分數除法 (97課綱)

2012.10.17  ~  分數除法

在分數的除法中,

如果孩子對之前的單位分數概念建立穩固的話,基本上是不會有很大問題的!

不過,這個單元倒是一個很好的機會,讓孩子們體驗數學概念該如何進行證明!

本單元主要的挑戰,就是要察覺並推理證明出

"異分母除法可以用除數顛倒相乘的方式算出答案"!

但這樣的證明對於六年級的孩子是困難的,

因此我們推論，這個孩子有可能只是發現了這個規律，或是把分數乘法的算則過度推論到除法而已!

基於數學課室討論的精神是「想清楚、說明白」,

且這個學習階段的孩子常因為接觸太多成人算則(從安親班或補習班)，

或因為學得多而養成數學概念上過度推論的壞習慣,

因此我們決議除非這個孩子可以合理說明或證明,不然我們目前將不接受這樣的演算方式! 

2016.09.23  ~  有餘數的分數除法

由於孩子們已能解決異分母的除法，並已證明異分母的除法可使用顛倒相乘來加速計算，

因此今日便放手直接布題讓孩子們來解決有關”有餘數的分數除法”的題目。

布題:

把一袋7/9公斤的米，每2/9公斤裝一包，最多可以裝成多少包?剩下幾公斤?

在孩子們個別解題時的巡視中，發現到大家的解題策略一致，但是卻有四種相異的數學表徵出現。

此外，有一半的孩子落入了迷思概念，而且有些還是整組都錯，

因此決定了教學步驟為先抽出這四種相異數學表徵的解題紀錄貼在教室前的白板上，

然後並將其編號，由各組相對應編號的孩子各負責發表一張解題紀錄的想法，

依序發表進行小組討論 (例:小組序號1的孩子就負責解題紀錄1,……..)

待達到共識後，再由小組組員將這四張解題紀錄的小組共識，分別書寫在小白板上，

等待全班討論時，再一一進行辯證。

首先，各組依序先貼出對解題紀錄1的看法，然後全班逐一檢視，達到共識。

從以上兩組的想法可以看得出來，他們沒有真正理解分數除法的意義。

其實，分數除法是一種包含除的概念，

7/9 ÷ 2/9

= 7 (7個1/9公斤) ÷2 (2個1/9公斤)

=3 (倍，也就是2個1/9公斤有3個的意思) … 1 (分走了6個1/9公斤，還剩下1個1/9公斤)

小數除法 (97課綱)

2012.09.21   ~  小數除法

在小數除法的學習中,孩子們最容易出現的迷思,就是當餘數出現的時候......

  這也是最好的時機,去檢視他們對於小數除法的概念是否清楚!

今日的布題如下:

一袋米重12公斤.每1.6公斤裝一包.

可以裝滿多少包?還剩下多少?

經過行間巡視,檢視全班的解題策略之後,決定要進行小組討論,

但不是在自己的小組中分享彼此的解題策略,而是老師直接挑出全班不同的解題策略,

然後展示在白板上並編上號碼,先讓孩子們自行閱讀白板上的紀錄,

然後由小組成員分工,依序說出自己對這些解題策略的想法,

互相溝通後,再由作者上台和全班同學進行Q&A,完成全班討論!

有趣的是,經過了小組討論的推理與分享,

解題記錄出錯的孩子,一上台就可以清楚的用數學語言說明他的想法及出錯的地方,很讚喔!

以下是今日全班討論的結果分享: 

今天因為時間的關係，只能和孩子們依據題意及算式表徵進行說明和討論，

下一節課就計畫要以今天的5種算式表徵為基礎，和孩子們討論一下該如何書寫小數除法的算式表徵，才能更「有效」的解題並幫助他人看懂算式!

2016.10.25  ~  整數除以小數沒有餘數

今天是進入小數除法的第一節課，也就代表著孩子們目前在除法直式列式的經驗中，

僅能解決整數除以整數，以及小數除以整數的問題。

布題:

一個50元硬幣的厚度大約是0.2公分，

要疊成3公分高，需要幾個50元硬幣?

解題前的指導語是要孩子們利用以前學過的數學知識來解題，

並要在小組討論時說明清楚自己的解題策略。

最後在全班討論中，我們共有6種解題策略達到全班的共識:

在課堂上，刻意將解題策略6在最後才討論，是為了幫助孩子們過渡到除法的直式算式。

當6個解題策略都達到共識後，就可以直接揭示除法直式的寫法嗎?

事實上，我採取了另一個教學策略。

我想要讓孩子理解到上面的6種策略都可以解題，

但到底哪些策略才是效度更高且能完全符合各式題意的呢?

為了達到這樣的目的，我開始改變布題中的數字。

布題:

一個50元硬幣的厚度大約是0.3公分，

要疊成66公分高，需要幾個50元硬幣?

這時孩子們就認為解題策略1、3、5和6是可行的，而捨棄了解題策略2和4。

接下來，我又改變了布題，

布題:

一個玩具硬幣的厚度大約是0.3毫米，

要疊成66毫米高，需要幾個玩具硬幣?

此題一出，解題策略3就立即被拋棄了。 

目前仍然能存活的解題策略就只剩:

接下來，由於解題策略1是屬於分數除法的舊經驗，基本上可以讓孩子們經驗到小數與分數的關係，

但解題策略6就很重要，這樣的推理概念是符合之前除法直式算式的舊經驗，

因此來引導理解整數除以小數的直式表徵意義，是很容易就水到渠成的。

這樣教學結束了嗎?

不、不、不，還沒有呢!

還有個解題策略5，此策略在整數除小數沒有餘數時，是合理的，

但若有餘數時，則會出現自相矛盾的狀況，

例如:

5 ÷ 0.3

=(5 ×10) ÷ ( 0.3 ×10)

=50 ÷ 3

= 16 … 2

但答案應該是 16… 0.2，

如果將算式結果改成

5 ÷ 0.3

=(5 ×10) ÷ ( 0.3 ×10)

=50 ÷ 3

= 16 … 0.2

但

50 ÷ 3不會是 16 … 0.2，

所以這就會是下一節課的重頭戲，要布題引導孩子們好好討論，

最後要達到捨棄解題策略5的共識才可畫上句點喔!

比與比值 (97課綱)

2012.12.11  ~  比與比值之「調配果汁篇」

比與比值的概念雖然在理解上困難不大，但因為是個初建立的數學概念，

因此在進行相關的計算，以及如何選擇合適的數學表徵來解題，

孩子們會需要較長的"適應期"!

因此我們以下面的這個自編布題，來引領孩子們理解比和比值的相關數學知識!

布題：

2012.12.24  ~  比與比值之「竿影篇」

由於在六年二班進行竿影和影長的教室觀察時，

我們察覺到孩子們對於竿影和影長之間的比例關係並不清楚，甚至還用減法來解題，

因此其他各班開始修正教學內容，先提供孩子們實測竿影和影長的經驗，然後再進行教學。

首先，

我們先讓孩子們分組將表格畫好，以便有效地完成相關的實測。

然後我們到戶外進行實測，最後將數據帶回教室去做討論。

可是，我們發現孩子們所測量出的數據，誤差值頗多，會有困難讓孩子們察覺出竿長和影長的比例關係，

但我們也發現這是一個好機會，去讓孩子們發現生活和數學之間的「差距」，

理解生活數學(實際生活中的情況)和理想數學(數學課本的布題)的差別，

因此我們發展出以下的教學策略。

我們先讓孩子們自行思考該如何將這麼多數據進行整理，結果孩子們想先求平均數,

所以我們先將各組的數據統一成一個大表格，然後算平均數...

可是孩子們立刻察覺到，

竿長100公分髓算出的影長平均數144.3公分實在很沒說服力，

所以開始懷疑算平均數是個減少誤差的好方法嗎?

由於孩子們的生活經驗有限，

因此老師便開始問起「有沒有孩子看過奧運的體操?」

「通常體操評分的裁判會有很多人，是將所打出的分數一起平均，還是...?」

這個話題一出，

孩子們就開始興奮的分享，說會去除掉特別偏高或偏低的分數，然後其他的分數才進行平均。

接著也引導孩子們討論這樣的評分方式,OK嗎?

待孩子們理解在現實狀況下，這樣的方式反而比較能減少人為的誤差，

因此我們就一起討論該刪除白板上的那些數據...

然後算出平均數。 

接著問孩子們覺得要如何判斷竿長和影長究竟有沒有固定的關係?

孩子們決定要先確認有沒有正比的關係，因此開始算影長除以竿長的比值。

可是就算已經想盡辦法減少誤差了，

我們依然發現必須求到小數第一位才能看到正比的關係，

更有趣的是，

我們也發現竿長100公分影長的測量誤差值真的很大，

推論可能是因為當天是早上九點四十分去測量，而測量的皮尺為100公分長，

因此測竿長100公分影長時,都需要兩條皮尺才能完成測量，

因此也加大了出現更多誤差的可能性。

最後，我們做出了結論，

雖然我們無法避免測量上的誤差，但也能理解竿長和影長之間存在著正比關係，

不過這樣的關係一定要是在同一時間進行測量才行。 

2012.12.28  ~  比與比值之「內項乘積等於比的外項乘積證明篇」

比的內項乘積等於比的外項乘積，也就是a:b=c:d,那麼 a×d = b×c，

這個概念在國小階段並未涵蓋在學習範圍內。

可是在暑假教材研討時，

大家都認為在比和比值的概念穩固後，其實教這個概念只是臨門一腳，

重點是，孩子們必須要能證明才行。

因此在之前孩子們已經經驗過證明分數除法等於除數顛倒相乘之後，

我們便開始想知道這次的證明孩子們能順利通過考驗嗎?

以六年級其中一班上課實況為例:

因為當天課程有些緊迫，就先布題讓學生看過題目，

然後當做回家的數學日記，並鼓勵學生要靠自己的力量去解出答案，

就算無法解出，只要寫出困難點在那裡就可以了，也算完成作業，

下面是學生回家獨力完成的結果，

全班30個孩子，其中有10人順利解出!

解題策略綜合整理如下:

有意思的是，孩子是如何理解

25÷(5÷4)=X

25×4÷5=X

經過這個孩子的說明後，真是令人五體投地，

竟然是

完全符合以前教分數除法時的概念，

並且也應用了同一數如果先除後乘或除乘後除其結果一樣的概念，

老師真是沒白教你啊!

隔日上課時，

雖然老師已經看過所有人的數學日記，但並未告知孩子們誰是對的、誰是錯的，

先要孩子們進行小組討論，分享自己的解題策略，互相檢視其中的合理性，

然後將獲得大家認同的解題策略，都貼到白板上進行全班討論，

再次共同檢視彼此的數學概念是否合理，完成此次的證明。

最後當然免不了的，孩子們又帶了一張數學日記當作跨年的作業，

要用未知數a:b=c:d來證明a×d=b×c，

有趣的是,大家都沒有因為這項作業而哀聲連連，反倒是拿得挺高興的，

那麼就等放完四天連假後，看看有多少人順利完成囉!

2013.01.02  ~  比與比值之「數學日記證明篇」

今天將數學日記順利全部收齊了!

全班30個孩子，只有2個孩子未能順利以數學證明的方式完成任務，

其他28個孩子的證明方式共分以下4類:

看來這次孩子們對於數學證明的體驗是過關了! 

2016.11.22  ~  比的應用1

今日布題: (康軒版)

用桶子裝水，水龍頭每3分鐘流出12公升的水，20分鐘會流出多少公升的水?

在行間巡視時，便在尋找是否有孩子用解題4的方式解題，結果全班僅有一個孩子使用，

經詢問後得知，是安親班教的解題方式，但他也不懂為什麼。

其實，在國小階段高年級的數學學習中，常受到家長或補習班所教的成人算則的干擾，

導致孩子們只能做表面解的運算，而非得到根本解的概念理解。

因此，在可能的情況下，我們會盡量引導孩子們去論證這些成人算則，

以讓孩子們理解”數的邏輯”，提升推理思考能力。

換句話說，

如果，今日沒有孩子寫出解題4的策略，

我也會自行提出這樣的解題策略，

好藉機刺激孩子們進行推理思考活動，讓數學知識的鍵結能更為穩固。

而在今日的課堂上，

孩子們並未有足夠的時間完成論證活動，

只猜想到也許可以用比值相等的路徑去試著證明。

因此，今日的回家功課便是一份數學日記，結果如何，就待明天囉!

2016.11.23  ~  比的應用2

昨日的數學日記全班共28人，有8人完成證明。

在這次的數學日記中，

事先強調要挑戰自己，不要求教於大人，就算寫不出來也沒關係，

並刻意讓孩子們自由選擇要用數字或代數來證明，

那是因為這不是第一次他們進行論證活動，但有些孩子可能還是對代數感到不安全，

所以，給予選擇的自由權，讓他們能在安全無壓力的氛圍下進行推理思考。

在完成論證的證明式中，仍有部分瑕疵，

但在全班討論的過程中，

一步一步引導孩子們經驗以下的事，包括:

1.要察覺該利用等量公理(或擴分成同分母)的舊經驗來支撐證明式中的數學運算。

2.要懂得保留證明結果中的必要數字，不然就看不出端倪了!

(在此和孩子們討論，該保留等號左邊的6還是右邊的6，以及保留的數學理由是什麼。)

不保留右邊的6，因為使用等量乘法的目的就是為了要讓4/6的分母消失。

要保留左邊的6，如果將左邊的分母3和6進行約分，

那麼最後要證明結果中數字2、3、4、6，其中的數字3和6就會消失了，無法繼續證明。

當完成了利用數字的證明，那麼再試著用代數來證明就會容易的多了!   (a、b、c、d為大於零的數)

2016.12.21  ~  相等的比1

今天是我們班上”相等的比”的最後一節課，

因此一上課就先藉由提問來確認孩子們對“比”、”比值”、”相等的比”、”最簡單整數比”等數學名詞的概念。

之後就布了兩題分別將分數及小數的比化簡為最簡單整數比。

在解題的過程中，現一些有意思的事來和大家分享。

題目(採自康軒):

小御用1/2匙的醋和2/3匙的橄欖油做沙拉醬。

醋和橄欖油的最簡單整數比是多少?

其實，這題目不難，

但不少孩子遲疑了好一會兒才開始解題，

有兩個孩子的解法令人很難忽略，

他們是這樣寫的:

1/2 = 1  ÷ 2      1 : 2

2/3= 2  ÷ 3      2: 3

A: 1:2 和 2:3

因此， 全班討論一開始，就先請孩子們檢視上面的算式，然後再提問。

結果，立刻有人舉手問說:”請問你1:2中，前項和後項的單位是什麼?”

此話一出,立刻有人笑了出來，因為都是”醋”，

寫的人也立刻發現到自己的荒謬。

可見，分數的布題干擾到部分孩子們的解題，

當老師將題目數字改成整數，

小御用2匙的醋和3匙的橄欖油做沙拉醬。

醋和橄欖油的最簡單整數比是多少?

他們立刻說是2:3，那依原題意的數字當然是 1/2 : 2/3 囉!

下面是將小數的比化簡為最簡單整數比的解題紀錄，僅將孩子們的解題策略及出現的計算迷思供大家參考:

計算迷思如下: 

2016.12.23   ~  相等的比2

統計圖 (97課綱)

2013.01.04  ~  圓形百分圖

從這些解題紀錄中，我們可以觀察到，

孩子們在比值與比率概念上的應用，十分的有趣喔! 

數量關係

2016.10.19  ~  數形的規律

最後孩子們共產出6種解題策略:

1)   10×2+(10-2)×2      [兩邊為10個磁磚，另兩邊為8個磁磚]

2)   10×4-4                    [四邊都當作10個磁磚，再扣除重複算的4個磁磚]

3)  (10-2)×4+4         [每邊不重複的磁磚有8個，再加上正方形四角還未算的4個磁磚]

4)  (10-1)×4               [每邊不重複的磁磚有9個，共有4邊]

5)  10+(10-1)×2+(10-2)

[每邊不重複的磁磚上邊有10個，左右邊各9個，下邊有8個]

6)  10×10 – (10-2)×(10-2)    [利用矩陣概念解題]

柱體與椎體 (97課綱)

2012.09.07  ~ 柱體與椎體  (教材改編與數學語言的應用)

布題:

請大家將籃子中的這些立體進行分類，不管要分幾類都可以，

只要能用數學語言將自己的分類說清楚，

並獲得大家的認同即可。

這個任務夠簡單吧?

有東西可以操作，當然是孩子們的最愛，

只見他們先自行分類確認無誤後，便依序向小組的同學進行分享與討論。 

很有趣吧!孩子們竟然會對這個三角柱產生迷思，而且是生活中很常見的形體，

當然經過彼此的討論後，大家也察覺到彼此的迷思，

由此可知，

孩子眼中的世界真的與"大人"不同啊!

在這樣的學習過程中，孩子們體驗到在溝通時使用數學語言重要，

並也在彼此問答之間，還複習了有關幾何的舊經驗，如角、平行、頂點等的定義。

雖然因開放解題導致孩子們的分類不似課本上原先預期的分成柱體和椎體兩類，

但這樣的過程能讓孩子仔細觀察立體的形體，並自行去推理出合理的分類依據，

不僅有助於對立體的熟悉度，而且更能強化後續柱體和椎體的學習，

經過這樣的學習歷程，

相信任何一種立體放到孩子們的手中，他們都可以立即分辨出是不是椎體或柱體，

因為他們可以清楚的告訴你"為什麼"。

圓面積 (97課綱)

2012.11.15  ~ 複合圖形面積計算