포아송비 & 다축하중 개념

1. 포아송 비의 개념

일상생활에서 전기테이프 혹은 박스테이프를 맨손으로 뜯으신 경험이 다들 한 번 쯤은 경험이있을 것이다. 테이프를 뜯을 때 길이방향으로 쭉 늘어나다가 끊어지는 것이 아니라 대부분의 상황에서 높이가 줄어들고 폭이 얇아지면서 테이프가 끊기게 되는데, 이런 현상을 테이프와 같은 물질뿐만 아니라 강 구조물과 같은 모든 부재에 동일하게 적용할 수 있다.

이를 공학적으로 표현하면 축 방향의 인장력에 의해 발생하는 신장은 나머지 방향에서의 수축을 동반한다고 할 수 있는데, 고체역학 수준에서 재료의 분포도나 힘의 집중도를 따지지 않고 힘이 균일하고 재료 역시 모든 곳에서 동일하다는 가정으로 시작한다. 이런 상황이 된다면 전체 길이에 있어 물체가 변형하는 정도는 항상 동일하게 될 것이고 이는 기울기가 일정하다는 뜻과 같게 되며 Hooke's Law에서 식을 간단히 했던 것 처럼 우리는 축 방향의 변형률과 나머지 방향의 변형률을 변수를 도입해 관계식으로 표현할 수 있게 된다.

여기에 사용하는 변수가 바로 프랑스의 수학자 포아송의 이름을 따서 만들어진 포아송 비 이다. 따라서 우리는 기존에 사용했던 변형률과 다른 방향에서의 변형률의 비를 포아송 비로 나타낼 수 있는것이다.

아래 식은 z축 방향으로 힘이 작용해 인장되었을 때를 기준으로 나타낸 포아송 비 공식이다.

2. 다축하중 상태에서의 변형률 (길이와 부피의 관점으로)

지금까지 배워온 부재는 대부분 하나의 축방향으로만 힘이 작용하는 상태이다.

하지만 모든 물체가 단방향으로 힘을 받는 것이 아니기 때문에 여러 방향으로 힘이 작용하는 상황 역시 고려해주어야한다.

위에 보이는 그림은 x축 y축 z축의 세 방향으로 힘을 받고 있는 물체를 표현한 그림이다. 그림에서 알 수 있다싶이 노란색이 z축 방향, 빨간색이 x축 방향, 파란색이 y축 방향으로 작용하는 힘을 나타낸 그림이다. 이런 다축하중 상황은 고려해야될 요소가 많기 때문에 여러분이 이와 관련된 공식 유도를 꺼리시는 경우가 많다. 먼저 해당 상황을 간단하게 하기 위해서 세 방향의 힘을 생각하는 것이 아닌 이전에 우리가 해왔듯이 한 쪽 방향으로의 힘을 생각해보아야 한다. ​

우리가 다루는 힘은 모두 Hooke's Law 영역에서의 힘을 다루기 때문에 σ = ε x E 의 관계를 만족하게 되며, 일반적인 문제 상황과 같이 z축 방향으로 힘이 작용한다고 하면 ε = E / σ 을 구할 수 있게 된다.

하지만 여기서 끝이 아니죠. 위에서 배운 포아송 비에 따른 나머지 축에서의 수축을 고려해야 해야한다. 포아송 비의 공식에 따라 x축과 y축 방향에서의 길이 감소량을 표현하면 아래와 같다.

εy = - ν x σy / E 이고 εx = - ν x σx / E 와 같이 표현할 수 있게 되며, z축 방향에서 했듯이 x축과 y축 방향으로 같은 힘을 적용해준다면 각 방향에서의 변형량을 아래와 같이 정리할 수 있다.

각 축에 대한 변형량을 알았기 때문에 이에 대한 부피의 변화율 역시 구할 수 있게 되는데, 각 길이에서 εx, εy, εz 만큼의 변형이 있었기 때문에 변형에 의해 수정된 부피 V`는 아래와 같이 표현될 수 있다.

V` = (1+ εx)(1+ εy)(1+εz) [식을 간략화하기 위해 길이를 단위길이 1로 설정한 상태] 원래대로면 이렇게 수정된 부피값을 구하고 이를 원래의 부피와 비교해서 하는 것이 올바르지만 변형량의 길이가 원래 길이에 비해 무시할 수 있고 이 요소를 곱할 때 그 값을 무시할 수 있게 된다. 따라서 수정된 부피를 간략화하면 V` = 1+εx+εy+εz 와 같이 표현 가능해진다. 원래의 부피 V = 1이었으므로 부피의 변형률을 e라 하면 e= V` - V = 1+εx+εy+εz - 1 = εx+εy+εz 로 표현할 수 있다.

위에서 εx, εy, εz의 값을 구했기 때문에 이 값을 부피의 변형률에 대입하면 식은 아래와 같이 정리된다.

여기서 응용한다면 모든 방향에서 균일하게 힘을 받는 상황을 가정할 수도 있는는데, 이 때는 모든 방향에서 힘이 균일하게 작용하기 때문에 이에 따른 변형률과 응력이 동일하게 되고 식을 정리하면 아래와 같다.

여기서 P는 동일하게 작용하는 압력의 크기를 의미하고 k를 재료의 체적탄성계수라 부르며, 압력을 받는 상태에서 물체는 체적이 감소하고 압력은 항상 물체의 인장 방향과 반대로 작용하기 때문에 식에서 체적탄성계수 k는 항상 양의 값을 유지해야 한다. 이 조건을 k에 관한 공식에서 살펴보면 E는 항상 양의 값을 가지기 때문에 변수의 결정 요인은 1-2ν 가 되고, 이 값이 항상 양수를 유지하기 위해서는 포아송 비가 0.5 이하여야만 힌다. 따라서 우리는 이 식으로부터 모든 재료의 포아송비는 0.5를 초과하지 못한다 라는 사실을 발견할 수 있다.

3. 전단변형과 수직변형이 동시에 존재할때

전단변형과 수직변형이 동시에 작용하는 상황은 어떤상황에서 각 면에 작용하는 수직응력과 전단응력이 같은지를 알아보아야 한다. 이를 위해서 물체를 양 옆으로 잡아당기는 상황을 가정하고 힘을 고정시킨체 물체를 회전시켜가며 힘의 크기를 삼각함수 값으로 표현하고 이를 통해 네 면에서 동일한 힘이 적용하는 경우를 구해주면 된다.  45도로 회전시켰을 때 힘과 물체의 네 면의 구성 형태가 같다는 것을 알 수 있게 된다. (이는 삼각형에서 사인 값과 코사인 값이 같은 각도가 45도이기 때문이다.) 45도에서 물체의 네 면에 작용하는 수직응력과 전단응력이 같다는 것을 알았기 때문에 우리는 이를 부피 변형에 대입해주어야 한다.

물체에서 고려할 부분은 45도 방향으로 이루어진 삼각기둥 형태의 모형이다.

만약 힘을 받아서 압축이 되는 상황을 고려한다면 삼각형의 높이는 줄어들고 밑변의 길이는 늘어나며 각도 역시 변화하게 되며, 전단응력의 변형 공식은 수직응력에서와 마찬가지로 τ = G x γ 에 의해 직육면체에서는 90 - γ 만큼의 각도가 감소하게 된다. 삼각기둥만을 고려하기 때문에 위 공식에 의해 변화한 각도 β은 아래와 같이 표현된다

탄젠트의 합/차 공식을 이용해 β를 나타내고 전단변형률이 매우 작은 값이라는 것을 고려하며 위에서 배운 포아송 비를 이용하면 β를 표현하는 식을 아래와 같이 간단하게 정리할 수 있게 된다.

식을 정리해 감마에 관련해 나타내고 분모의 값을 간단히 하면(변형률이 매우 작기 떄문에 위의 부피 현형률과 같이 무시할 수 있게 된다.)

식을 종탄성계수와 횡탄성계수, 수직응력과 전단응력 그리고 포아송비에 관한 식으로 나타낼 수 있게 되고 그 식은 아래와 같다.

이 식의 경우 저같은 경우는 학부 과정중에는 잘 사용하지 않았는데요

나중에 일반기계기사 필기 시험에서 가끔씩 응용되기 때문에 기억해두면 나중에 필요한 일이 있으거라 생각하여 첨부.