「質因數與短除法」影片重點整理

核心概念與脈絡

• 學習質因數與短除法前，需先理解整數與因數的基礎知識。

• 小學數學用正整數（不含0與負數）作為討論範圍。

• 因數：若B能整除A，則B為A的因數；A ÷ B = C，則B與C皆為A的因數。

質數、合數與質因數

• 1是唯一只有一個因數的數，數學探究中通常不再討論。

• 只有兩個因數（1與自身）的數稱為「質數」。

• 有兩個以上因數的數稱為「合數」。

• 「質因數」指的是某數的因數且同時也是質數。

質因數分解的意義與操作

• 合數可以用一連串質數相乘表示，這些質數即為其質因數。

• 質數本身的質因數就是它自己，不需要再分解。

• 進行質因數分解時，通常從最小的質數（如2、3、5…）開始除，直到不能再分。

• 不論用合數或質數分解，最終都會得到一組質數相乘的結果。

質因數分解的規律與發現

• 所有合數都可分解為若干質數的乘積。

• 分解過程中，最後只會剩下質數，不會再有合數。

• 質因數分解可以用不同方式操作，但結果都一致。

短除法的介紹與應用

• 短除法是一種簡化質因數分解過程的除法表示法。

• 透過短除法，可快速找出一個數的質因數。

• 操作時，將被除數寫在內側，質數除數寫在外側，每次除完寫下商，反覆進行直到無法再分解。

• 短除法本質上是直式除法的簡化版，方便心算與記錄。

學習重點總結

• 合數一定可以表示為若干質數相乘。

• 質數和1不需再做質因數分解。

• 質因數分解可用乘法或除法進行，最後結果相同。

• 使用短除法能更有效率地進行質因數分解。

後續應用

• 質因數分解在後續學習「最大公因數」與「最小公倍數」等單元時會發揮重要作用。

• 理解質因數分解有助於數學邏輯與規律的掌握。

「最大公因數與最小公倍數」影片重點整理

質因數分解的基礎

• 國小階段主要討論正整數。

• 質數無需質因數分解，因為只有1與自身。

• 合數可分解為多個質數的乘積。

• 透過質因數分解，可以找出一個數的所有因數。

最大公因數的重點

• 最大公因數為兩數共同質因數的乘積。

• 透過短除法可有效找出最大公因數。

• 兩數最大公因數為1時，稱為「互質」。

  • 兩個質數一定互質。

  • 合數與合數、質數與合數未必互質。

  • 兩個偶數絕不互質（一定有2為公因數）。

  • 兩個奇數或奇數與偶數，互質與否不一定，可以舉反例驗證。

最小公倍數的重點

• 一個數最小的倍數是自己，公倍數為兩數共同的倍數。

• 最小公倍數可用質因數分解求得：將兩數所有質因數（各自出現的最大次數）相乘。

• 在短除法中，將所有質因數以及分解剩下的數相乘，即得最小公倍數。

數學邏輯與教學提示

• 質因數分解能找出所有因數，為後續最大公因數與最小公倍數計算打基礎。

• 短除法因為依據質因數分解原理，才能快速找到最大公因數與最小公倍數。

• 舉反例是驗證數學猜想的重要方法，尤其在判斷互質時。

「同分母的除法」影片重點整理

一、國小除法類型總結

• 國小除法主要有三種：包含除、等分除、當量除

  • 包含除：如6個蘋果每2個裝一袋，可裝幾袋？

  • 等分除：如6個蘋果分給2人，每人幾個？

  • 當量除：如0.6公斤綠豆60元，1公斤多少錢？

• 教學者需理解各類型的題型與概念，以便有效教學並協助學生建立正確概念。

二、分數除法類型與題型

• 分數÷整數：常見於等分除，如五分之八公斤米分3袋，1袋多少？

  • 不適用包含除，因題意不符，題型有限。

• 整數÷整數=分數：可同時為包含除與等分除。

• 分數÷分數：多為包含除題型，如五分之八公斤米每五分之一公斤裝一袋，可裝幾袋？

  • 分數÷分數不適合等分除，因「平分成五分之一袋」不合概念。

• 當量除題型：如五分之八公斤米192元，問1公斤多少錢？（屬於分數÷分數或整數÷分數）

三、分數除法教學設計重點

• 先複習分數四則運算，強調單位分數概念

• 引導學生用單位分數解題，設計簡單題目讓學生體驗「包含除」

• 讓學生自行思考與連結，培養數學邏輯推理

• 強調邏輯推理能力，為未來更抽象的數學學習做準備

四、教學步驟與建議

• 複習單位分數，加強基礎概念。

• 設計生活化題目，讓學生實際感受「包含除」。

• 逐步引導學生理解除法中的倍數關係與算式轉換。

• 針對「當量除」類型，利用算式填空協助學生建立乘除互逆概念。

「異分母分數除法」的影片重點整理

核心概念

• 分數除法的本質是「包含除」，要對應到「倍數」的概念。

常見迷思與澄清

• 學生常誤將加法中的分數直接約分（如100又二分之一 ÷ 10又二分之一誤約成100 ÷ 10），未理解加法與乘法的本質不同。

• 正確觀念：加法不能直接約分，需將整數與分數分開處理。

操作與引導

• 透過估算與圖像化，檢驗學生是否真正理解「包含除」與「倍數」的意義。

• 鼓勵學生將算式與圖像結合，幫助理解抽象的分數除法概念。

整數÷分數

• 例如：1 ÷ 1/2 = 2，學生需能用算式表達「1裡面有幾個1/2」。

• 進階題：3 ÷ 3/2，需將3拆成單位分數（如3 = 6個1/2），再分組計算。

異分母除法的步驟

• 通分：將兩個分數轉換成相同分母的等值分數。

• 包含除：計算分子間的倍數關係，並理解結果意義。

顛倒相乘規則的證明

• 異分母分數除法可轉換為「分數乘以其倒數」：a/b ÷ c/d = a/b × d/c。

• 證明過程需保留原始數字（證據），不能提前約分或相乘，讓學生看見數學規律的來龍去脈。

• 強調證明時需運用「通分」、「交換律」和分數乘法基本原則，並與學生原有知識連結。

教學重點

• 強調數學邏輯性與知識間的連結，讓學生理解每一步驟的意義。

• 鼓勵學生動手畫圖、討論、推理，而非僅僅背誦公式。

• 逐步引導學生從具體情境、圖像操作，過渡到抽象的算式與規則應用。

結語

• 異分母分數除法教學需重視概念理解、操作經驗與規則證明，幫助學生建立完整的數學知識體系。

「和、差、積、商」的數量關係 影片重點整理

主要概念與重點

• 數量關係的規律
  和、差、積、商四種運算中，存在「變量」與「不變量」的規律。理解這種規律，有助於孩子建立數學邏輯思維。

• 變量與不變量

  • 變量：會改變的數值或數量

  • 不變量：始終固定的數值或數量
    教學時亦可用「固定量」與「不固定量」幫助孩子理解。

四種不變關係的生活例子

• 和不變

  • 例子：白天小時數＋晚上小時數＝24小時（三角形內角和＝180度）

  • 強調要明確標示「單位」、「界定範圍」及「不變量」

• 差不變

  • 例子：兩人年齡差、民國年與西元年差1911

  • 日常中較難舉例，但如餐廳內用與外帶價差固定也屬此類

• 積不變

  • 例子：總重量不變，不同分袋方式（2公斤×40包＝4公斤×20包＝80公斤）、每月存款×月數＝總存款、面積/體積不變時長、寬或長、寬、高可變

• 商不變

  • 例子：總價÷數量＝單價、總面積÷數量＝單位面積

  • 這類題型常在計算單位量時出現

教學重點與方法

• 理解與練習變量、不變量的關係
  讓學生多練習，從生活例子中體會數量關係，幫助後續學習和不變、差不變、積不變、商不變。

• 表格應用
  利用表格整理數據（如積不變、商不變），幫助孩子觀察不變關係。

學生擬題與數感培養

• 鼓勵學生從生活中舉例、擬題，檢視其對數量關係的理解與數感。

• 例子需明確界定範圍與單位，避免模糊不清。

學習目的

• 建立孩子對數量關係的敏感度，為未來國中代數學習打下基礎。

• 讓孩子能將數學知識應用於生活情境，提升數學素養。

「除數為小數的除法」 影片重點整理

一、基本除法直式回顧

• 除法直式中，將數字依位值分解，逐步進行除法運算。

• 遇到餘數時，補0進位到下一個小數位繼續除。

• 小數點進入計算時，需先在商上標記小數點。

二、被除數小於除數的情況

• 當被除數小於除數時，需將被除數轉換為更小的單位（如1變成10個0.1），進入小數位計算。

• 商上記得補小數點，維持位值正確。

三、除數為小數的邏輯與題型轉換

• 除數為小數時，不能用「平分」的概念，題目通常問「有幾個某數量」或「是幾倍」。

四、計算方法與單位轉換

• 將除數和被除數都轉換成相同的單位量（如都用0.1或0.01），便於運算。

• 實際操作時，將小數點「劃掉」或「補零」，使除數變成整數，被除數同時等比例調整。

例題解析

• 2 ÷ 0.5：
  0.5變成5個0.1，2變成20個0.1，運算即20 ÷ 5 = 4。
  表示2裡有4個0.5，或2是0.5的4倍。

• 2.5 ÷ 0.5：
  2.5變成25個0.1，0.5變成5個0.1，運算為25 ÷ 5 = 5。

• 4.25 ÷ 2.5：
  2.5變成25個0.1，4.25變成42.5個0.1，運算42.5 ÷ 25 = 1.7。
  或將兩者都變成以0.01為單位，425 ÷ 250 = 1.7，答案一致。

五、解題注意事項

• 除數變整數時，被除數也必須進行調整，保持除數與被除數的單位量一致。

• 運算過程中，注意小數點的位置與補零的動作，避免出現錯誤。

• 檢查答案是否合理，理解被除數與除數之間的倍數關係。

「比與比值」 影片重點整理

主要內容架構

• 比率與比的定義與差異

• 生活情境中的比與比率應用

• 比的數學表徵與比值概念

• 相等的比與最簡整數比

• 教學計劃與思考脈絡

一、比率與比的差異

• 比率：表示「分量」與「總量」之間的關係，分量必須是總量的一部分，單位需一致。通常用分數或小數表示，且不會大於1。

• 比：表示「兩個獨立數量」之間的關係，單位可相同或不同。可用分數、整數或小數表示，但不可進行四則運算。

二、生活情境中的應用

• 若題目有總量（如一箱果汁24瓶），可用比率描述各部分所佔比例。

• 若題目僅有獨立數量（如檸檬汁200毫升、砂糖150克），則用比描述兩者關係，並可化為最簡整數比（如4:3）。

• 比率適合表達「部分/總量」；比則適合表達「兩個獨立數量」的倍數或比例。

三、比的數學表徵與比值

• 比的表示方式：前項 : 後項（如4:3）。

• 前項除以後項所得即為「比值」（如12:5的比值為12/5）。

• 比值可用分數、整數、小數表示，但不建議用帶分數，避免理解困難。

• 比與比值不可直接用等號連結，兩者是不同的數學表徵。

四、相等的比與最簡整數比

• 「相等的比」：前項與後項同乘或同除一個不等於0的數，所得比與原比相等（如10:2 = 20:4）。

• 「最簡整數比」：將比的前項與後項同除最大公因數，得到最簡化的比（如18:24化簡為3:4）。

• 相等的比與最簡整數比有助於比較數量大小與理解數量關係。

五、教學計劃重點

• 以情境題引導學生思考不同單位數量間的商不變關係。

• 定義比與比值，強調其數學表徵及意義。

• 連結比率與比，讓學生理解其適用情境與差異。

• 透過情境題引導學生理解相等的比、最簡整數比的數學意義及應用。

• 教學過程需根據學生思考靈活調整，強調順應學生思路。

比和比率都是為了表示數量關係而存在的數學概念，

比率主要是表示「總量」和「分量」之間的關係，

而比則是直接表示兩個以上的「獨立量」之間的關係。

而比值雖為比的概念延伸，但它僅能表示兩個「獨立量」之間的關係。

因此在解題時，還是要依循上面的定義，

但在某些情境中，

是可以合理的運用比和比率之間的相通性來進行解題的。

首先，在利用相等的比概念在解題時，其實就有兩種解題方式的存在(如下)。

接著，我們來看看如何合理的運用比和比率之間的相通性來進行解題。

在下面的這個題目中，也可以看到孩子們對於比和比率之間相通性的理解。

而在下面的這題，若用比值的概念則更容易解題喔!

因此引導孩子們理解「比」和「比率」在情境下的相通性，以及「比」、「比值」、「相等的比」之間的共通性，是很重要的教學重點!

「速率 」影片重點整理

速率的基本認識

• 速率是「平均每單位時間所移動的距離」，也稱為「平均速率」。

• 速率的計算方式：速率 = 距離 ÷ 時間。

• 速率是距離與時間的比值，屬於「商不變」的關係。

距離與時間的比較

• 若距離相同，比較時間，時間越短速率越快。

• 若時間相同，比較距離，距離越長速率越快。

• 學生可從生活經驗（如跑步、測秒數）快速理解這種比較。

速率的單位與換算

• 常見距離單位：公里、公尺、公分。

• 常見時間單位：小時、分鐘、秒鐘。

• 速率單位組合：

  • 時速：每小時多少公里（km/hr）

  • 分速：每分鐘多少公尺（m/min）

  • 秒速：每秒鐘多少公尺或公分（m/s, cm/s）

速率量感的培養

• 以生活例子（如高速公路車速、獵鷹飛行速度）與學生日常經驗做比較，強化速率的感受。

• 速率的量感可透過單位轉換（公里→公尺→公分，時→分→秒）逐步建立。

距離、時間、速率三者關係

• 三者公式互換：

  • 速率 = 距離 ÷ 時間

  • 距離 = 速率 × 時間

  • 時間 = 距離 ÷ 速率

• 當速率不變時，距離與時間呈「商不變」關係；距離變n倍，時間也變n倍。

• 當距離不變時，速率與時間呈「積不變」關係；速率越快，時間越少，反之亦然。

重點整理

• 速率是距離與時間的比值，反映物體運動的快慢。

• 速率的單位需根據實際情境選擇，並可換算以提升對速率的量感。

• 理解速率、距離、時間間的公式與關係，有助於解題與應用。

• 以生活例子輔助教學，可提升學生對速率的理解與感受。

「比例尺」影片重點整理

比例尺的定義與用途

• 比例尺不是一隻實體的尺，而是用來表示縮圖與實際空間之間的比例關係。

• 在平面圖或地圖上，比例尺幫助我們把圖面長度與實際長度做換算，避免只用感覺判斷空間大小。

縮圖與比例尺計算方式

• 比較縮圖與實際空間時，必須使用相同單位（例如都換算成公分）。

• 縮圖比例的計算方式：縮圖長度 ÷ 實際長度。

• 例如：圖面寬度10公分、實際寬度200公分，比例尺為10÷200=1:20（或二十分之一）。

比例尺的表示方法

• 分數表示法：如1/20、1/250000。

• 比值表示法：如1:20、1:250000。

• 線段圖表示法：圖上標示每1公分代表實際空間多少單位（例如0.2公尺）。

• 不論形式，比例尺的意義相同，都是說明圖面單位與實際單位的對應關係。

比例尺的規則與換算

• 前項代表縮圖，後項代表實際空間，單位需一致（通常用公分）。

• 前項通常設為1，方便計算與換算。

• 比例尺要化為最簡整數比，便於使用。

地圖上的比例尺應用

• 地圖上常見比例尺，如1公分代表2.5公里，需將公里換算成公分（1:250000）。

• 放大地圖時，比例尺也需調整，例如1公分代表0.5公里（1:50000）。

• 放大/縮小圖面時，比例尺與實際範圍、細節呈現息息相關。

生活中的比例尺應用

• 例如測量澎湖跨海大橋長度，地圖上的比例尺可協助換算實際距離。

• 透過比例尺，能精確計算實際空間長度，不必依賴主觀感覺。

在分數的除法中,

如果孩子對之前的單位分數概念建立穩固的話,基本上是不會有很大問題的!

不過,這個單元倒是一個很好的機會,讓孩子們體驗數學概念該如何進行證明!

本單元主要的挑戰,就是要察覺並推理證明出

"異分母除法可以用除數顛倒相乘的方式算出答案"!

但這樣的證明對於六年級的孩子是困難的,

因此我們推論，這個孩子有可能只是發現了這個規律，或是把分數乘法的算則過度推論到除法而已!

基於數學課室討論的精神是「想清楚、說明白」,

且這個學習階段的孩子常因為接觸太多成人算則(從安親班或補習班)，

或因為學得多而養成數學概念上過度推論的壞習慣,

因此我們決議除非這個孩子可以合理說明或證明,不然我們目前將不接受這樣的演算方式! 

由於孩子們已能解決異分母的除法，並已證明異分母的除法可使用顛倒相乘來加速計算，

因此今日便放手直接布題讓孩子們來解決有關”有餘數的分數除法”的題目。

布題:

把一袋7/9公斤的米，每2/9公斤裝一包，最多可以裝成多少包?剩下幾公斤?

在孩子們個別解題時的巡視中，發現到大家的解題策略一致，但是卻有四種相異的數學表徵出現。

此外，有一半的孩子落入了迷思概念，而且有些還是整組都錯，

因此決定了教學步驟為先抽出這四種相異數學表徵的解題紀錄貼在教室前的白板上，

然後並將其編號，由各組相對應編號的孩子各負責發表一張解題紀錄的想法，

依序發表進行小組討論 (例:小組序號1的孩子就負責解題紀錄1,……..)

待達到共識後，再由小組組員將這四張解題紀錄的小組共識，分別書寫在小白板上，

等待全班討論時，再一一進行辯證。

首先，各組依序先貼出對解題紀錄1的看法，然後全班逐一檢視，達到共識。

從以上兩組的想法可以看得出來，他們沒有真正理解分數除法的意義。

其實，分數除法是一種包含除的概念，

7/9 ÷ 2/9

= 7 (7個1/9公斤) ÷2 (2個1/9公斤)

=3 (倍，也就是2個1/9公斤有3個的意思) … 1 (分走了6個1/9公斤，還剩下1個1/9公斤)

在小數除法的學習中,孩子們最容易出現的迷思,就是當餘數出現的時候......

  這也是最好的時機,去檢視他們對於小數除法的概念是否清楚!

今日的布題如下:

一袋米重12公斤.每1.6公斤裝一包.

可以裝滿多少包?還剩下多少?

經過行間巡視,檢視全班的解題策略之後,決定要進行小組討論,

但不是在自己的小組中分享彼此的解題策略,而是老師直接挑出全班不同的解題策略,

然後展示在白板上並編上號碼,先讓孩子們自行閱讀白板上的紀錄,

然後由小組成員分工,依序說出自己對這些解題策略的想法,

互相溝通後,再由作者上台和全班同學進行Q&A,完成全班討論!

有趣的是,經過了小組討論的推理與分享,

解題記錄出錯的孩子,一上台就可以清楚的用數學語言說明他的想法及出錯的地方,很讚喔!

以下是今日全班討論的結果分享: 

今天因為時間的關係，只能和孩子們依據題意及算式表徵進行說明和討論，

下一節課就計畫要以今天的5種算式表徵為基礎，和孩子們討論一下該如何書寫小數除法的算式表徵，才能更「有效」的解題並幫助他人看懂算式!

今天是進入小數除法的第一節課，也就代表著孩子們目前在除法直式列式的經驗中，

僅能解決整數除以整數，以及小數除以整數的問題。

布題:

一個50元硬幣的厚度大約是0.2公分，

要疊成3公分高，需要幾個50元硬幣?

解題前的指導語是要孩子們利用以前學過的數學知識來解題，

並要在小組討論時說明清楚自己的解題策略。

最後在全班討論中，我們共有6種解題策略達到全班的共識:

在課堂上，刻意將解題策略6在最後才討論，是為了幫助孩子們過渡到除法的直式算式。

當6個解題策略都達到共識後，就可以直接揭示除法直式的寫法嗎?

事實上，我採取了另一個教學策略。

我想要讓孩子理解到上面的6種策略都可以解題，

但到底哪些策略才是效度更高且能完全符合各式題意的呢?

為了達到這樣的目的，我開始改變布題中的數字。

布題:

一個50元硬幣的厚度大約是0.3公分，

要疊成66公分高，需要幾個50元硬幣?

這時孩子們就認為解題策略1、3、5和6是可行的，而捨棄了解題策略2和4。

接下來，我又改變了布題，

布題:

一個玩具硬幣的厚度大約是0.3毫米，

要疊成66毫米高，需要幾個玩具硬幣?

此題一出，解題策略3就立即被拋棄了。 

目前仍然能存活的解題策略就只剩:

接下來，由於解題策略1是屬於分數除法的舊經驗，基本上可以讓孩子們經驗到小數與分數的關係，

但解題策略6就很重要，這樣的推理概念是符合之前除法直式算式的舊經驗，

因此來引導理解整數除以小數的直式表徵意義，是很容易就水到渠成的。

這樣教學結束了嗎?

不、不、不，還沒有呢!

還有個解題策略5，此策略在整數除小數沒有餘數時，是合理的，

但若有餘數時，則會出現自相矛盾的狀況，

例如:

5 ÷ 0.3

=(5 ×10) ÷ ( 0.3 ×10)

=50 ÷ 3

= 16 … 2

但答案應該是 16… 0.2，

如果將算式結果改成

5 ÷ 0.3

=(5 ×10) ÷ ( 0.3 ×10)

=50 ÷ 3

= 16 … 0.2

但

50 ÷ 3不會是 16 … 0.2，

所以這就會是下一節課的重頭戲，要布題引導孩子們好好討論，

最後要達到捨棄解題策略5的共識才可畫上句點喔!

比與比值的概念雖然在理解上困難不大，但因為是個初建立的數學概念，

因此在進行相關的計算，以及如何選擇合適的數學表徵來解題，

孩子們會需要較長的"適應期"!

因此我們以下面的這個自編布題，來引領孩子們理解比和比值的相關數學知識!

布題：

由於在六年二班進行竿影和影長的教室觀察時，

我們察覺到孩子們對於竿影和影長之間的比例關係並不清楚，甚至還用減法來解題，

因此其他各班開始修正教學內容，先提供孩子們實測竿影和影長的經驗，然後再進行教學。

首先，

我們先讓孩子們分組將表格畫好，以便有效地完成相關的實測。

然後我們到戶外進行實測，最後將數據帶回教室去做討論。

可是，我們發現孩子們所測量出的數據，誤差值頗多，會有困難讓孩子們察覺出竿長和影長的比例關係，

但我們也發現這是一個好機會，去讓孩子們發現生活和數學之間的「差距」，

理解生活數學(實際生活中的情況)和理想數學(數學課本的布題)的差別，

因此我們發展出以下的教學策略。

我們先讓孩子們自行思考該如何將這麼多數據進行整理，結果孩子們想先求平均數,

所以我們先將各組的數據統一成一個大表格，然後算平均數...

可是孩子們立刻察覺到，

竿長100公分髓算出的影長平均數144.3公分實在很沒說服力，

所以開始懷疑算平均數是個減少誤差的好方法嗎?

由於孩子們的生活經驗有限，

因此老師便開始問起「有沒有孩子看過奧運的體操?」

「通常體操評分的裁判會有很多人，是將所打出的分數一起平均，還是...?」

這個話題一出，

孩子們就開始興奮的分享，說會去除掉特別偏高或偏低的分數，然後其他的分數才進行平均。

接著也引導孩子們討論這樣的評分方式,OK嗎?

待孩子們理解在現實狀況下，這樣的方式反而比較能減少人為的誤差，

因此我們就一起討論該刪除白板上的那些數據...

然後算出平均數。 

接著問孩子們覺得要如何判斷竿長和影長究竟有沒有固定的關係?

孩子們決定要先確認有沒有正比的關係，因此開始算影長除以竿長的比值。

可是就算已經想盡辦法減少誤差了，

我們依然發現必須求到小數第一位才能看到正比的關係，

更有趣的是，

我們也發現竿長100公分影長的測量誤差值真的很大，

推論可能是因為當天是早上九點四十分去測量，而測量的皮尺為100公分長，

因此測竿長100公分影長時,都需要兩條皮尺才能完成測量，

因此也加大了出現更多誤差的可能性。

最後，我們做出了結論，

雖然我們無法避免測量上的誤差，但也能理解竿長和影長之間存在著正比關係，

不過這樣的關係一定要是在同一時間進行測量才行。 

比的內項乘積等於比的外項乘積，也就是a:b=c:d,那麼 a×d = b×c，

這個概念在國小階段並未涵蓋在學習範圍內。

可是在暑假教材研討時，

大家都認為在比和比值的概念穩固後，其實教這個概念只是臨門一腳，

重點是，孩子們必須要能證明才行。

因此在之前孩子們已經經驗過證明分數除法等於除數顛倒相乘之後，

我們便開始想知道這次的證明孩子們能順利通過考驗嗎?

以六年級其中一班上課實況為例:

因為當天課程有些緊迫，就先布題讓學生看過題目，

然後當做回家的數學日記，並鼓勵學生要靠自己的力量去解出答案，

就算無法解出，只要寫出困難點在那裡就可以了，也算完成作業，

下面是學生回家獨力完成的結果，

全班30個孩子，其中有10人順利解出!

解題策略綜合整理如下:

有意思的是，孩子是如何理解

25÷(5÷4)=X

25×4÷5=X

經過這個孩子的說明後，真是令人五體投地，

竟然是

完全符合以前教分數除法時的概念，

並且也應用了同一數如果先除後乘或除乘後除其結果一樣的概念，

老師真是沒白教你啊!

隔日上課時，

雖然老師已經看過所有人的數學日記，但並未告知孩子們誰是對的、誰是錯的，

先要孩子們進行小組討論，分享自己的解題策略，互相檢視其中的合理性，

然後將獲得大家認同的解題策略，都貼到白板上進行全班討論，

再次共同檢視彼此的數學概念是否合理，完成此次的證明。

最後當然免不了的，孩子們又帶了一張數學日記當作跨年的作業，

要用未知數a:b=c:d來證明a×d=b×c，

有趣的是,大家都沒有因為這項作業而哀聲連連，反倒是拿得挺高興的，

那麼就等放完四天連假後，看看有多少人順利完成囉!

今天將數學日記順利全部收齊了!

全班30個孩子，只有2個孩子未能順利以數學證明的方式完成任務，

其他28個孩子的證明方式共分以下4類:

看來這次孩子們對於數學證明的體驗是過關了! 

今日布題: (康軒版)

用桶子裝水，水龍頭每3分鐘流出12公升的水，20分鐘會流出多少公升的水?

在行間巡視時，便在尋找是否有孩子用解題4的方式解題，結果全班僅有一個孩子使用，

經詢問後得知，是安親班教的解題方式，但他也不懂為什麼。

其實，在國小階段高年級的數學學習中，常受到家長或補習班所教的成人算則的干擾，

導致孩子們只能做表面解的運算，而非得到根本解的概念理解。

因此，在可能的情況下，我們會盡量引導孩子們去論證這些成人算則，

以讓孩子們理解”數的邏輯”，提升推理思考能力。

換句話說，

如果，今日沒有孩子寫出解題4的策略，

我也會自行提出這樣的解題策略，

好藉機刺激孩子們進行推理思考活動，讓數學知識的鍵結能更為穩固。

而在今日的課堂上，

孩子們並未有足夠的時間完成論證活動，

只猜想到也許可以用比值相等的路徑去試著證明。

因此，今日的回家功課便是一份數學日記，結果如何，就待明天囉!

昨日的數學日記全班共28人，有8人完成證明。

在這次的數學日記中，

事先強調要挑戰自己，不要求教於大人，就算寫不出來也沒關係，

並刻意讓孩子們自由選擇要用數字或代數來證明，

那是因為這不是第一次他們進行論證活動，但有些孩子可能還是對代數感到不安全，

所以，給予選擇的自由權，讓他們能在安全無壓力的氛圍下進行推理思考。

在完成論證的證明式中，仍有部分瑕疵，

但在全班討論的過程中，

一步一步引導孩子們經驗以下的事，包括:

1.要察覺該利用等量公理(或擴分成同分母)的舊經驗來支撐證明式中的數學運算。

2.要懂得保留證明結果中的必要數字，不然就看不出端倪了!

(在此和孩子們討論，該保留等號左邊的6還是右邊的6，以及保留的數學理由是什麼。)

不保留右邊的6，因為使用等量乘法的目的就是為了要讓4/6的分母消失。

要保留左邊的6，如果將左邊的分母3和6進行約分，

那麼最後要證明結果中數字2、3、4、6，其中的數字3和6就會消失了，無法繼續證明。

當完成了利用數字的證明，那麼再試著用代數來證明就會容易的多了!   (a、b、c、d為大於零的數)

今天是我們班上”相等的比”的最後一節課，

因此一上課就先藉由提問來確認孩子們對“比”、”比值”、”相等的比”、”最簡單整數比”等數學名詞的概念。

之後就布了兩題分別將分數及小數的比化簡為最簡單整數比。

在解題的過程中，現一些有意思的事來和大家分享。

題目(採自康軒):

小御用1/2匙的醋和2/3匙的橄欖油做沙拉醬。

醋和橄欖油的最簡單整數比是多少?

其實，這題目不難，

但不少孩子遲疑了好一會兒才開始解題，

有兩個孩子的解法令人很難忽略，

他們是這樣寫的:

1/2 = 1  ÷ 2      1 : 2

2/3= 2  ÷ 3      2: 3

A: 1:2 和 2:3

因此， 全班討論一開始，就先請孩子們檢視上面的算式，然後再提問。

結果，立刻有人舉手問說:”請問你1:2中，前項和後項的單位是什麼?”

此話一出,立刻有人笑了出來，因為都是”醋”，

寫的人也立刻發現到自己的荒謬。

可見，分數的布題干擾到部分孩子們的解題，

當老師將題目數字改成整數，

小御用2匙的醋和3匙的橄欖油做沙拉醬。

醋和橄欖油的最簡單整數比是多少?

他們立刻說是2:3，那依原題意的數字當然是 1/2 : 2/3 囉!

下面是將小數的比化簡為最簡單整數比的解題紀錄，僅將孩子們的解題策略及出現的計算迷思供大家參考:

計算迷思如下: 

從這些解題紀錄中，我們可以觀察到，

孩子們在比值與比率概念上的應用，十分的有趣喔! 

最後孩子們共產出6種解題策略:

1)   10×2+(10-2)×2      [兩邊為10個磁磚，另兩邊為8個磁磚]

2)   10×4-4                    [四邊都當作10個磁磚，再扣除重複算的4個磁磚]

3)  (10-2)×4+4         [每邊不重複的磁磚有8個，再加上正方形四角還未算的4個磁磚]

4)  (10-1)×4               [每邊不重複的磁磚有9個，共有4邊]

5)  10+(10-1)×2+(10-2)

[每邊不重複的磁磚上邊有10個，左右邊各9個，下邊有8個]

6)  10×10 – (10-2)×(10-2)    [利用矩陣概念解題]

布題:

請大家將籃子中的這些立體進行分類，不管要分幾類都可以，

只要能用數學語言將自己的分類說清楚，

並獲得大家的認同即可。

這個任務夠簡單吧?

有東西可以操作，當然是孩子們的最愛，

只見他們先自行分類確認無誤後，便依序向小組的同學進行分享與討論。 

很有趣吧!孩子們竟然會對這個三角柱產生迷思，而且是生活中很常見的形體，

當然經過彼此的討論後，大家也察覺到彼此的迷思，

由此可知，

孩子眼中的世界真的與"大人"不同啊!

在這樣的學習過程中，孩子們體驗到在溝通時使用數學語言重要，

並也在彼此問答之間，還複習了有關幾何的舊經驗，如角、平行、頂點等的定義。

雖然因開放解題導致孩子們的分類不似課本上原先預期的分成柱體和椎體兩類，

但這樣的過程能讓孩子仔細觀察立體的形體，並自行去推理出合理的分類依據，

不僅有助於對立體的熟悉度，而且更能強化後續柱體和椎體的學習，

經過這樣的學習歷程，

相信任何一種立體放到孩子們的手中，他們都可以立即分辨出是不是椎體或柱體，

因為他們可以清楚的告訴你"為什麼"。