비틀림의 개념

1. 비틀림 - 토그의 결정

비틀림은 회전힘 즉 토크와 연관되어 있는 공식이다. 어떻게보면 정역학에서 배웠던 모멘트와 연관이 있다. 일상 생활에서 비틀림을 경험할 수 있는 예로는 꽈배기를 말할 수 있다. 긴 밀가루 반죽이 손목이나 기계의 회전 힘에 의해 배배 꼬아지면서 우리가 아는 꽈배기 모양이 만들어지는데, 이런 비틀림 현상은 밀가루 반죽에서부터 강철봉까지 모든 물체에 나타낼수 있다. 다만 그 강도와 저항에 있어서 비틀림의 정도에 차이는 발생한다. 위에 있는 그림은 축의 양 면에 모터가 연결되어 있는 상황을 간락하게 나타낸 그림이다. 해당 상황에서 축의 양 끝에 있는 모터가 서로 반대 방향으로 회전한다면 축의 양 끝단은 다른 방향으로 회전하게 된다. 이 때 이 힘을 우리가 예전에 배웠던 모멘트는 힘 X 거리를 활용하면 아래 그림과 같이 표현할 수 있게 된다.

회전이 계속해 진행됨에 따라 dF 벡터는 계속해 바뀌게 되며, 토크 전체의 값을 df와 반경 p로 표현하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

dF가 작용하는 미소 면적을 고려할 경우 이를 응력으로 표현할 수 있게 되는데,

토크 힘의 방향을 고려해보았을 때 힘의 작용면과 평행하게 힘이 작용하기 때문에 전단응력이 작용한다는 것을 알 수 있다. 따라서 앞에서 구한 토크를 전단응력 공식을 활용해 아래와 같이 식의 변경이 가능하다.

하지만 이 식만으로 축에 작용하는 비틀림각이나 전단응력에 대해 완벽하게 설명할 수 없기 때문에 추가적인 공식 유도가 필요하고 이는 아래 장에서 설명이 이어진다.

2. 원형 단면측에서의 비틀림을 통한 비틀림 공식 유도

한 쪽 면이 고정된 원형 단면축의 경우 위 그림보다 비틀림 상황을 직관적으로 알 수 있는데, 비틀림이 발생하면서 양 끝단에 위상차가 발생하게 되고 이를 비틀림각으로 표현할 수 있게된다. 위 그림에서 원래는 A와 B가 같은 좌표 값을 가지고 있었지만 비틀림이 발생하며 위상차가 높이에 대한 위상차가 생기는 것을 확인할 수 있다. 비틀림이 발생하는 상황을 잘 생각해보면 토크의 크기에 따라 비틀림각이 더 크게 변화하는 것을 알 수 있는데, 비틀림각의 경우 일정 범위까지 토크의 크기에 따라 선형적으로 변화하며 길이와도 정비례 관계를 갖다.

일상 생활에서 수건을 짤 때 같은 힘을 주더라도 길이가 긴 수건이 상대적으로 더 잘 꼬이는 것에서 알 수 있다. 선형적인 변화의 경우 대부분 재료가 균등하게 분포되어있다고 가정하기 때문에 어떻게 보면 당연한 결과이다.​

축이 비틀리는 상황을 가정해보면 비틀림 하중을 받음에 따라 미소 요소에 변형이 발생하게 되고, 정사각형 모양이라고 가정했던 미소 요소는 마름모 모양의 형상으로 바뀌게 된다. 이 때 전단변형률은 정사각형을 마름모로 변화시킨 각의 변화로 측정할 수 있다. 원형 축의 경우 아무리 회전을 시켜도 양 끝단에서의 형상은 "원" 그대로를 유지하기 때문에 식 전체의 전단변형률은 AB와 AB` 사이의 각과 동일하다고 나타낼 수 있게 된다.

만약 전단변형률이 매우 작다면 탄젠트 함수의 값이 0에 근접하고 각도 역시 0에 근접하므로 호 BB`의 값을 BB` = AB tan(변형각) = AB길이 X 변형각으로 나타낼 수 있다. 이를 식으로 표현하면 아래와 같습니다.

식에서 비틀림을 받는 축의 임의점에서 전단변형률은 변형각의 크기에 비례하고

길이에 반비례하며 반경, 즉 축의 중심으로부터 미소면적까지의 길이가 커짐에 따라 그 값이 증가한다는 것을 알 수 있다. 해당 가정에서 동일 축선이라고 가정하면 전단변형률을 결정하는 모든 변수에서 그 값을 변형시키는 유일한 변수는 반경의 길이가 되고, 반경이 축의 표면 즉 반지름의 값과 같을 때에 전단변형률이 최대값을 가진다는 사실을 알아낼 수 있다. 이 과정을 통해 전단변형률이 최댓값을 전단변형률으로 표현하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

예전에 배운 Hooke's Law에 따르면 전단 변형률은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

이 식에서 전단변형률 값에 위에서 구한 식 중에서 전단변형률의 최댓값에 대한 공식을 대입하면 아래와 같다.

위에서 우리는 토크의 크기를 미소반경까지의 길이에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있다.

앞에서 구한 전단응력의 최댓값에 대한 공식을 위 공식에 대입하면 아래와 같이 식이 변형될 수 있다.

식에서 적분구간의 경우 중심에 대한 단면의 극관성모멘트를 나타내므로 이를 J로 바꿀 수 있고(I_p로 쓰기도 합니다)

최종적으로 식을 정리하면 토크와 전단응력에 관한 공식을 아래와 같이 나타낼 수 있다.