת הדלק לסירות שנשארו, ולחזור לסירת האם.

בהתחלה הסירות יתקדמו מרחקים קטנים מאוד וככל ששישארו פחות סירות המרחקים יגדלו".

_________________________

נימוקים לתשובה 16

ליאן גרובמן, תלמידת שכבה ו' בנתניה בנתה תוכנית פעולה מדויקת, ממש כמו מבצע צבאי. היא פירקה את המשימה לשלבים של חצי יום, ותיארה בדיוק מה קורה בכל שלב – גם בהלוך וגם בחזור:

"16 סירות יוצאות חצי יום, לכל אחת נשאר 1.5 יום דלק, 8 מתמלאות ו-8 נותרות עם יום דלק.

8 סירות ממשיכות חצי יום, לכל אחת נשאר 1.5 יום דלק, 4 מתמלאות ו-4 נותרות עם יום דלק.

4 סירות ממשיכות חצי יום, לכל אחת נשאר 1.5 יום דלק, 2 מתמלאות ו-2 נותרות עם יום דלק.

2 סירות ממשיכות חצי יום, לכל אחת נשאר 1.5 יום דלק, 1 מתמלאת ו-1 ננותרת עם יום דלק.

בשלב זה 2 הסירות הגיעו למרחק של יום מהאי (יומיים מהספינה).

הסירה המלאה משתמשת במיכל הדלק המלא שלה לשוט יום אל האי, להזעיק עזרה ולחזור יום אל הסירה שמחכה לה.

הסירה שהזעיקה עזרה נותרה ללא דלק והסירה שחיכתה לה נותרה עם יום דלק.

2 הסירות מתחלקות בדלק כך שלכל אחת יהיה חצי יום דלק וחוברות ל-2 סירות שמחכות במרחק של חצי יום שייט.

4 הסירות מתחלקות בדלק כך שלכל אחת יהיה חצי יום דלק וחוברות ל-4 סירות שמחכות במרחק של חצי יום שייט.

8 הסירות מתחלקות בדלק כך שלכל אחת יהיה חצי יום דלק וחוברות ל-8 סירות שמחכות במרחק של חצי יום שייט.

16 הסירות מתחלקות בדלק כך שלכל אחת יהיה חצי יום דלק וחוזרות אל ספינת האם שמחכה במרחק של חצי יום שייט".

_________________________

איתן גורביץ, תלמיד שכבה ז' בהוד השרון, זיהה את החוקיות המתמטית שמאחורי החידה - הגידול המעריכי. הוא הבין שבכל שלב שבו רוצים להתרחק עוד קצת, המחיר הוא הכפלה של כמות המשאבים:

"שתי סירות יצאו ויתקדמו חצי יום, ואז אחת מהן תעביר לשנייה דלק של חצי יום, תישאר במקומה, תחכה לה שתחזור ואז תחלוק איתה בחזור את חצי המיכל שלה (וכך שתיהן יוכלו לחזור לספינה).

לסירה השנייה, שוב יש כעת מיכל דלק מלא ליומיים, אבל זה לא יספיק לה להמשך המסע. לכן נכפיל את כמות הסירות פי 2, כך שיהיו לנו שתי סירות בעלות מיכל מלא שקודמו בחצי יום של שייט, וגם יוכלו לחזור ותחכה להן סירה שתתן להן דלק מספיק לחזרה של חצי יום (ומשם לקבל עוד חצי יום מסירה נוספת שמחכה בינתיים).

כך נוכל לקדם סירה אחת בעוד חצי יום של שייט (כעת יש 4 סירות פעילות).

כלומר, עבור כל קידום בחצי יום, אנו צריכים להכפיל את כמות הסירות פי 2. כלומר, עבור 8 סירות נקבל קידום של עוד חצי יום, ועבור 16 סירות עוד חצי יום. ובסה״כ עם 16 סירות קידמנו בחצי כפול 4 שווה 2 ימים, ואז הסירה הראשונה תוכל לבדה להמשיך הלוך ושוב ולהשלים מסע של 3 ימים, ולחזור יחד עם שאר הסירות.

לכן התשובה היא 16 סירות".

_________________________