החידמטיקה של התוכנית לנוער מוכשר במתמטיקה - תשפ"ו

חידמטיקה #1 - מי עומד בסוף?

💡הידעת??

השבוע חל חג מתמטי!

ביום ראשון השבוע התאריך היה 23 בנובמבר - תסתכלו על המספרים של התאריך, בסדר הפוך (כמו שכותבים בארה"ב, 11/23): זה נראה כמו 1, 1, 2, 3!

אלו בדיוק ארבעת המספרים הראשונים בסדרת פיבונאצ'י - הסדרה המפורסמת של המתמטיקאי האיטלקי לאונרדו מפיזה, או בכינויו פיבונאצ'י.

מה החוקיות של הסדרה? מאוד פשוט, כל מספר בסדרה הוא הסכום של שני המספרים שבאים לפניו.

מתחילים עם 1 ו- 1, הסכום שלהם הוא 2, הסכום של 1 ו- 2 הוא 3, הסכום של 2 ו- 3 הוא 5 וכך הלאה: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… (נסו להמשיך לבד!)

מה הקסם שלה? נראה שהטבע פשוט אוהב את הסדרה הזו, אפשר למצוא אותה בכל מקום: בסידור המדויק של זרעים בתוך חמנייה, בצורה שבה הקשקשים של האיצטרובל מסודרים, בסידור העלים סביב גבעול של פרח, ואפילו בצורה המושלמת של קונכיות!

זה כאילו המתמטיקה היא "שפת התכנות" הסודית של הצמחים בעולם.

חג פיבונאצ'י שמח!

החידה שלנו גם עוסקת בסדרה מיוחדת.
במתמטיקה, כשנראה שהדרך לפתרון ארוכה מדי, מתמטיקאים נוטים לעצור ולחפש דרך יצירתית - כזו שתוביל למטרה בצורה חכמה וקצרה יותר. גם כאן, אם תחשבו כמו מתמטיקאים, תגלו דרך פשוטה ומפתיעה להגיע לפתרון.

מוזמנות ומוזמנים לפתור את החידמטיקה בתמונה המצורפת.

מה התשובה? (לחצו כאן כדי להציג)

התשובה היא: 3

כמה נימוקים נבחרים לחידה #1:

ליאור אליאב, תלמידת התוכנית בקבוצת ו' בראשון לציון:

"הספרה נקבעת על ידי סכום ארבעת האיברים הראשונים בלבד (1!+2!+3!+4!=33). הסיבה היא שכל איבר החל מ-5! (כיוון שהוא כולל 5x2) מסתיים בספרה 0. לפיכך, ספרת האחדות של הסכום כולו היא ספרת האחדות של 33, שהיא 3".

_________________________

אופיר בלייכר, תלמיד התוכנית בקבוצת ז' בכפר סבא:

"ברגע שמגיעים לעצרת שהיא כפולה של 10, כלומר שספרת האחדות שלה היא 0, כל העצרות שבאות אחריה גם יתחלקו ב־10 ללא שארית. התוצאה של 5 עצרת מתחלקת ב־10, כי זה 5 כפול 4 כפול 3 כפול 2 כפול 1, ו־5 כפול 2 זה 10.

עכשיו, צריך לחשב את התוצאה של 1 עצרת + 2 עצרת + 3 עצרת + 4 עצרת.

1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33 ולכן ספרת האחדות היא 3."

_________________________

אמילי לוינסון, תלמידת התוכנית בקבוצת ו' בבר אילן:

"1!=1

2!=2*1!=2

3!=3*2!=6

4!=4*3!=24

5!=5*4!=120

כל עצרת שגדולה מ 5! תוכפל במספר שמסתיים ב-0.

ולכן ספרת האחדות של כל עצרת גבוהה יותר גם תסתיים ב-0.

כדי למצוא את ספרת האחדות של כל הסדרה בת 100 מספרים (או גם סדרה יותר גדולה) מספיק לסכם רק את מספרי האחדות ששונים מ-0.