簡化計算

2023.04.05 ~ 從整數數線到小數、分數數線

2023.05.20 ~ 奇偶數的規律

今天四年三班的小朋友要面臨的數學挑戰如下:

冰箱中有一瓶2000毫升的牛奶。

小如昨天喝了0.9公升的牛奶，今天又比昨天少喝了0.024公升的牛奶。

(1) 她這兩天共喝了多少公升的牛奶？

(2)  冰箱中的牛奶還剩幾公升？

因為題目較複雜，所以進行小組討論和全班討論時，是依題意分為兩階段來進行討論。

而下面的陳述，僅針對第一個問題來分享學生的解題策略。

討論實況:(T:老師  S:學生)

S1：我們這組的想法是，因為冰箱有一瓶2000毫升的牛奶，

    小如昨天喝了0.9公升 的牛奶，今天又比昨天少喝了0.024公升 的牛奶。

  我們先把…先不解那個他今天少喝的0.024公升 的牛奶，我們先把他昨天喝的牛奶乘以2等於1.8公升 。

T：所以這1.8公升是？

S1：兩天的牛奶。

T：兩天。兩個什麼天？

S1：昨天跟今天。

T：是昨天跟今天？

S1：嗯…是兩個昨天。

T：我先幫你這樣記錄。（教師在0.9×2＝1.8旁寫下「2個昨天」）好，請繼續。

S1：然後再把兩個昨天減掉…就是…一瓶要…因為他今天比昨天少喝了0.024公升 的牛奶，

   所以就減掉一瓶…先把他拿出一瓶，然後減掉0.024，等於1.776。

T：所以，那就是兩天後喝的牛奶，對不對？

S1：嗯。

T：好。問他們有沒有問題。來，自己點人提問，不要擔心。

S1：S2。

S2：那你…你有學過小數的乘法嗎？

T：如果你沒有學過，你可以用什麼方法解題？

S1：我是因為它的數比較少，所以我是用0.9+0.9。

T：喔！他是用加法。他是用乘法的表徵，

  但是他腦袋裡知道0.9×2就是0.9+0.9，一樣可以加出1.8。你們可以接受嗎？

All：可以。

T：可以！那算出1.8順利了。還有？

S1：S3。

S3：……（聲音太小，聽不清楚）

T：他說，昨天…你為什麼要乘2個0.9，他不懂。

S1：因為我先算那個昨天…，我先不要管那個0.024，然後再算2個昨天，再把一瓶抽出來，再減掉他今天少喝的。

T：我能不能幫他畫出圖案來。

All：老師我懂了！(老師還未開始畫圖)

T：好！那誰願意…那不錯喔！有人已經懂了，那就S4試試看。

S4：就是他把今天的都先算成0.9，然後兩天加起來，因為他今天比昨天少0.024，所以兩天加起來，因為他先把今天的算成0.9，然後再減0.024。

T：S5，是你的想法嗎？

S5：是。

T：是剛才你說懂了的想法嗎？

S5：嗯。

T：那我畫圖也許會幫忙其他人瞭解他在說什麼。他就想，反正呢～（在白板上畫圖）兩個杯子嘛！對不對？

  然後這一杯就是0.9對吧？0.9公升，這個是昨天的， 題目還告訴你，今天會怎麼樣？今天這個杯子不會到達0.9，他會到達這裡，那這一段是多少？

All：0.024

T：0.024公升，好。那我不知道這裡嘛！對不對？我這個圖，你們覺得可以表達那個意思嗎？

All：可以。

T：那麼，S1在做什麼事情？好，S5幫他說。

S5：他是在算說，他現在先把兩個昨天的算起來，

因為我們前面第一個算式他是說，把0.9減掉0.024，

那他就想說，他就先…到後面再算0.9減0.024，他是先把它加起來再減而已。

T：就是先把它這樣做，通通都是0.9這麼大的杯子，對不對？可是我很清楚今天這個杯子沒有0.9啊，應該要少多少？

All：0.024。

T：所以他到後面要一起把這個少的一起減掉。那會不會是兩天的總和？

All：會。可以理解了喔？還有沒有問題想問S1？

由於在討論中，

老師所用的語彙"兩個昨天"雖然學生能理解，但其實並不符合語法，

這也給我們一個思考的機會，未來可利用像這類解題較複雜的題型，

向學生示範如何以橫式配合「有效的數學註記說明」，來進行算式的表徵，也可引導學生有效的進行推理思考。

今日要進入一位小數乘以整數的教學，

在這之前孩子們已能解決多位整數乘以多位小數的乘法，

今天我們就要踏在這個舊經驗上前進!

布題:

一個彩球需要0.4公尺的彩帶，3個彩球需要多少公尺的彩帶?

班上25個孩子，下面是他們的解題紀錄:

當我看到幾乎全班都寫出 0.4×3=1.2 時，

並不會感到驚喜，反倒更讓我好奇他們是如何推論出答案的。

我先肯定解題紀錄1和2所應用的數學知識是我們都學過且正確的，

接著我請一位志願的孩子S1來上台說說他是如何算出 0.4×3=1.2，

結果，這孩子就指著他寫出的直式，

說明他是先遮掉小數點，然後算出4×3=12，再把小數點對齊點好。

哇塞! 我真是「請」到寶了，這孩子的想法竟然完全陷入錯誤，

給了我和其他孩子們絕佳的提問機會。

S2: 「為什麼遮住小數點成完後，就可以直接點下來呢?」 

S1: 無語中......

T: 「有人可以合理解釋嗎?」

全班思考無語中........

(本以為S2應該可以合理說明，畢竟他的提問不錯，但竟然後繼無力!)

T: 「我們知道4×3=12，但為什麼可以利用4×3=12就可以知道0.4×3=1.2呢?」

     「若是直式乘完後是將小數點對齊下來，那以後算 0.62×0.3 時，我們究竟要對齊哪一個小數點呢?」

我的「直球」提問使得孩子們陷入認知衝突中，他們知道自己答案是對的，但又說不出個所以然來。

直到一個孩子舉起手來，想要發表自己的想法，這僵局終於出現了一個突破口.........

S3: 「我是將0.4看成4個0.1，4×3=12，算出12個0.1，所以答案是1.2。」

Bingo!

但這代表可以相信他們懂了嗎?

No, No,No

這只代表S3是懂了，其他人則未必。

對大人而言這很容易理解，

但對10歲的小孩來說，這是抽象的且有些顛覆他們以前對乘法的印象，

所以我依然鍥而不捨的在後續布題中改變數字，

抽孩子上台練習像S3這樣的口語說明，說給自己聽也說給別人聽。

【能有序地說就代表有一定的理解，反覆地說或聆聽就等同在進行熟練】

隔日，先快速審閱一下孩子們日記的內容，

沒人交白卷，這就代表他們都願意表示自己的想法。

且大部分人都察覺到，題目上雖只有一字之差，

但題意卻產生了很大的改變。

由於昨日已自行畫過的線段圖，

因此不管對錯，在今日進行教學及討論時，都更能聚焦，

當然，我們也就在討論算出「同時同地反方向」的題目後，

「同時同地同方向」的題目也就順水推舟很快就釐清算式意義完成解題了!

今天是四年三班上小數除法的第一堂課，布題如下:

一條緞帶長0.8公尺，平分成2段，每一段長多少公尺？

在解題前，僅引導孩子們可以利用任何之前學過的數學知識來解題，

以下是孩子們自我解題後，所出現的三種解題策略。

從解題紀錄一和二中，可以看出孩子們多元思考的脈絡喔!

首先在進行全班討論之前，孩子們要先進行短時間的小組討論，

看看這三種解題紀錄在未說明前是否能說服大家，這也是為了訓練學生閱讀數學表徵的能力。

孩子們對於解題紀錄1和2倒是很容易就達成共識，反倒是對於解題紀錄三共有五小個組採懷疑的態度。

大家經過採此種策略解題孩子的解說後，才發現這跟整數的除法採位值概念的方式來列直式是一樣的。

不過，學習總是容易會一波三折，大家又發現有人的直式算式表徵是不一樣的(見解題紀錄4)，

在經過一番討論及老師引導觀察解題紀錄1和3之後，

大家的共識是

「如果採位值概念來列直式，那麼應該是視為 8 為 8 個 0.1，因此不應該採解題紀錄4的算式表徵，

除非是直接估商發現 0.4 × 2 = 0.8，那麼就可以採解題紀錄4的表徵方式。」

後記:

雖然老師在此單元的教學目標是要引導學生採位值概念來列小數除法直式，

不過因為今天題目中的數值容易估商，因此對孩子們來說，需求性是不足的。

但相信隨著之後數目加大後的布題，孩子們會做出更聰明的選擇！

今天在四年二班的課堂中，小數除法的學習依然是屬於現在進行式.......

布題一:

   5.2公升的飲料平分成13個杯，每杯有多少公升?

孩子們都很清楚的說出5.2 要換算成52個0.1才能順利算出答案的原因及計算經過。

接著便進行布題二:

 22.89公升的飲料平分成21個杯，每杯有多少公升?

這次採用抽選任一小組，讓整組人上台，

將原先應在台下小組討論的過程，原汁原味的呈現在全班面前。(這也是小組討論的另一種"進化版"喔!)  

在孩子們依序解說的過程中，很驚訝孩子們的位值概念奠定的十分穩固，

看來三、四年級為了建立位值概念所下的工夫沒白費，

接下來小數除法的教學應該有好日子過了呢!

教學設計:

1. 發下我手繪影印的學習單(如下)。

學習單左邊的長方形是邊長分別為1公分和8公分，右邊的正方形則邊長為3公分。

(因為是手繪所以有些歪斜，但還在誤差值內， 哈哈!)

這樣設計是為了方便孩子們用尺實際測量後，可以輕易整除邊長，

就可以放心依自己的判斷去合理分割圖形，且不會限制孩子們平分的方式。

若出現不同的分割方式，也可以順勢再複習一下「等積異形」的概念。

2. 待學習單上的問題(1)和(2)都完成，且彼此確認合理之後，讓孩子們完成學習單下方的問答題:「你發現了哪些數學關係?請具體說明。」

3. 進行小組討論來檢視他們的發現，然後將大家的共識寫在白板上送出。

4. 進行各組共識的全班討論，進而介紹並理解等值分數的概念。

5. 開始布題讓孩子們經驗分子不為1的等值分數，例如:2/3，完成等值分數的教學。

6.  接著於數學課堂中布出茶點題(見下圖)，讓孩子們去贏得自己的下午茶茶點，

     並在確認答案時，讓他們用畫圖來說明想法，

    以檢視他們對於等值分數的理解與運用狀況，也可以提前稍微經驗一下異分母的加法。

【這是配合國語課文中茶文化的介紹所設計的活動。茶點鳳梨酥由老師用班費去購買，並與孩子們一起張羅「下午茶」的事宜。】

以上就是我下週等值分數教學的預設內容，究竟能不能有效達到教學目標呢?

請待下回分曉!

我是先讓孩子們先找出一個和1/2個長方形大小一樣，但分母不可以為2的分數，

而之後也因為圖形的暗示，他們全都取分母為4，找出了2/4個和1/2個是一樣大的分數，

之後就放手讓他們找1/2的其他「分數好友」，

沒過多久，1/2的「分數好友」陸續出爐，

接著就請他們進行小組討論，並利用尺去檢視彼此的1/2「分數好友」是否視為真。

有趣的是，因為我的指導語，

有的孩子關注在同一個分數的分子和分母之間的關係；

有的則關注在兩個相等分數彼此之間分子和分母的關係。

全班25人，僅有4個孩子沒有表達意見，

其餘的即使「詞」或「算式」不夠精確，但確實有所發現，

由此可見，花的一節多的時間作圖是有效的。

今日上課就先拋出了鳳梨酥的誘人邀請，

孩子們馬上躍躍欲試，希望能挑戰成功，得到兩塊鳳梨酥。

全班有25人，第1題全班都正確，

但難度較高的第2題，有9個孩子落敗，

當然我還是會給他們機會去「搶救」自己，

最終讓所有人都有兩塊鳳梨酥可以品嚐。

而今日要分享的是，孩子們第一次解題時的表現，

從他們的表現中，

可以發現要孩子們理解並接受「等值分數」這個概念，

是值得用更多時間來琢磨的。

依照前一節課的解題狀況，

預測應該最多只能發展出簡單擴分或約分的策略

(孩子們目前還不懂數學名詞”約分”與”擴分”，是從經驗等值分數的過程中，經驗了”擴分”，

而”約分”則是孩子們懂得乘除互逆，因此”順便”發展出來的!)，

我是期待他們也能發展出利用分數本身的意義，也就是平分後取一定份數的概念來解題，

因為這題與之前布題最大的不同，就是多了”一盒果凍有20個”的文字敘述。

不過沒試過也不知道他們會怎麼想!

因為一開始我心裡就預測依據他們的舊經驗，應該可以發展出三種解題策略，

所以在解題前的指導語有特別強調說:

「老師已經想到三種可以解決這個題目的方法，不知你們能發現到幾種呢?」

下面則是當時孩子們的解題策略: 

其實，

孩子們根本不知自己在經歷分數運算的擴分、約分與通分，

他們只是單純的想解決問題–就是想將兩個分數的分母轉換成一樣的數目而已!

但……我心中所想到的另一個策略依然沒出現啊!

所以，心中雖然驚喜他們出現通分的策略，

但嘴上依然說著:「好棒!你們找到了我沒想到的另一種策略，

加上我之前所想到的，那我們應該可以有四種解題策略，再想想吧!還能怎樣做呢?」

可是，看到孩子們一副腸枯思竭的表情，

便說著:「有點難，對吧! 我給大家一個提示，一定要用分數來解題嗎?」

這句話好像又重新為孩子們加了些燃油，

小組討論又開始熱絡的想找出老師心中那謎樣的解題策略。

現在已經出現5種解題策略了，但我心中的那一個怎麼還是出不來呢?

此時，心中突然了解了一件事，孩子們可能是遵循我們之前的共識，

就是「題目中沒有的數字，如果要用就必須要能表示出如何轉換才能使用。」

不過，這也僅是我的推測，

無論如何，即使孩子們沒有發展出策略，

可是這是我認為孩子們應該要知道的策略，

我就會扮演班級上的一分子，來解說我的解題策略。

而現在不僅是利用這個機會來打破讓孩子們思考的框架來發現解題策略的多元，

也是讓孩子們理解站在數學知識的巨石上，是條條道路都通”羅馬”的!

不過，今日孩子們所展現的一切，

在孩子們與老師的合作下，供發展出6種解題策略，

並可從這6種策略中，看到之前所學的數學知識”堅定”的在策略之中穿針引線，

真是無心插柳成蔭，太令人驚艷了!

可見，

讓孩子們做學習的主人，這個方向絕對是對的!

今天在解題過程中，有部分孩子出現了0.85 = 85/10 的迷思，

因此就趁機讓孩子們討論並寫出數學理由來推翻這個想法。

以下是孩子們的數學說明，

我們也接續進行全班討論，讓他們有機會更深思小數和分數之間的關係(紅筆是討論獲得共識後的紀錄)。

這個布題我是在教完活動四(見上圖)後所布的題目，

除了布題之外，還要要求孩子們解題完後，要再思考是否有其他的解題方法，

最後我們來比比看，我們班一共可以找出多少種解題方法。

這樣的布題可以協助我檢視孩子們能不能活用已知的數學知識，還可以發展多元解題策略，一舉兩得!

以下是孩子們經過小組討論後送出的解題策略:

然後我們逐一閱讀每一組的紀錄，然後用不同的符號來將策略進行分類。

黑色和紅色勾勾  ~  都是走等值分數的路徑，將分母化成20或10來比較大小，也就是五年級要教的擴分概念。

綠色勾勾  ~ 也是走等值分數的路徑，將分母化成5來比較大小，也就是五年級要教的約分概念。

綠色星星  ~  是理解分數可表示兩數相除的結果，因此可以化成小數來比較大小。

黑色星星  ~  是回到題意去算出2/5 盒和 6/10盒各是多少個果凍來比較大小。

紅色三角形  ~ 則是以1/2為基準，將2/5 和 6/10與1/2比大小。我覺得能這樣做的孩子，對分數的數感是十分良好的。

孩子們表現的真好，不是嗎? 

這回和孩子們對完答案後，答對６題的暴增，５題的也很多。

當我問第二次答對題目比第一次多的人請舉手，

幾乎全班的手都舉起來了。

我所期待的「數學經驗」已然形成，

接著我就可以順水推舟的介紹「概數」這個數學名詞了！

國小數學屬於生活數學，與國中的純數學習有很大的不同，

顧名思義就是從生活中的例子來讓孩子們察覺到數學與生活的關係，

然後理解數學是如何存在於生活周遭，

接下來當然就是藉由老師的教學來讓孩子們懂得如何應用數學來解決生活中的問題。

因此，數學課堂上，老師的布題內容就會扮演關鍵性的角色，

決定著孩子們會從生活出發來學習數學，還是循著成人算則的模式來學習數學!

所以，如果布題改成 

“食品工廠昨天生產了6387個米菓。

每10個米菓裝成一包，最多可以裝滿幾包?裝承包的米菓共有幾個?

有辦法不用計算，就能看出答案嗎?”

試想，這樣的布題會不會更符合學習的需求呢?

孩子解題時，口語表達可能會這麼說:

“因為每10個米菓裝一包，問最多裝滿幾包，表示一包一定要10個，

因此6387有638個十，所以是638包，

而638個十也就是6380個米菓。

然後再經驗幾題類似的情境題後，

孩子們因為題目上的需求而都採用了相同的策略，

那麼此時宣告”無條件捨去法”的定義，然後再回到情境題去看題意，

理解到

6387 -> 6380 這樣就稱為”使用無條件捨去法取概數到十位”，

是不是更能促進孩子們理解概數在生活上的運用，並習得在數學上相對應的概念呢?

孩子們的舊經驗是只知道無條件進入與捨去法，

一開始要引導他們要用哪一種取概數的方法可以使誤差變小。

忠孝國小的2267人會以無條件捨去取千位

2267->2000 , 因為這樣和原數值才不會誤差太大。

那仁愛國小的2875人就會以無條件進入取千位，

2875 -> 3000

討論到這兒，也要適時埋下一個懷疑的種子，

那就是「同一個表格中的數量，可以各自用不同取概數的方法來處理嗎?」

當繼續討論到了信義國小的3472，以及和平國小的2500，

孩子們就會發生疑問，對誤差的選擇開始爭論該是無條件進入或無條件捨去，

甚至會出現兩種取概數法都可以的論點，

這時宣告四捨五入法的時機就到了!

其實，四捨五入法是不能被推論的，

因為這是屬於社會數學知識，也就是一種共同的數學約定。

看到這裡，希望可以讓大家理解題目的選擇真的非常重要，

雖然沒有一定的公式可循，

但要能刺激孩子們思考，且不誤導思考方向的題目，

可是要請大家在布數學題目前多思量一下喔!

雖然第七組估20平方公尺，是量感最不穩固的一組。

但是究竟哪一組最接近正確值並不是上課重點，

而是在這樣的估測過程中，

孩子們如何估測、如何運用對1平方公尺的量感，以及生活觀察力來解決問題，

才是我真正上課的重點。

今天風和日麗，是個很棒的春天早上。

上個週末孩子們就被要求回家用報紙做出一個邊長1公尺的正方形，

目的在讓學生感受到對1平方公尺的「量感」。

而孩子們今天也將面臨一項任務挑戰，

那就是要用自製的1平方公尺大的報紙來測量學校籃球場的面積。

首先我們先了解到邊長1公尺的正方形面積就是1平方公尺，

因為籃球場半場的面積乘以2就是整場的面積，

因此今天的任務便是測量出籃球場半場的面積，然後再計算出整場的面積。

告知任務之後，孩子們必須先進行小組討論，

達成到戶外測量時的策略共識後，還須記錄下來才行。 

接著我們便浩浩蕩蕩的前往籃球場開始我們今天的測量。 

這時，平常像麻雀般的吵雜聲不見了，取而代之的是有秩序的分工合作，

看來他們真的有事先達成「共識」喔!

在這次測量活動中，教學的重點是評估孩子們是否懂得，

應用之前所習得的面積公式(長方形的面積=長×寬)來進行實測，

並能理解所謂的並不是「公尺數×公尺數」，而是「平方公尺數×倍數」，

至於測量結果是否準確，

反倒不是今日教學的重點，只要誤差不要太離譜即可。

根據現場觀察，孩子們都採用「長×寬」策略。

先測量半場籃球場的長和寬，然後得到半場籃球場的面積之後再乘以2，

所以大家都順利求出籃球場的面積了。

回到教室也在全班討論中，確認了學生完全理解「長×寬」是指「平方公尺數×倍數」的概念，

所以今天的任務-成功!  

今天上課利用PPT上的故事，引導孩子們畫出「鐵軌」設計圖，

並從畫鐵軌的經驗中，察覺到平行線之間垂線的存在，

明日再引導孩子們討論這垂線與平行線之間的必然關係，就可以順利讓他們理解平行線的數學概念了! 

以下是今日上課分享:

先利用前篇文章所提到的PPT來引導孩子們畫出「鐵軌」設計圖。

大部分的孩子都拿著直尺來製圖，這挺符合他們直觀的想法及做法，

待孩子們都完成了「鐵軌」設計圖後，開始進行小組討論。

小組討論時，每個孩子要依序先說明自己畫鐵軌的步驟，

然後再讓其他組員用尺來確認每一個「枕木」是否都是3公分長。

全班有25個小孩，最終只有9個小孩通過彼此的檢測。

接著先介紹了PPT上的平行線定義後，

老師先收走了有出錯的設計圖，

然後讓小組成員用三角板去觀察測量留在各組的正確設計圖中，

並思考鐵軌和枕木之間有沒有存在任何數學關係，

因為即將下課了，就順勢將答案做為我們的下課密語。

很快的，每一組都發現鐵軌和枕木之間都互相垂直，

然後在說完猴子最討厭平行線(因為永遠不相交~無香蕉)之後，

我們就快樂下課了!

後記: 明天我們會繼續去探究如何正確畫出平行線以及平行線之間垂線的重要性!

在平面上，任何由四條線段為邊圍成的圖形，就稱為「四邊形」。

而我們在數學上常用的正方形、長方形、平行四邊形、梯形及菱形等，都屬於四邊形家族中的特殊四邊形。

在說明我的教學流程前，

要先簡單的解釋一下，在幾何中數學定義和數學性質的差異。

數學定義: 指的是「判定幾何圖形名稱的標準」。

數學性質: 指得是除了定義以外，一定會出現的幾何特徵。

舉例來說: 

平行四邊形的數學定義是「要有兩雙平行對邊」，

也因此「對邊相等、對角相等」是必然會出現的幾何特徵，

而「對邊相等、對角相等」就是平行四邊形的數學性質。

為了讓孩子們能夠有邏輯的建構出國小常用的四邊形家族族譜，

我基本上是不依照課本的順序(見上圖)，從他們熟悉的正方形和長方形開始介紹，

然後依序介紹菱形、平行四邊形和梯形。

而是會一步一步引導孩子們，

從四邊形的定義來逐一認識這些國小常用的四邊形及其數學性質，

並在最終能理解這些四邊形的數學性質。

以下是有關我教學流程的分享(上課用的學習單會放在雲端中供大家下載):

1. 先教有關四邊形的數學名詞，包含鄰邊、對邊、對角、對角線，

並讓孩子們察覺到四邊形的對邊是不一定要等長的，只要能用四條線段圍成即可。

2. 定義什麼是平行四邊形，並在學習單(1)上找出平行四邊形。

此外，還需在選出的圖形上，畫出2雙平行對邊之間的垂線，來證明之。

並所探索此圖形的相關數學性質(對邊等長、對角相等)。

3. 定義什麼是梯形，並在學習單(1)上找出梯形。

 此外，還需在選出的圖形上，畫圖證明只能在1雙對邊上畫出垂線。

並所探索此圖形的相關數學性質(對邊不一定等長【最多只有1雙】、對角不相等)。

4. 引導孩子們認識四邊形家族可分為下面三大類。

5. 定義什麼是菱形，並在學習單(2)上找出菱形。

  此外，還需在選出的圖形上，測量證明4邊皆等長。

  並所探索此圖形的相關數學性質(對邊平行、對邊等長、對角相等)。

6. 定義什麼是長方形，並在學習單(2)上找出長方形。

  此外，還需在選出的圖形上，測量證明4角皆為直角。

 並所探索此圖形的相關數學性質(對邊平行、對邊等長、對角相等)。

7. 繼續引導孩子們認識菱形與長方形與四邊形家族的關係。

8.  定義什麼是正方形(有4個直角且4邊等長)，並在學習單(2)上找出正方形。

  此外，還需在選出的圖形上，測量證明4邊等長且4角皆為直角。

並所探索此圖形的相關數學性質(對邊平行、對邊等長、對角相等)。

還要引導孩子們討論並理解正方形在四邊形家族中的特殊性。(正方形在定義上既是長方形也是菱形。)

9. 引導孩子們確認四邊形家族成員之間的關係。

10.最後，利用課本中的表格去檢測孩子們對四邊形家族中圖形的認識與理解。

ps. 從定義出發，依序讓孩子們察覺到這些四邊形的「特殊性」與「關聯性」，

          在探究與證明的過程中，「知識」也就隨之內化了!

學習單及PPT下載如下:

今日花了一節課來引導孩子們學習平行四邊形及梯形。

首先定義什麼是平行四邊形，

然後請他們先檢查學習單中的圖A和B，並畫出證明是平行的輔線，

確認有沒有平行四邊形。

然後再處理圖C和圖D、圖E和圖F，最後是圖G、圖H和圖K。

會這樣做是要讓孩子們可以從陌生到熟悉的過程中，

逐步累積有關平行線和平行四邊形關係的經驗，

等到他們最後檢測圖G(長方形)、圖H(正方形)和圖K(四邊形)時，

就不會因為是正方形或長方形而受到衝擊，去懷疑他們不是平行四邊形。

待他們找出學習單上所有的平行四邊形之後，

我才開始定義什麼是梯形，

且因為之前檢測的輔助線都還在學習單上，

因此孩子們很快就可以從學習單中辨認出梯形。

最後則是引導孩子們根據學習單上的圖形，來討論對角和對邊的關係。

有趣的是，

圖K(四邊形)會令幾個孩子感到不安，覺得稱它為「四邊形」是怪怪的，

但在我展示以平行線來分類的四邊形家族「族譜」後，

終於平息了那些孩子心中的不安了，

而我也可以放心下課了!

一開始這真的有些難到他們，

我猜可能是因為圖形E的鄰邊邊長差距不大，

不過最終還是有人發現了圖形D的4邊都一樣長，而圖形E則不是，

我趕緊抓緊時機，定義了4邊等長的圖形就是「菱形」。

然後請他們找出其他的菱形，分別是圖形B、D、H，

有趣的是，稱圖形H這個正方形為菱形，

孩子們對此一點也不感困擾，看來是了解何謂「數學定義」了。

然後，我再請他們在學習單上找出長方形，

圖形G當然就是他們的首選。

我讓他們觀察圖形E和圖形G，

問他們這兩個平行四邊形之間是否有明顯的差異。

這回花的時間不長，很快就有人回應圖形G有四個直角，

當然，我也立馬定義了4角皆為直角就是「長方形」。

再問他們圖形H長方形嗎?

孩子們也都能接受圖形H(正方形)是個長方形。

最後，就問他們圖形H這個正方形究竟有何跟其他圖形很不一樣的地方，

當他們說出「四邊等長、四角皆為直角」時，

我就順水推舟定義了「正方形」這個挺龜毛的圖形!

當然，在一步一步引導他們認識圖形的過程中，

學習單上也要做出相對應的紀錄(如下)。

再利用PPT來綜合整理複習四邊形家族的「族譜」，

最後玩一下「繞口令」像是

「所有的正方形都是長方形嗎?」

「所有的菱方形都是正方形嗎?」

「所有的正方形都是平行四邊形嗎?」之類的題目，

請孩子們立馬用手臂比出圈或叉來回答，

然後就可以下課囉!

後記: 這樣代表教學完成了嗎? 我並不這樣認為。

            課程進行到這裡，僅代表孩子們完成了「認識四邊形」的學習，

            至於要如何熟悉、內化就要靠後續的相關布題來繼續耕耘了!

在四邊形的教學中，四年級的孩子們除了要能辨認各類四邊形的特性，

還要會畫出這些四邊形。

今天的任務是要畫出一個平行四邊形。

首先和孩子們先確認平行四邊形的特性有:

1.兩雙對邊分別互相平行

2.兩雙對邊分別等長

在討論和作圖穿插的過程中，

孩子們也很快就了解要先畫出一雙等長的平行對邊，然後再連結兩線的端點就完成了。

問題是

他們真的可以用具有數學性的方式來說明自己的作圖嗎?

因此老師出了一張數學日記，要孩子們回家將自己的作圖經過書寫下來。

下面便是四年二班的數學日記內容:

而尚未上到平行四邊形作圖的四年三班，

因為四年二班老師分享了上課所遇到的狀況，

學生的作圖說明因為沒有標示頂點，因此在說明上容易出現瑕疵，

所以在快樂里上課時便做了修正，在討論作圖的過程中，

有先和學生達到了「作圖時如加註頂點的名稱，則會更容易和他人說明自己的想法」的共識。

四年三班的數學日記內容整理如下: 

從這兩班的數學日記上的表現，我們發現孩子們的實力還真的不容小覷呢！ 

有了平行四邊形的作圖經驗後，各班的孩子們要開始挑戰菱形了。

下面是匯集了四班腦力激盪後所找出的所有菱形作圖方式，

從他們的思考中，我們可以確認的一點，

孩子們對之前所學的三角形、角度，及現在所學的四邊形概念，

都十分的清楚，看來之前的辛苦的設計教學是有價值的!

學生作圖前已習得的數學性質有:

1.菱形4條邊都一樣長

2.菱形兩雙對邊分別互相平行

3.菱形兩雙對角分別相等

4.四邊形有兩條對角線

5.平行四邊形的任一條對角線可以分割出兩個全等三角形

6.四邊形的內角和為360度

(學生的證明為將四邊形畫出一對角線，可將四邊形分成兩個三角形，

因為三角形的內角和為180度，因此四邊形為180 × 2 = 360度)

學生在這次的菱形作圖過程中，可以依據所習得的數學性質發展出這五種作圖策略，

真是令人不由得想為他們豎起大拇指呢! 

今年康軒四下的教材將垂直與平行的概念，一鼓作氣地在同一單元中延續至四邊形的學習，

這倒是給了我們一個很好的機會，去發展學生臆測論證的高階數學力。

我們試著從兩種路徑去鷹架孩子們的學習，以便他們能經驗”臆測是什麼”。

第一種教學路徑是:

布題1:請證明”同時垂直於兩平行線之間的線段必等長”。

證明方式: 使用操作性證明(用工具測量，例如直尺、三角板等)。

在此允許孩子們藉由操作性證明，去理解平行線之間的距離相等。

布題2: 請證明 若ABCD為長方形(定義: 只有4個角，且皆為直角。)

則 (1)對邊平行

(2)對邊等長

(3)鄰邊垂直

在實際的教學現場中，

我們讓孩子們去觀察一個習以為常的幾何圖形–長方形,

然後去形成對長方形的數學性質的”猜想”(臆測中的命題)，

最後，引導孩子們理解運用”同時垂直於兩平行線之間的線段必等長”的數學知識，

可以合理證明出證明前猜想的真偽，完成論證的過程。

第二種教學路徑是:

布題1: 請依據長方形的定義去猜想長方形會有那些數學性質，

           請證明這些有關長方形數學性質的真偽。

證明方式: 使用操作性證明(用工具測量，例如直尺、三角板等)。

從先引導孩子們使用操作性證明(用尺測量或將圖形折疊)去證明長方形的數學性質，

建立以下的長方形數學性質為共同數學知識，

1. 對邊平行

2. 對邊等長

3. 鄰邊垂直

布題2: 請證明”同時垂直於兩平行線之間的線段必等長”。

在實際的教學現場中，

我們讓孩子們去觀察同時垂直於兩平行線之間不同位置的線段,

去形成對這些線段必相等或不一定相等的”猜想”(臆測中的命題)，

最後，引導孩子們理解到運用”長方形數學性質”的數學知識，

可以合理證明出證明前猜想的真偽，完成論證的過程。

事實上，光是引導孩子們對發現到的數學規律產生猜想，

就已經是件大工程，

更別說還要將孩子們原始語言所說出的”猜想”內容，

討論引導至簡潔周延的文字表達，

實在是需要一步一腳印的慢慢來激發孩子們的需求及能力。

而國小中年級要進行臆測活動的另一個難題，

就是數學知識上的不足，

無法完全採用數學性的方式進行推理論證，

就如同各位在上面兩個教學路徑中所呈現的，操作性證明是無法避免的事，

但操作性證明只能在有限的實例中進行證明，卻有無法推論到所有的困境，

不過因為十歲孩子的數學力有限，因此只好在某些方面讓步，

採用用手操作(如測量、摺紙之類)的實作證明來建立一些數學知識。

畢竟對我們而言，目前孩子們能不能獨立完成論證活動並不是重點，

而是讓孩子們 “經驗” 如何做出推論後，”察覺” 推論需要論證的必要性，

最終希望他們能「理解」論證的邏輯該如何用數學知識進行支撐，

期待他們在高年級時，能更為獨立的完成臆測與論證。

所以，

對我們而言

目前所實施數學的臆測活動

可是要強化孩子們從 「經驗、察覺、理解」學習歷程的加強版工具喔!

人類之所以會進步，就是因為有”需求”的產生!

孩子們學習的重要動力之一，就是對知識本身要產生需求感，

這樣在建構好知識之後，才會懂得如何活用知識!

因此，在課本上原本是在活動一介紹生活中的的統計圖，

活動二則是學習報讀長條圖。

為了讓學生產生學習的需求感，

因此今日的教學設計就是以”經驗-察覺-理解”為基礎，

來讓孩子們建構出長條圖應有的面貌，並理解長條圖中所提供的資訊可以如何應用!

布題: (康軒、四下)

S1: 這是一個台灣最受歡迎小吃的統計圖。

T: 沒錯! 統計圖的名稱很重要，這樣我們才會知道這個統計圖是在統計什麼!

S2: 紅色的小人表示100人，藍色的小人表示10人。

S3: 在統計圖中共有4種美食。

S4: 喜歡蚵仔煎有210人，喜歡珍珠奶茶有1……50人，喜歡大腸麵線有120人，喜歡臭豆腐有110人。

T: 為什麼剛剛說喜歡珍珠奶茶的人數時，會拖了幾秒才說出150人?

S4: 因為小藍人比較多，所以要數一下。

T: 因此在閱讀這個統計圖時，對於人數的多少，似乎不是每個種類都很容易就可看出人數，是嗎?

s們: 是!

S5:  在這個統計圖中，會知道喜歡蚵仔煎的人最多，喜歡臭豆腐的人最少。

(此話一說完，立刻出現一些嘈雜的質疑聲!)

T: 請問有人對這個發現有疑問嗎?

S6: 不是喜歡蚵仔煎的人最多吧?應該是…….

(他話還沒說完，就立刻警覺到不對勁的氛圍，就不說了!)

T: 你們覺得S6在想什麼呢?

S7: S6以為喜歡珍珠奶茶的人最多。

T: 為什麼S6會這麼想呢?

S8: 他應該是看到統計圖上珍珠奶茶的小人數最多，就以為是喜歡的人最多。

T: 那他忽略了在統計圖上的什麼資訊?

S8: 他沒注意到紅色的小人表示100人，藍色的小人表示10人。

T: 喔! 所以這個統計圖不僅在得到每個種類人數時，會有一點麻煩，

此外，也容易讓你們誤判喜歡人數最多的種類，是嗎?

S們: 是!

T: 那我們還可以從這個統計圖上看出什麼其他資訊嗎?

(安靜無語)

T: 我有辦法知道喜歡的蚵仔煎和喜歡的珍珠奶茶的人數相差多少嗎?

S9: 那就要210人減150人，得到60人。

T: 所以不利用減法，我們也無法很快看出結果，是嗎?

S們: 是!

T: 好! 這個統計圖的確能提供給我們資訊，但我們也容易誤判或要計算一下才能得到更進一步的資訊。

T: 現在我來介紹統計上常用的「長條圖」，然後我們來看看，長條圖能不能解決我們剛剛遇到的麻煩!

(老師開始一步一步繪製長條圖，藉由繪製的過程讓孩子們理解長條圖的結構。)

T: 現在我們完成了台灣最受歡迎小吃的長條圖，我們來檢查一下，是否比之前的統計圖更容易得到相關資訊。

T: 首先，容易看出各種類的人數嗎?

S們: 容易! 看縱軸就知道了!

T: 那麼容易看出喜歡人數最多和最少的種類嗎?

S們: 容易! 看長條的高低就知道!

T: 那容易知道喜歡的蚵仔煎和喜歡珍珠奶茶的人相差多少嗎? 還是仍然需要用減法來算? 

( 這個問題就沒這麼容易回答了，孩子們陷入沉思中……)

S10: 我只要看縱軸上210和150距離是6格，那就是60人了!

Bingo!

T: 所以長條圖比之前的統計圖容易閱讀、取得資訊，

這就是為什麼長條圖是很常使用的一種統計圖，

而我們也完成了一個長條圖了!

我終於寬心了許多，心想教學目標都達到了，

此時，有一隻小手突然舉了起來……

S11: 我們應該還要幫這個長條圖加上名稱吧?

(真是一語驚醒夢中人，沒錯! 忘了加上長條圖的名稱了)

在加上長條圖的名稱後，

終於，大家都可以心滿意足的下課囉!