💡 הידעת??
איך צמחים "מחשבים" את מיקום העלים כדי למקסם את השמש?
השבוע, ב- 2 בפברואר, חל חג טו בשבט וזו הזדמנות נהדרת להביט בצמחים סביבנו: הם מתמודדים עם בעיה הנדסית מרתקת - איך לסדר את העלים כך שכל אחד יקבל כמה שיותר אור, בלי שהאחרים יסתירו אותו?
חקר סידור העלים נקרא פילוטקסיס ("סידור עלים" ביוונית), והוא מפגש יפהפה בין בוטניקה, מתמטיקה ופיזיקה.
כבר במאה ה-15, לאונרדו דה וינצ'י הבחין שצמחים מסדרים את העלים שלהם בספירלות. ב-1754, המדען שארל בונה זיהה שהספירלות הללו מופיעות בשני כיוונים (עם ונגד כיוון השעון) ותואמות ליחס הזהב. כך מתקבל סידור שמפחית חפיפה וממקסם את האור.
כמאה שנה מאוחר יותר, האחים בראווה תארו את הקשר המפורסם בין היחסים האלו לסדרת פיבונאצ'י באמצעות שברים מסדרת פיבונאצ’י (⅓, ⅖, ⅜...).
ככל שמספר העלים גדל, הזווית בין עלה לעלה שואפת לזווית הזהב – 137.5°. למה דווקא היא? מכיוון שהיא אינה "מתחלקת" יפה במעגל, היא מבטיחה שאף עלה לעולם לא יצמח בדיוק מעל עלה קודם. זהו פתרון גיאומטרי מושלם לניצול שטח.
איך הצמח "יודע" לעשות זאת בלי מחשב?
כבר במאה ה־19 הציע הבוטנאי וילהלם הופמייסטר הסבר פשוט: כל ניצן חדש נוצר במקום הפחות צפוף במרכז הצמיחה.
במעבדה, ניסויים מודרניים הראו שטיפות נוזל שדוחות זו את זו מסתדרות בעצמן באותה זווית - ממש כמו עלים על גבעול!
גם כאן, הטבע אינו "מחשב" במודע, אך חוקים מתמטיים ופיזיקליים פשוטים מובילים אותו לפתרונות אופטימליים של חלוקת אור ואנרגיה.
הטבע משתמש במתמטיקה כדי לארגן ענפים ועלים בצורה אופטימלית. במתמטיקה, המושג "עץ" מקבל משמעות אחרת.
בעוד שרובנו חושבים על שורשים וענפים הגדלים מן האדמה, עבור מתמטיקאים "עץ" הוא אחד המבנים המרתקים בתורת הגרפים. בתורת הגרפים, "עץ" הוא מבנה מתמטי המורכב מצמתים וקשתות, כך שניתן להגיע מכל צומת לכל צומת אחר בדרך אחת בלבד, לפעמים במסלול שאורכו מספר קשתות, ואין אף דרך מעגלית.
בדיוק כפי שהצמח "מתכנן" את סידור העלים שלו לפי חוקי צפיפות, כך גם בפרדס של סבא שמוליק – השבילים מתוכננים במבנה של "עץ" מושלם על פי תורת הגרפים.
מוזמנות ומוזמנים לפתור את החידמטיקה בתמונה המצורפת.
אליאור ג'קובס-קוטניקי, תלמיד שכבה ו' בבר אילן, פיצח את החידה באמצעות זיהוי חוקיות מספרית. הוא גילה שנוצרת סדרה קבועה, שבה בכל פעם שמוסיפים זוג של תפוז ולימון, "מתחברים" אליהם בדיוק 3 עצי קלמנטינה חדשים:
"לקחנו דוגמא ראשונה של עץ תפוז אחד ועץ לימון אחד, וספרתי כמה עצי קלמנטינה צריכים, שזה 5, למספר סה"כ עצים של 7, שעוד לא 22.
המשכתי הלאה והלאה וראיתי סדרה מעניינת: עם שני עצי לימון ושני עצי תפוז, מקבלים 8 עצי קלמטינה וסה"כ 12 עצים.
עם שלושה עצי לימון ושלושה עצי תפוז, יש 11 עצי קלמנטינה וסה"כ 17 עצים.
הסדרה היא: כל תוספת של עץ לימון ועץ תפוז, מוסיפים 3 עצי קלמנטינה.
עם 4 עצי לימון ו- 4 עצי תפוז יש 14 עצי קלמנטינה וסה"כ 22 עצים.
עבדתי עם אמא שלי".
_________________________
אשל הלפרן, תלמידת שכבה ו' במודיעין, בחרה בשיטה של בניית דגם. היא ממש "שתלה" את העצים על הדף וחיברה ביניהם שבילים לפי החוקים, עד שהצליחה להגיע למבנה שבו מספר השבילים לכל עץ מתאים בדיוק לנתונים:
"התחלתי בלשים תפוז אחד ולימון אחד ליד השני.
חיברתי אותם בקווים, כך שלא יהיה שום מסלול מעגלי. כשסיימתי, הוספתי שבילים ליד הפירות, כל אחד לפי כמה שבילים שהוא צריך (תפוז -4 לימון-3) ובסוף של כל שביל, שמתי קלמנטינה.
לא היו לי מספיק עצים אז עשיתי אותו דבר רק עם שתי תפוזים ושתי לימונים. עדיין לא היו לי מספיק עצים. עשיתי אותו דבר רק עם ארבעה תפוזים וארבעה לימונים.
עכשיו היו לי 22 עצים וראיתי שיש בפרדס 14 עצי קלמנטינות".
_________________________
נוגה פניגר הרצמן, תלמידת שכבה ו' בתל אביב, ניגשה לפתרון דרך עולם "תורת הגרפים". היא עלתה על תובנה מרכזית: בגלל שמספר עצי הלימון והתפוז שווה, מספר עצי הקלמנטינה חייב להיות זוגי – ובעזרת הכלל הזה היא בנתה את המבנה המתאים:
"קראתי את ההסבר שלכם מתחת לחידה ותורת הגרפים הייתה מוזכרת.
אז התחלתי ליצור גרף. צומת בדרגה 1 תהיה קלמנטינה, צומת בדרגה 3 תהיה לימון וצומת בדרגה 4 תהיה תפוז, ושאין צמתים בדרגות אחרות.
בגלל שמספר עצי הלימון והתפוז זהים אז מספר עצי הקלמנטינה יהיה זוגי.
מפה התחלתי לצייר. מצאתי אחד שמתאים במדויק להנחיות אבל הוא היה קטן מדי. אז ניסיתי להכפיל אותו ולשחק איתו עד שהגעתי למבנה שהתאים במדויק".
_________________________