「小數的乘法」影片重點整理

一、小數乘法的基礎概念

• 學習小數乘法前，需先理解分數與分數倍的概念。

• 重要基礎：十分之一等於0.1，十分之一×十分之一= 0.01（一百分之一）。

• 學生需先熟悉分數倍，才能順利銜接小數倍的概念。

二、位值與倍數關係

• 十進位系統中，相鄰位值間有10倍或0.1倍的關係。

  • 例：10乘以0.1等於1，100乘以0.1等於10。

• 當位值向右移動，實際上是乘以0.1（十分之一倍）；向右移兩位則是乘以0.01（一百分之一倍）。

• 這些位值與倍數的概念是學習小數乘法的關鍵。

三、整數與小數倍的乘法

• 例子：

  • 25 × 0.1 = 2.5（位值右移一位）

  • 25 × 0.01 = 0.25（位值右移兩位）

四、小數乘法的規律與理解

• 乘以0.1時，數字整體位值往右退一位，小數點往左移一位。

• 乘以0.01時，位值退兩位，小數點往左移兩位。

• 這種規律應讓學生理解為位值之間的倍數關係，而非單純小數點移動。

五、小數乘法的進階計算與觀念

• 小數乘整數：如1.5 × 3 = 4.5，可用單位量直觀理解。

• 整數乘小數：如3 × 0.6，需轉換為3 × 6 × 0.1 = 1.8，運用倍數與位值概念。

• 小數乘小數：如1.3 × 18.5，將1.3視為13 × 0.1，18.5視為185 × 0.1，整數相乘後再乘0.01（兩個0.1相乘）。

六、教學重點與結語

• 小數乘法的核心在於位值概念與倍數的理解。

• 若學生能掌握位值概念，小數乘法的學習將變得容易且有邏輯。

• 建議在教學時反覆強調位值與倍數的關聯，幫助學生建立正確的數學思維。

「比率」影片重點整理

比率的基本概念

• 「比率」是「總量與部分量之間的關係」，常用分數表示。

• 例如：班上女生14人、男生12人，總人數26人。男生比率為 12/26，女生比率為 14/26，兩者相加等於1。

比率的計算與應用

• 計算比率時，需確認總量：只有確定總量，計算出的比率才有意義。

• 例如選舉題目，若不知道實際投票人數或有廢票，得票率就無法正確計算。

• 獨立個體的比率：如三人各自投球，進球率應以每人投球數為總量，不能將所有人投球數加總。

比率的比較與意義

• 分數比大小時，可轉換為小數（如0.7、0.25、0.45），方便比較。

• 比率不可能超過1，若出現超過1的答案，表示對比率概念不熟悉。

• 比率可用於推估未來表現。

百分率

• 百分率是比率的一種，分母為100，常用於生活中（如考試成績、折扣）。

• 20% 實際上是0.2，100%就是1。

• 小朋友常誤以為20%等於20，實際上差100倍。

比率的運算應用

• 若兩個比率來自同一總量，可直接相減求差異，再乘以總量得出實際差值。

• 若比率來自不同總量，則不能直接相減。

加成與打折

• 加成：以成本為基準，加上利潤（如成本100元，加成20%，定價為120元）。

• 打折：以定價為基準，打折後只需付出原價的部分（如7折為70%）。

生活中的折扣例子

• 買一送一：原應付兩杯價錢，實際只付一杯，等於五折（50%）。

• 第二杯半價：兩杯總價為1.5倍原價，等於75折（75%）。

• 買三送二：五杯只付三杯錢，等於六折（60%）。

• 買的數量不同，最划算的方案也會不同，需要根據實際需求計算。

總結

• 比率是描述總量與部分量關係的重要數學工具，廣泛應用於生活各層面（如投票率、進球率、折扣計算等）。

• 正確理解比率、百分率、加成與打折的計算方法，有助於日常生活中的判斷與應用。

反過來解決這個問題，這些概念的應用也完全沒問題。

5.28公里 = (                )公尺

多元解題策略的發展，重點不在可以找到多少種解題策略，

而是在發展這些多元解題策略的同時，

孩子們可以經驗到數學知識是如何有效地進行連結，

以及能夠發展出解題策略的評析能力。

也就是可以依據題目類型及數字變化，

去選擇有效的解題策略來解題，

而不是總以「一招一式走天下」的心態來解題。

我個人認為這是在高年級教學中，一定要培養出來的數學素養。

經驗 - 察覺 -理解 - 連結 - 擴張 是穩固數學概念及涵養出數學素養的好方法。

對於高年級的孩子來說，分數的概念常常像是個熟悉的陌生人，

熟悉的原因是從中年級到高年級，分數的四則運算是螺旋式的分布在各學習階段中，可是又因在日常生活中不常使用，

因此雖能理解分數的意義，但正確使用分數的概念來解題，又使得這群孩子對分數四則的不安全感油然而生。

因此，我們所面臨的挑戰並不是僅希望能讓孩子們學會算出分數四則運算的答案而已，

而是要如何讓孩子們理解分數運算時的數學意義，

以便在未來解題時，能充分理解題意，懂得運用分數的運算，有效的完成解題。

對於抽象的概念，往往畫圖會是一個讓孩子們容易進入狀況的一個方法，

因此對於理解分數乘法的概念，圖示也成了一個重要的學習媒介!

 (在教學過程中，學習計算正確並不一定代表他們理解題意， 因此利用下面二題來測試學生對分數倍的概念是否穩固。)

 (1)一瓶汽水有三又二分之一公升，3瓶汽水共有多少公升?  (這個概念為分數乘以整數倍，容易理解!)

(2)一瓶汽水有3公升，三又二分之一瓶汽水共有多少公升?

   (從孩子們的圖中，發覺大部分的學生都理解到三又二分之一瓶意義。)

但也有學生對三又二分之一倍的意義是不夠清楚的!

這樣的情況可利用學生所畫出的圖中清楚察覺(下圖)，成為後續討論及辯證的焦點。 

在上一堂課中，藉由將題意畫出的過程中重新釐清了在乘法概念裡，乘整數倍和分數倍的意義有甚麼不同後，

接下來我們就要利用下面的這個布題，做為引導孩子理解"分數乘分數"概念的重要墊步。

布題:

王老先生有1塊地，他用其中的1/2當菜園，

請問菜園用了多少塊地?請先依題意畫出圖後再列算式。

這個題目看似非常簡單，孩子們甚至不用算也知道答案，

問題是他們能畫出符合題意的圖並寫出正確的算式表徵嗎?

如果他們能，那就代表他們的分數倍概念十分穩固，

如果不能，那麼小組和全班討論就必須再次發揮功能，去釐清所有的迷思。

全班當天出席有30人而有寫出解題策略的孩子共28人，

內容如下:

從上面的各姐題策略統計的結果中可看出，能寫出正確解題策略(1和2)的人共計20人過半數，

但還有一些學生在概念上仍有迷思，因此還需進行討論達成共識後，

才可以進入下一布題，也就是進行"分數乘分數"的學習。

 而接下來的布題內容則為承上題

王老先生又用菜園中的1/7去種高麗菜，

請問種高麗菜用了多少塊地?

請先依題意畫出圖後再列算式。

學生能在解題上能順利畫出

「一塊地有14等份，並在其中的一等份畫上斜線」嗎?並寫出 "1/2 ×1/7  = 1/14 " 的算式嗎?

等待下節課揭曉!

在昨天的王老先生種菜的題目中，孩子們已知種菜是用了1/2塊地。

今日的布題承昨天的題目，內容如下:

王老先生又用菜園中的1/7去種高麗菜，

請問種高麗菜用了多少塊地?   (請先依題意畫出圖後再列算式。)

孩子們不曾學過分數乘分數，因此今天的上課流程，

需先引導孩子們依題意畫出圖來，再在圖中找到答案後，列出算式將答案填上。

p.s.在此階段畫圖十分重要，孩子們要藉由畫圖的經驗，來理解為什麼分數乘分數時，兩分母要彼此相乘。

今天孩子們完成了分數乘分數概念的第一次體驗，狀況還不錯，

待之後的布題依序出現，孩子也累積了足夠的經驗後，

相信就可以讓孩子們察覺在"分數乘分數"的運算中，為什麼是"分母乘分母"、"分子乘分子"了。

後記:

下一節課的布題為承上題

王老先生又將菜園中的4/7去種小白菜，

請問種小白菜要用多少塊地?  (請先依題意畫出圖後再列算式。)

結論: 孩子們幾乎都能寫出正確的算式表徵，只是在圖示方面，仍需再討論。 

在經過上週和本週一連串對分數乘分數的學習，

昨天孩子們便帶了一張數學日記回家，以便讓老師能具體了解學生的學習狀況。

幾乎全班都能順利完成布題、畫出圖及寫出正確的算式，

僅將部分的內容分享下:

今天是要學習『整數乘以小數』的第一節課，

因此先布了小數乘以整數的題目，想引導學生去複習位值關係。

布題:

一包米34.5公斤，請問10包米重幾公斤？

大家都速度快且順利的完成解題，

從學生多元的解題方式，

讓我很欣喜孩子們能靈活運用數學知識，不受限於思考的框架中。

而且大家在討論以上四種解題策略的過程中，不僅將位值概念做了更確實的複習，且也"重溫"了不少數學概念喔！ 

課本(翰林版五年級)上的教學步驟是，

先複習小數乘以整數倍，

然後再用位值表讓孩子們察覺到

小數點的挪移的規律，然後再教整數乘以一位小數的乘法。

雖然這樣的教法，

是逐步幫孩子奠基，從再度溫習位值概念，到理解直式算則，

但總覺得缺少了讓孩子們主動探索的機會，

基於”經驗-察覺-理解”的教材設計原則，

因此改變了教學流程，並分享如下。

步驟一: 複習小數乘以整數的舊經驗

1.23×41 =123個0.01×41=5043個0.01=50.43

步驟二: 直接布整數乘以一位小數的題目，並先和孩子們確認理解題意。

布題:

1綑緞帶長35公尺，買0.7綑長幾公尺?

(請先寫出第一層算式，不要算出答案。)

不算出答案的目的，是希望能了解孩子是否真的理解這題是要用乘法來解題，

可是當班上絕大多數的孩子都寫出35×0.7時，真的代表他們理解了題意嗎?

其實不然，很有可能是因為這個單元是在教乘法，

因此他們就直接推論是要用乘法來解題。

但孩子們還是需要了解乘以小數倍的意義，

不然將來乘以小數及除以小數的題目交叉出現時，孩子們依然會被混淆。

為了想要知道究竟是怎麼一回事，

我就直接提問:

“大部分的人都寫出35×0.7，為什麼不是用35÷0.7，請說明35×0.7的意義?”

在一陣討論後，孩子們開始恢復了對乘以真分數倍的數學概念，

並與小於1的小數倍概念相結合，再加上將0.7捆改為2捆(35×2)、1捆(35×1)來列式後，

孩子們就更能確認應該是35×0.7才對!

步驟三: 請孩子們依照自己能理解的數學概念，

將答案算出來，並要能說出算式中所運用的數學概念。

結果有一半的孩子都寫出

接下來就再給寫直式算則的孩子們一些時間再解題，，並讓已完成解題的孩子開始思考是否有第二種解題的方式，

以下是課堂上出現的解題策略:

依解題時所使用的關鍵性數學概念來分類，

解題策略1、2、3、4都是使用小數轉換成分數的概念來解題，

而解題策略5則是用乘法交換律，因此5個策略可分成兩類。

          步驟四: 依據已確認無誤的解題策略，重新試著理解並合理解釋直式算則中數字的意義。 

要讓孩子們看出直式算則中的奧妙，

當然不是一件容易的事，

經過了彼此的發想及討論，老師先協助他們還原心中的算法，

孩子們開始理解到自己是先算35×7，得到了245，然後點上小數點後，成了24.5，但問題是”為什麼小數點要點在哪裡呢?”

老師再暗示孩子們要重新思考我們已發展出的兩類解題策略，

看看能否找到能合理解釋直式算則的蛛絲馬跡。

結果發現

35×0.7

= 35×0.1×7 (拆解乘數)

=35×7×0.1 (使用乘法交換律)

=245×0.1 (依照10進位的位值概念，×0.1=×1/10，也就是要退一位)

=24.5

這樣就能合理解釋直式算則了，終於大功告成了!

在孩子們理解小數乘以整數(0.35×12)和整數乘以小數(12×0.35)的數學意義後，今天就要探索小數乘以小數了!

布題:

一瓶桌有1.2公升，小青喝了0.7瓶，他喝了多少公升的果汁? 

孩子們的解題紀錄及數學理由說明如下:

那我會擔心孩子們會選擇以上哪一個思考路徑去看待直式嗎?

其實不會，目前一位小數乘以一位小數，當然以上兩個方法都不難理解並解題，

但等到進入多位小數乘以多位小數時，

孩子們自然就會”選邊站”了，哈哈!

在一連串依照以習得的數學知識來理解小數乘法的直式算則後，

今天的重點就是要做總整理，

讓孩子們可以看到直式算則中所隱含的數學知識，

來穩固他們對直式算則的應用。

以下是課堂上，大家共同討論後所做出的筆記，

供各位參考!

在我記錄此次教學時，正值四年級下學期，

現因課綱變動，所以同樣的教學內容是在五下進行，

可連結下面網址，觀看當年的教學紀錄。

https://sites.google.com/view/mathtalk2020/%E9%A6%96%E9%A0%81/%E5%9B%9B%E5%B9%B4%E7%B4%9A%E4%B8%8B%E5%AD%B8%E6%9C%9F#h.eqpkwg4a5q9u

在我記錄此次教學時，正值四年級下學期，

現因課綱變動，所以同樣的教學內容是在五下進行，

可連結下面網址，觀看當年的教學紀錄。

https://sites.google.com/view/mathtalk2020/%E9%A6%96%E9%A0%81/%E5%9B%9B%E5%B9%B4%E7%B4%9A%E4%B8%8B%E5%AD%B8%E6%9C%9F#h.369fbnf0yvte

今日的布題為圖形題

布題如下:

今有一內部長、寬、高分別為50、30、25公分的容器，

容器的厚度為1公分，注入水後，水深20公分，請問水的體積是多少立方公分?

利用這題布題，

不僅可以檢視孩子們對學習內容的理解，更是一個很好機會來磨練審題能力。

因為孩子們常有一迷思，認為題目中所呈現的數字都應該要應用在算式中，而不確實去看懂題目的意思。 

我們先來看看體積、容積、容量的數學定義

體積: 物體在空間中的大小                                  (常用 單位: 立方公尺、立方公分)

容積: 容器內部空間的體積                                  (常用 單位: 立方公尺、立方公分)

容量: 一個容器可以裝滿多少液體的量  【注意:這個「液體的量」指的不是重量。】       (常用 單位: 公升、毫升)

由此可知，

體積、容積、容量都是為了描述特定物體在空間大小的量。

體積指的是實體所佔有的空間大小，而容積和容量是實體內可負載的體積量。

但我們也知道不是所有的容器內部空間都是規則的，而液體是可以充滿在任何不規則容器中的，

因此表示液體體積的容量就可以在此發揮功能。

當我們知道1毫升=1立方公分時，

容量和體積之間就可以依實際狀況需要而進行換算。

從另一個角度來看，因為容量是為了表示液量而存在的，

所以，使用有刻度的量杯就可以輕易讓我們知道液體在空間中所佔的大小，

而不規則的實體(例如石頭、金魚等)也可以利用放入容器中溢出的液量或上升的液量，

*阿基米德的故事

https://www.youtube.com/watch?v=UGu23sYDqqg

https://www.youtube.com/watch?v=Ymtd3N0C11M

利用液量和體積之間的換算，得知這個不規則實體的體積了!

總而言之，

體積、容積、容量這三個數學概念都是有存在的必要性，

並不是在找小孩子們的麻煩才讓他們學習的喔 !