변형량의 계산

1. 변형량의 공식이 유도

이 그림은 하중을 받아 물체가 인장을 하는 상황이다.

앞에서 단순 인장응력만을 고려하는 것이 아닌 실제 상황에서는 이에 따른 변형이 함께 일어나기 때문에 부재를 해석할 때에 응력뿐만 아니라 변형률도 함께 고려해야하며, 일반적으로 하중을 고려할 때에 탄성영역을 고려한다.

탄성영역이란 응력-변형률 선도에서 Hooke's Law를 만족하는 구간으로 직선의 모양을 띄고 있는 구역이다.

Hooke's Law 공식은 다음과 같다.

σ = E×ℇ​

식에서 좌변 부분은 수직응력 Sigma를 의미하고 앞에서 배웠던 공식을 떠올려보면 식을 다음과 같이 변형가능하다.

σ = P/A​ = E×ℇ​

그리고 변형률이란 (변형된 길이-원래 길이)/원래길이를 의미했고 변형된 길이를 L' 원래 길이를 L이라 하면 식은

σ = P/A= E×(l′−l/ l)

이 때 L'-L이 변형량을 의미하므로 위 식을 이용해 변형량에 대해 정리하면 최종적으로 다음과 같이 정리된다.

δ =L′−L = PL/ AE​

이렇게 단순 요소의 변형량을 고려할 때에 식은 매우 간단한 것을 알 수 있다. 해석해야 하는 부재는 여러개의 형상이 붙어있거나 혹은 구속되어 있거나 자중을 고려해야하는 등의 다양한 케이스가 있기 때문에 이에 대한 해석 방법을 알 필요까지는 없다.

2. 직력/ 병렬에 따른 변형량 공힉 적용

해당 그림에서 왼쪽 모양과 같은 형태를 가질 때에 이를 직렬 오른쪽과 같은 형태를 가질 때 이를 병렬 형태라 한다.

먼저 직렬연결의 경우를 살펴보자

직렬연결의 경우 하중이 양 방향으로 구해지지만 이 하중을 2개의 요소가 받기 때문에 하나의 하중 요소만 고려하는 것이 아닌 2개의 하중 요소 모두를 고려해주어야 한다.

1번 부재의 상단에 인장 하중이 적용하고 2번 부재의 하단에 인장 하중이 적용하는 모습을 확인할 수 있는데요

이를 자유물체도로 생각해보면 아래 그림과 같이 해석할수 있다..

먼저 자유물체도에서 그림에 붉은 색으로 표현된 힘의 크기는 전부 같다는 점을 유의해줘야한다.

그림에서 각각의 부재를 살펴보면 (1)번 부재는 양단으로 잡아당기는 "인장"의 상태에 놓여있고 (2)번 부재도 마찬가지이며, 전체 자유물체도를 고려할 때 두 부재가 접하는 곳에서 힘이 상쇄되기 때문에 압축이 발생하지 않는다는 것을 알 수 있다. 따라서 우리는 (1)번 부제의 면적이 A1 탄성계수가 E1 길이가 L1이며 마찬가지로 (2)번 부재 역시 A2, L2, E2의 값을 가진다 할 때

부재의 전체적인 변형량을 다음과 같이 구할 수 있게 된다.

병렬 연결의 경우 두 개의 요소가 다른 부재나 바닥 등으로 구속되어 있어 변형량이 동일한 상태를 의미한다. 이 때 구속에 의해 (1)번 부재와 (2)번 부재는 동일한 길이를 가지게 된다. 이렇기 때문에 병렬연결에서 변형량을 나타내는 공식에서 물체의 변형에 영향을 미치는 변수 요인으로는 단면적 A와 탄성계수 E라는 2가지의 값만을 고려하게 된다.

따라서 이런 문제에서는 전체의 변형량을 구하는 유형의 문제가 나오지 않고

변형량을 이용해 각각의 단면적이나 탄성계수를 구하는 유형의 문제가 출제된다. 앞에서 인장응력 공식을 변형해 물체에 가해지는 힘을 구했던 것과 마찬기가지로 공식을 변형해주시면 문제를 무리 없이 풀 수 있게되며, 병렬연결의 경우 변형량이 아래와 같은 모습을 가지게 된다.

3. 기타상황에서의 변형량

대부분의 변형량 문제에서는 공식을 익히고 응용하는 것이 주 목적이기 때문에 하중을 고려하지 않는 경우가 많다. 만약 우리가 부재의 무게에 의한 하중인 자중을 고려할 경우 힘을 다른 방법으로 고려해줘야하며, 위에서 왼쪽 그림은 외력이 작용하지 않지만 자중을 고려해야 하는 부재를 나타낸 그림이다.

그림에서 응력의 경우 길이가 변화함에 따라 값이 일정하게 변화하는 것을 보여줄 수 있다. 이는 물체의 자중을 분포하중과 같게 취급했기 때문이다.

물체가 균일한 밀도를 가지고 있다고 할 때에 비중이 일정하기 때문에 균일분포하중의 형태라 볼 수 있고 길이가 늘어남에 따라 부재에 작용하는 힘 역시 일직선의 형태를 띈 모습으로 증가한다고 볼 수 있다. 해당 상황에서 작용하는 힘은 단순 계산이 아닌 적분 계산을 따라야 하고 길이에 따라서 힘은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이 공식을 사용한다면 길이에 따라 특정 위치에서 자중에 의해 작용하는 힘의 크기를 구할 수 있는데, 앞에서 구한 변형량의 공식에 힘 P에 관한 식을 대입하면 특정 길이에서 변형량을 구할 수 있다. 일반적으로 최대 하중에서의 변형을 주로 고려하기 때문에 최댓값을 가지는 길이가 L일 때의 변형량을 주로 다루고있는데

길이가 L일 때 힘은 P_max의 크기를 가지게 되고 이 때의 변형량은 다음과 같이 구할 수 있다.

이 공식에서 만약 자중에 의한 변형과 외력에 의한 변형을 함께 고려한다면 총 변형량을 다음과 같이 구할 수 있다.

아래에 그림은 물체의 양면이 구속되어있는 상황에서의 변형을 고려해 본 그림이다.

위 그림은 물체의 양단이 고정되어있지만 하중으로 인해 인장/압축이 나타날 수 밖에 없는 상황을 나타낸 그림이다.

이런 상황의 경우 먼저 물체의 양단이 구속되어 있기 때문에 전체적인 물체의 변형은 발생하지 않게된다. 하지만 앞에서 우리가 알아보았듯이 물체에 하중에 작용하면 필연적으로 변형이 발생하기 때문에 이런 상황의 경우 전체 변형이 0이지만 두 부재가 크기는 같지만 반대 방향으로의 변형이 일어났기 때문에 변형의 총 값이 상쇄되었고 전체의 변형이 0이라고 해석해주어야 한다. 이를 식으로 표현하면 아래와 같다. (P1 = 부재 상단에서의 반력 P2=부재 하단에서의 반력)

우리가 자유물체도에서 P_1과 P_2의 방향을 같게 했기 때문에 외부의 하중이 W라는 크기를 가졌다고 하면  아래와 같은 식이 된다.

위 두 식을 연립한다면 각 부재에 작용하는 반력 P1과 P2의 크기를 구할 수 있게 된다. 이 문제 역시 위에서 병렬연결 시 문제와 마찬가지로 물체의 전체적인 변형량이 0이라고 고정된 상태이기 때문에 대부분 미지의 반력 P1과 P2를 해석하는 형태로 출제된다. 이런 문제의 경우 단순 자유물체도의 계산만으로 풀 수 없기 때문에 책에서는 아마 "부정정"문제로 나와있으며, 변형량 문제에서는 이런 유형이 난이도가 높은 편이기 때문에 이런 유형에 익숙해진다면 나머지 문제 역시 쉽게 해결할수 있을것이다.