五年級下學期
請在下方目錄中，選取想要觀看的單元。
由於各出版商版本及新舊課綱之間的差異，因此同年段的教學單元會逐年異動，
因此請自行在網頁中各年級搜尋需要的教學資料，謝謝!
108課綱
分數乘法
分數的乘法對孩子們來說，
抽象且不易理解，
因此我將這部分的教學分成兩部影片來說明。
容積與容量
1分鐘搞懂生活中的容積與容量
一分鐘弄懂厚度與容積(容量)關係
2024.04.14 ~ 容積與不規則物體積
這是為孩子們解說容積與不規則物題型的影片。
容積與不規則物體積的題型變化較多，
閱讀題目上的文字常會讓孩子越讀越糊塗，
因此希望這個影片可以幫助他們更清楚這些題型變化，
進而冷靜的算出答案!
小數乘法
小數的乘法概念奠定在分數乘法及位值概念上，
重點不在乘出來的積該如何點小數點，
而是要讓孩子們理解為什麼要這樣移動小數點的位置，
好讓小數的乘法和整數的乘法做完美結合，不混淆他們。
整數、小數除以整數
數學的直式算則其實非常萬能，
但孩子們常在未理解算則中隱藏的數學概念前，
就依樣畫葫蘆地用直式算則算出答案，
這不僅阻礙了數學思維的發展，
也使得進階的學習(尤其是乘和除)窒礙難行。
這部影片因為是要給學生看的，
在語速及講解上一不小心就超過20分鐘了，
唉!果真高年級的數學是令人傷腦筋的!
表面積
表面積是面積計算和展開圖形的概念結合，
也是六年級學習柱體表面積的奠基學習。
因此建議要引導孩子們「多」感受一下
立體物和展開圖形之間的關係及規律，
即使這些規律是很簡單的。
這樣到了六年級時，
就會因為理解其中的規律而在計算柱體表面積時「一帆風順」喔!
97課綱
分數乘法
2012.02.29 ~ 分數乘法(一)
對於高年級的孩子來說，分數的概念常常像是個熟悉的陌生人，
熟悉的原因是從中年級到高年級，分數的四則運算是螺旋式的分布在各學習階段中，可是又因在日常生活中不常使用，
因此雖能理解分數的意義，但正確使用分數的概念來解題，又使得這群孩子對分數四則的不安全感油然而生。
因此，我們所面臨的挑戰並不是僅希望能讓孩子們學會算出分數四則運算的答案而已，
而是要如何讓孩子們理解分數運算時的數學意義，
以便在未來解題時，能充分理解題意，懂得運用分數的運算，有效的完成解題。
對於抽象的概念，往往畫圖會是一個讓孩子們容易進入狀況的一個方法，
因此對於理解分數乘法的概念，圖示也成了一個重要的學習媒介!
(在教學過程中，學習計算正確並不一定代表他們理解題意， 因此利用下面二題來測試學生對分數倍的概念是否穩固。)
(1)一瓶汽水有三又二分之一公升，3瓶汽水共有多少公升? (這個概念為分數乘以整數倍，容易理解!)
(2)一瓶汽水有3公升，三又二分之一瓶汽水共有多少公升?
(從孩子們的圖中，發覺大部分的學生都理解到三又二分之一瓶意義。)
但也有學生對三又二分之一倍的意義是不夠清楚的!
這樣的情況可利用學生所畫出的圖中清楚察覺(下圖)，成為後續討論及辯證的焦點。
2012.03.01 ~ 分數乘法(二)
在上一堂課中，藉由將題意畫出的過程中重新釐清了在乘法概念裡，乘整數倍和分數倍的意義有甚麼不同後，
接下來我們就要利用下面的這個布題，做為引導孩子理解"分數乘分數"概念的重要墊步。
布題:
王老先生有1塊地，他用其中的1/2當菜園，
請問菜園用了多少塊地?請先依題意畫出圖後再列算式。
這個題目看似非常簡單，孩子們甚至不用算也知道答案，
問題是他們能畫出符合題意的圖並寫出正確的算式表徵嗎?
如果他們能，那就代表他們的分數倍概念十分穩固，
如果不能，那麼小組和全班討論就必須再次發揮功能，去釐清所有的迷思。
全班當天出席有30人而有寫出解題策略的孩子共28人，
內容如下:
解題策略1:(16人)(正確)
策解題略2:(4人) (正確)
由解題策略1和2的人數差異中可看出，
孩子們開始適應分數倍的概念了
解題策略3: (2人) (錯誤)
整數除分數的概念尚未學習，
而孩子們會採用這樣的解題策略，
是因為用"整數除整數"的概念遷移至"整數除分數",
而產生的迷思。
解題策略4: (3人)(錯誤)
這是以結果論去反推算式，
直接將"其中的1/2當菜園"這句話，
當作1/2塊地才會產生這樣的迷思。
解題策略5: (3人)(錯誤)
不符合題意。
「其中的1/2當菜園」這句話，不可直接轉譯成地是1/2塊，
而被減數和減數必須是同單位，
所以這樣的算式變成是"1塊地減掉其中的1/2"，不符合減法概念。
從上面的各姐題策略統計的結果中可看出，能寫出正確解題策略(1和2)的人共計20人過半數，
但還有一些學生在概念上仍有迷思，因此還需進行討論達成共識後，
才可以進入下一布題，也就是進行"分數乘分數"的學習。
而接下來的布題內容則為承上題
王老先生又用菜園中的1/7去種高麗菜，
請問種高麗菜用了多少塊地?
請先依題意畫出圖後再列算式。
學生能在解題上能順利畫出
「一塊地有14等份，並在其中的一等份畫上斜線」嗎?並寫出 "1/2 ×1/7 = 1/14 " 的算式嗎?
等待下節課揭曉!
2012.03.02 ~ 分數乘法(三)
在昨天的王老先生種菜的題目中，孩子們已知種菜是用了1/2塊地。
今日的布題承昨天的題目，內容如下:
王老先生又用菜園中的1/7去種高麗菜，
請問種高麗菜用了多少塊地? (請先依題意畫出圖後再列算式。)
孩子們不曾學過分數乘分數，因此今天的上課流程，
需先引導孩子們依題意畫出圖來，再在圖中找到答案後，列出算式將答案填上。
p.s.在此階段畫圖十分重要，孩子們要藉由畫圖的經驗，來理解為什麼分數乘分數時，兩分母要彼此相乘。
解題策略1:(正確)
唯一的瑕疵是圖示的部分
因為並未將另外不是菜園的部分(也是1/2塊地)也進行分割，因此在圖面上無法立即看出有14等分。
解題策略2:
能將依題意畫出圖來，
但卻對算式的表徵方式感到遲疑，
表示對分數乘分數的概念仍在建立中。
解題策略3:
忽略所分出的高麗菜園的地，
依然是以王老先生的那一整塊地為基準。
解題策略4:
理解題意，也能畫出圖示，
但對算式的演算過程有疑義，
才會出現 "1/14 × 1/14 = 1/14" 這樣的算式表徵。
今天孩子們完成了分數乘分數概念的第一次體驗，狀況還不錯，
待之後的布題依序出現，孩子也累積了足夠的經驗後，
相信就可以讓孩子們察覺在"分數乘分數"的運算中，為什麼是"分母乘分母"、"分子乘分子"了。
後記:
下一節課的布題為承上題
王老先生又將菜園中的4/7去種小白菜，
請問種小白菜要用多少塊地? (請先依題意畫出圖後再列算式。)
解題策略1:(完全正確)
解題策略2:(圖示有瑕疵)
結論: 孩子們幾乎都能寫出正確的算式表徵，只是在圖示方面，仍需再討論。
2012.03.06 ~ 分數乘法(四)
在經過上週和本週一連串對分數乘分數的學習，
昨天孩子們便帶了一張數學日記回家，以便讓老師能具體了解學生的學習狀況。
幾乎全班都能順利完成布題、畫出圖及寫出正確的算式，
僅將部分的內容分享下:
小數乘法
2012.4.23 ~ 小數乘法(第一節課)
今天是要學習『整數乘以小數』的第一節課，
因此先布了小數乘以整數的題目，想引導學生去複習位值關係。
布題:
一包米34.5公斤，請問10包米重幾公斤？
大家都速度快且順利的完成解題，
解題紀錄1：直式表徵。
將3.45看成345個0.01，算出3450個0.01後，換算成34.5。
解題紀錄2：橫式表徵。
理解被乘數的意義，將0.01先擴充10倍後，再進行換算。
解題紀錄3：
將被乘數依位值概念來分解，
使用乘法對加法的分配律概念來解題。
解題紀錄4：
此張解題紀錄無法從算式表徵中看出想法，
因此在經過孩子的說明之後，
大家才理解到
他是利用兩個位值之間的倍數為10倍的關係，
然後便知道乘以10倍就是原本在個位的數值要移動到十位，
其他的數值也以此類推。
從學生多元的解題方式，
讓我很欣喜孩子們能靈活運用數學知識，不受限於思考的框架中。
而且大家在討論以上四種解題策略的過程中，不僅將位值概念做了更確實的複習，且也"重溫"了不少數學概念喔！
2016.05.19 ~ 小數乘法1 (整數乘以小數)
課本(翰林版五年級)上的教學步驟是，
先複習小數乘以整數倍，
然後再用位值表讓孩子們察覺到
小數點的挪移的規律，然後再教整數乘以一位小數的乘法。
雖然這樣的教法，
是逐步幫孩子奠基，從再度溫習位值概念，到理解直式算則，
但總覺得缺少了讓孩子們主動探索的機會，
基於”經驗-察覺-理解”的教材設計原則，
因此改變了教學流程，並分享如下。
步驟一: 複習小數乘以整數的舊經驗
1.23×41 =123個0.01×41=5043個0.01=50.43
步驟二: 直接布整數乘以一位小數的題目，並先和孩子們確認理解題意。
布題:
1綑緞帶長35公尺，買0.7綑長幾公尺?
(請先寫出第一層算式，不要算出答案。)
不算出答案的目的，是希望能了解孩子是否真的理解這題是要用乘法來解題，
可是當班上絕大多數的孩子都寫出35×0.7時，真的代表他們理解了題意嗎?
其實不然，很有可能是因為這個單元是在教乘法，
因此他們就直接推論是要用乘法來解題。
但孩子們還是需要了解乘以小數倍的意義，
不然將來乘以小數及除以小數的題目交叉出現時，孩子們依然會被混淆。
為了想要知道究竟是怎麼一回事，
我就直接提問:
“大部分的人都寫出35×0.7，為什麼不是用35÷0.7，請說明35×0.7的意義?”
在一陣討論後，孩子們開始恢復了對乘以真分數倍的數學概念，
並與小於1的小數倍概念相結合，再加上將0.7捆改為2捆(35×2)、1捆(35×1)來列式後，
孩子們就更能確認應該是35×0.7才對!
步驟三: 請孩子們依照自己能理解的數學概念，
將答案算出來，並要能說出算式中所運用的數學概念。
結果有一半的孩子都寫出
我猜想要不是用了小數乘以整數的數學經驗來過度推論，
就是在補習班已先習得直式算則，
但無論如何，只要能想清楚，說明白，符合數學概念，依然是可以被接受的。
可惜的是，無人能依數學概念來合理說明直式算則上數字的意義，
因此依照班級討論的共識，這樣的解法是不能被接受的。
接下來就再給寫直式算則的孩子們一些時間再解題，，並讓已完成解題的孩子開始思考是否有第二種解題的方式，
以下是課堂上出現的解題策略:
解題策略1:
以小數轉換成分數來計算(符合舊經驗)
解題策略2:
經孩子解釋後，才了解他計算35×0.1的想法，是將0.1傳換成1/10，
所以還是以小數轉換成分數來計算(符合舊經驗)。
解題策略3:
先理解出 0.7=7/10，才將0.7拆解成7÷10，
然後依照四則運算的規則，將括號去除，算出答案(符合舊經驗)。
解題策略4:
先理解出 0.7=7/10，35×0.7=35×7/10，
以乘以分數倍的概念，將7/10拆解成÷10×7，算出答案(符合舊經驗)。
解題策略5:
先利用分配律拆解35成30+5，
然後利用乘法交換律，算出答案(符合舊經驗)。
依解題時所使用的關鍵性數學概念來分類，
解題策略1、2、3、4都是使用小數轉換成分數的概念來解題，
而解題策略5則是用乘法交換律，因此5個策略可分成兩類。
步驟四: 依據已確認無誤的解題策略，重新試著理解並合理解釋直式算則中數字的意義。
要讓孩子們看出直式算則中的奧妙，
當然不是一件容易的事，
經過了彼此的發想及討論，老師先協助他們還原心中的算法，
孩子們開始理解到自己是先算35×7，得到了245，然後點上小數點後，成了24.5，但問題是”為什麼小數點要點在哪裡呢?”
老師再暗示孩子們要重新思考我們已發展出的兩類解題策略，
看看能否找到能合理解釋直式算則的蛛絲馬跡。
結果發現
35×0.7
= 35×0.1×7 (拆解乘數)
=35×7×0.1 (使用乘法交換律)
=245×0.1 (依照10進位的位值概念，×0.1=×1/10，也就是要退一位)
=24.5
這樣就能合理解釋直式算則了，終於大功告成了!
2016.05.23 ~ 小數乘法2(小數乘以小數)
在孩子們理解小數乘以整數(0.35×12)和整數乘以小數(12×0.35)的數學意義後，今天就要探索小數乘以小數了!
布題:
一瓶桌有1.2公升，小青喝了0.7瓶，他喝了多少公升的果汁?
孩子們的解題紀錄及數學理由說明如下:
解題紀錄1:
拆解0.7=7×0.1，理解乘以0.1就是除以10。
解題紀錄3:
理解0.7=7/10，
所以×0.7=×7/10=÷10×7
(以分數乘法中習得的知識來支撐解題)。
解題紀錄4 : 理解0.7=7/10，
所以×0.7=×7/10=÷10×7(以分數乘法中習得的知識來支撐解題)。
解題紀錄5:
雖算出答案，卻暫時無法以已知的數學知識來支撐解題。
學生一一檢視解題紀錄1~4並對有疑問的部分進行Q&A之後，
接下來就是重頭戲~直式算則要上場了!
其實，支撐直式算則的數學知識早已顯現在視解題紀錄1~4之中，
因此接下來，我只是問孩子們，能否在視解題紀錄1~4中，
找到可以合理解釋直式算則的想法。
此話一出，
孩子們的思考就有了可以聚焦的方向了!
果真，
第一個上台的孩子，用的是右邊這張解題紀錄上的概念
1.2×0.7=1.2×7×0.1
所以在直式中，是將1.2×0.7先看成1.2×7=8.4，
然後×0.1等於位值上退1位，所以是0.84
第二個上台的孩子則用了另一張解題紀錄上的概念
先將1.2×0.7看成12×7=84，
然後×0.1×0.1等於位值上退2位，所以是0.84，
這樣的思考方式很快地就讓孩子們理解
為什麼補習班的老師會說1.2×0.7小數有2位了，
其實就是指位值要退2位,
而小數點往前移兩位跟位值要退2位是一樣的意思。
那我會擔心孩子們會選擇以上哪一個思考路徑去看待直式嗎?
其實不會，目前一位小數乘以一位小數，當然以上兩個方法都不難理解並解題，
但等到進入多位小數乘以多位小數時，
孩子們自然就會”選邊站”了，哈哈!
2016.05.24 ~ 小數乘法3 (直式算則與數學知識)
在一連串依照以習得的數學知識來理解小數乘法的直式算則後，
今天的重點就是要做總整理，
讓孩子們可以看到直式算則中所隱含的數學知識，
來穩固他們對直式算則的應用。
以下是課堂上，大家共同討論後所做出的筆記，
供各位參考!
小數除法
2011.05.19 ~ 小數除法(一)
在我記錄此次教學時，正值四年級下學期，
現因課綱變動，所以同樣的教學內容是在五下進行，
可連結下面網址，觀看當年的教學紀錄。
2011.05.20 ~ 小數除法(二)
在我記錄此次教學時，正值四年級下學期，
現因課綱變動，所以同樣的教學內容是在五下進行，
可連結下面網址，觀看當年的教學紀錄。
體積、容積與容量
2012.03.19 ~ 體積、容積與容量
今日的布題為圖形題
布題如下:
今有一內部長、寬、高分別為50、30、25公分的容器，
容器的厚度為1公分，注入水後，水深20公分，請問水的體積是多少立方公分?
解題記錄1:(正確)
解題記錄2:(錯誤)
算到沒水那部份的體積。
解題記錄3:(錯誤)
題目所給的數據為容器的內部長寬高，因此與厚度無關。
解題記錄4:(錯誤)
題目所給的數據為容器的內部長寬高，因此與厚度無關。
利用這題布題，
不僅可以檢視孩子們對學習內容的理解，更是一個很好機會來磨練審題能力。
因為孩子們常有一迷思，認為題目中所呈現的數字都應該要應用在算式中，而不確實去看懂題目的意思。
2020.01.07 ~ 體積、容積與容量之間藕斷絲連的關係
我們先來看看體積、容積、容量的數學定義
體積: 物體在空間中的大小 (常用 單位: 立方公尺、立方公分)
容積: 容器內部空間的體積 (常用 單位: 立方公尺、立方公分)
容量: 一個容器可以裝滿多少液體的量 【注意:這個「液體的量」指的不是重量。】 (常用 單位: 公升、毫升)
由此可知，
體積、容積、容量都是為了描述特定物體在空間大小的量。
體積指的是實體所佔有的空間大小，而容積和容量是實體內可負載的體積量。
以左圖為例，這個容器的厚度為1公分，
因此外部的長寬高分別為52、32、26公分，內部為50、30、25公分，
因此，容器的容積為50×30×25立方公分，
但體積不是52×32×26立方公分，
而是 (52×32×26) - (50×30×25)立方公分喔!
但我們也知道不是所有的容器內部空間都是規則的，而液體是可以充滿在任何不規則容器中的，
因此表示液體體積的容量就可以在此發揮功能。
當我們知道1毫升=1立方公分時，
容量和體積之間就可以依實際狀況需要而進行換算。
從另一個角度來看，因為容量是為了表示液量而存在的，
所以，使用有刻度的量杯就可以輕易讓我們知道液體在空間中所佔的大小，
而不規則的實體(例如石頭、金魚等)也可以利用放入容器中溢出的液量或上升的液量，
*阿基米德的故事
https://www.youtube.com/watch?v=UGu23sYDqqg
https://www.youtube.com/watch?v=Ymtd3N0C11M
利用液量和體積之間的換算，得知這個不規則實體的體積了!
總而言之，
體積、容積、容量這三個數學概念都是有存在的必要性，
並不是在找小孩子們的麻煩才讓他們學習的喔 !