六年級下學期
請在下方目錄中,選取想要觀看的單元。
由於各出版商版本及新舊課綱之間的差異,因此同年段的教學單元會逐年異動,
因此請自行在網頁中各年級搜尋需要的教學資料,謝謝!
四則運算 (97課綱)
2013.03.07 ~ 分數的四則運算(第一節課)
雖然本單元主要是要熟悉小數與分數四則運算的概念,
但也是一個很好的機會,去測試孩子們是否能將國小階段曾學過的數學概念在此進行融會貫通的應用!
因此在此單元的布題,基本上都採用開放解題,
也就是不要求孩子們一定要依循特定的數學概念來解題,只要能合理說明自己的解題策略就可以了!
布題:(此題為本單元上課的第一個題目)
奶奶買2/3公斤的櫻桃是240元,1公斤的櫻桃是多少元?
解題策略1:(全班30人,共有12人使用這個解題策略)
應用了分數的概念。
利用三分之二等於2個三分之一的想法,
所以先求出1個三分之一等於120之後,
再乘以3倍就是三分之三,
並求出了答案!
解題策略2:(全班30人,共2有人使用這個解題策略)
應用了倍數的概念來解題。
首先先算出1公斤是2/3公斤的幾倍,
然後再將價錢乘上所算出的倍數,
就可算出答案了!
解題策略3:(全班30人,共有2人使用這個解題策略)
這個孩子共發展出2種解題策略,
由於左邊的解題策略是他最先發展出來的,
因此當作他最主要的想法來進行討論。
應用了代數的概念來進行解題。
先將題意以等式的形式列出,
然後用等量公理的概念完成解題。
解題策略4:(全班30人,共有3人使用這個解題策略)
應用了等比的概念來進行解題。
進行比的前後項數值的運算!
解題策略5:(全班30人,共有9人使用這個解題策略)
應用了算式填充題的形式也就是代數的概念來進行解題。
先將題意以算式填充題的形式列出,
然後用乘除互逆的概念完成解題。
以上所有的解題策略分析,
都是在上課時,經過孩子們一一進行說明之後,大家達成共識的結果!
後記:
這次的布題只有2個孩子未能順利解出,雖然大多數的孩子採用分數的概念來解題,
但在後續的教學中,也發現孩子們會依據題型的改變,
而運用不同的數學概念來理解題意,並不會固著在特定的解題模式上,
可喜可賀!
簡化問題 (97課綱)
2013.05.15 ~ 間隔問題
有關路燈的問題一直是小學數學中的經典問題!
在康軒版六下的教材內容如下:
看起來課本的邏輯思考方式似乎沒有什麼問題,
但一旦深思算式中的”5-1=4″,
究竟”5″是燈的編號?還是燈的總數?
如果再看到第5號到第10號路燈這題,
那就更令人疑惑了,
究竟是第10號路燈減第5號路燈,
還是燈的總數?
如果是燈的總數不是還該加1嗎?
因此我們認為,
如果在簡化問題的過程中,
不去進行辯證,
就直接說我們發現路燈編號相減就會是間隔數,
豈不是很難說服人?
因此我們連續在三個班級進行這一題的布題,並根據我們的教室觀察結果,紀錄在下面供大家參考。
日期:5/15
教學地點:六年三班
布題:
在中興路上相鄰的兩盞路燈都相距25公尺,並將這條路上的第一盞路燈編號為1。
(1)請問從第1號路燈到第5號路燈,中間相距多少公尺?
(2) 請問從第3號路燈到第7號路燈,中間相距多少公尺?
(3) 請問從第23號路燈到第78號路燈,中間相距多少公尺?
(4)請問從第N號路燈到第M號路燈,中間相距多少公尺?(M>N)
教學後的省思:
布題(1)是為了複習學生的舊經驗,並和孩子們確認為了求出間隔數,
因此5-1=4的算式意義為總共有5盞路燈,路燈盞數-1=間隔數。
因此在布題(2)時,
當孩子們寫出7-3=4時,就會產生用圖示可以看出間隔數為4,
卻無法解釋7和3這個數字代表的意義,
因為”第7號燈-第3號燈”是序數相減,也是無意義的。
因此我們先利用其他小組能合理解釋的解題策略來先進行討論,
以符合正確的數學概念,
(1) 3-1=2 (第3盞和第1盞的間隔數)
7-1=6 (第7盞和第1盞的間隔數)
25 × (6-2) = 100 (公尺)
(2) 7-3 +1 = 5(燈數)
5-1 =4 (間隔數)
25 × 4 =100 (公尺)
然後,再引導孩子們進行論證,
去發現上面兩種解題策略和7-3=4,25 ×4=100之間的關係,
以便理解7-3=4並不是巧合,而是經由上面兩種解題策略所發現的規律。
論證如下:
(1) 3-1=2 (第3盞和第1盞的間隔數)
7-1=6 (第7盞和第1盞的間隔數)
(7-1)-(3-1)=7-3 (差不變)
(2) 7-3 +1 = 5(燈數)
5-1 =4 (間隔數)
7-3 +1-1 = (7-3) +1-1 = 7-3
(因為將7-3視為一個數可以符合四則運算規則,而一個數加1再減1其結果不變。)
不過在之後的教學後會議討論中,
我們發現這樣的布題順序,是符合論證的邏輯(先幫孩子搭鷹架),
但卻不符合簡化問題的教學目標,因為學生缺乏需求感去這麼做,
且因為我們目前想發展臆測的教學,
所以我們重新討論布題方式,將在下一班再度進行教學。
時間:5/17
地點:六年一班
布題:
在中興路上相鄰的兩盞路燈都相距25公尺,並將這條路上的第一盞路燈編號為1。
(1) 請問從第23號路燈到第78號路燈,中間相距多少公尺?
(2)請問從第N號路燈到第M號路燈,中間相距多少公尺?(M>N)
一開始孩子們思考了一陣子,然後就看到有些孩子開始試著畫路燈並將編號寫上,
孩子們用的編號都是個位數的,例如2到6(這表示他們開始嘗試著簡化問題),
然後所出現的解題紀錄如下:
(1) 25 × (78-23+1-1)=1375
(2) 25 × (78-23)=1375
(3) 25 × (23-1) =550
25 × (78-1)=1925
1925-550=1375
(4) 25 × (78-23-1)=1350
當孩子們進行解題策略說明後,發現策略(4)是錯誤的,
並依序將策略(1)和(3)合理說明後,就直接認為策略(2)是對的,
此時老師也不多加澄清,便直接布了第二題,
請問從第N號路燈到第M號路燈,中間相距多少公尺?(M>N)
並問孩子們根據之前的共識,
所以答案一定是 25 × (M -N) 囉? (開始引導孩子進行臆測)
孩子們當然便開始需要去證明這是對的,因此便開始忙碌了起來……,
當然最後也在小組和全班的討論中,澄清了迷思,完成了對臆測的證明。
個人省思:
其實教學的面貌是多元的,
論證與臆測都可以循序的激發孩子們推理思考能力,並讓他們產生解決問題的成就感。
臆測教學的主要兩種命題類型:
(1)布題去引導孩子去判斷命題的真偽
(2)布題後引導孩子先去預測未知的結果
從這次的教學中,深深覺得發展臆測教學的確不是件容易的事,
且不是所有的數學概念都適合發展臆測,
不過,卻是件值得去努力做的事,
這樣孩子們才有可能能脫離老師教學思考的框架,展現出他們更原創的想法,
這也是為了身為老師的我們上了寶貴的一課!
2016.05.11 ~ 從間隔問題談教學策略的變化可能性
今天我們社群老師們的教室觀察從五年級的教室移至六年級的教室,
所觀察的教學內容就是數學中的經典問題~間隔問題。
康軒版(六下)
今日布題如下:
在中正路上相鄰兩盞路燈都相距25公尺,
將路燈從第一盞開始編號,
編號第69號到編號第108號的路燈,相距大約是多少公尺?
(布題時僅有文字布題,無圖示。)
孩子們看到題目,很快地就埋頭開始解題,
可是大部分的孩子都這樣記錄著
108-69=39
39-1=38
25×38=950
正確解題應是
108-69=39(間隔數)
25×39=975
或
108-69+1=40(路燈數)
40-1=39(間隔數)
25×39=975
或
108-(69-1)=40(路燈數)
40-1=39(間隔數)
25×39=975
如果是您面臨這樣的狀況,您會如何決定接下來的教學流程呢?
我們來模擬可能的教學策略:
首先在進行討論前,老師應先行分析孩子們是陷入了什麼樣的迷思。
迷思1:
可能是將種樹問題與有序號的路燈問題弄混,
它們的舊經驗告訴他們,在解種樹問題時,N棵樹就會產生N-1個間隔,
所以孩子們以為108-69會得到路燈數,認為將108-69-1就會得到間隔數。
而沒發覺108-69+1才會得到路燈數,(108-69+1)-1才會得到間隔數。
迷思2:
有想到序號的問題,但忘了108-(69-1)或108-69+1才是間隔數。
迷思3:
從編號69到顛號108,數字範圍太大,對孩子們理解題意產生困擾。
如果老師能預測到孩子們可能的迷思,那麼就會容易拿捏接下來的教學流程。
建議1:
可以進行小組討論,即使小組共識出現錯誤解題也沒關係,
最終將在全班討論時,
看老師希望從正確解題開始討論,或是從錯誤迷思開始,
讓孩子說清楚並有順序的進行討論,最終真理還是會勝出的。
建議2:
不進行小組討論,因為發現陷入迷思的孩子太多,
甚至有的小組是全組都寫錯。
改採直接進入全班討論,
為了確立討論焦點,可以先詢問孩子們認為該”先算什麼,再算什麼”才能解題。
不管孩子們說先算路燈數或間隔數,
這都會是討論的起點。
* 不論是在小組或全班討論中,師生都會發現,要清楚解釋解題策略是非常需要圖示來輔助的,
但真的要從編號69一路畫到編號108嗎?
“簡化問題”就會在這個時候產生需求性,
老師須有技巧的引導孩子將編號縮小,例如改為編號3到編號5,
多做幾題,發現規律,這樣孩子們就會更容易察覺到自己的迷思在哪裡。
可是,
如果老師一時也無法立即分辨出孩子們的迷思,又該如何?
這種狀況常發生,老師也別驚慌,
建議您就讓孩子們進行小組討論,而老師必須趕快去巡視各小組並收集”情報”,
相信老師很快就會知道孩子們的推理路徑是出了什麼狀況,
也就更能拿捏出接下來的教學流程了!
2013.05.21 ~ 雞羊問題
布題:
小明的爺爺養了不少的雞和羊。喜愛數學的小明便將爺爺的雞羊數量紀錄如下:
(1) 雞和羊共有10隻。
(2) 他們共有32隻腳。
請問你可以算出小明爺爺的雞和羊各有幾隻嗎?
以下是當天的解題記錄的類型,供大家參考!
解題紀錄1:
有邏輯的進行估算。
(算式、表格化或圖示)
解題紀錄2:
取中數或可能的數先進行試算,
然後推估至最正確的數。
解題紀錄3:
先將所有的隻數都當成雞或羊,
然後算出雞或羊的腳數,
再以雞羊腳數的差數來計算要多少隻羊換雞,
或多少隻雞換羊。
解題紀錄4:
先將所有的隻數都當成雞,
然後算出超過的隻數為6,
再將超過隻數(雞)的腳數,
每兩隻腳與原先的雞轉換成羊,
最後算出答案。
解題紀錄5:
設未知數來進行解題。
等量公理 (97課綱)
2013.02.25 ~ 等量公理
等量公理的概念其實在五年級時,就已經一點一滴地融入課程中了!
因此這群孩子對於基本的等量公理運算已有初步的概念,對於使用 X 、Y 的代數符號也適應良好。
昨天在上課討論等量公理時,有學生對於以下這個算式的解法提出疑問,
2X + 6 = 12
2X + 6 – 6 = 12 -6
2X = 6
X= 3
這題一定要先用等量減法嗎? 不可以先用等量除法嗎?
當時雖有了一些討論,但因為時間不夠,
因此改以數學日記的形式,讓孩子們帶回家再思考。
數學日記是無法展示在白板上讓所有的孩子一同觀看,
因此上課前,
先挑出值得討論的數學日記內容用相機先拍下來,以便上課時使用。
今天在一開始上課,就先讓孩子們以小組的形式,
分享及討論彼此的數學日記內容,
然後老師將之前預拍下的日記內容展示給孩子們觀看並進行討論。
讓孩子們能更聚焦的進行討論。
在討論完了昨日的數學日記之後,
便在電子白板上出了另一個問題來再測試孩子們一下,以確認是否真的完全理解概念。
布題:
依據數學日記上的經驗,
請問以等量減法的概念來思考,
為什麼 2X + 6 = 12
是 2X + 6 -6 = 12 -6
而不是 (2X -6) + (6 – 6) = 12 – 6 呢?
解題紀錄 1
解題紀錄 2
解題紀錄 3
解題紀錄 4
相信孩子們在經歷過連續的這幾堂課後,能理解四則運算的規則不是只要死記即可,
理解加減乘除四種運算規則的「定義」,回歸定義才是能根本解決問題的方法!
表面積 (97課綱)
2013.05.02 ~ 柱體表面積
在經過5月1日的教室觀察後,發現因為複合形體的表面積計算過程複雜,
所以即使孩子有不同的策略,也會因為算式變多且複雜而混淆了討論的焦點,
因此隔天即將上同樣布題的班級,便改變了教學策略。
在當天的布題中先不提供數據,只展示圖形要求孩子們思考該如何算出表面積,
孩子們需試著用文字、算式或圖形等任何方式,來說明自己的解題策略,
然後經過小組討論及全班討論後,當天共歸納出三種解題策略,
30個孩子中僅有2人未能順利用書面方式寫出自己的想法。
後來因為上課時間有限,便將有數據的題目讓孩子帶回家自行用這三中策略分別算出答案來。
解題策略1: (30個孩子中有4人採此策略)
小圓柱的底面積+(大圓柱的底面積-小圓柱的底面積)+大圓柱的底面積+大小圓柱的側面積
解題策略2:(30個孩子中有6人採此策略)
小圓柱底面積乘以2 + 大圓柱底面積乘以2 – 小圓柱底面積乘以2 + 大小圓柱側面積
解題策略3:(30個孩子中有18人採此策略)
大圓柱表面積+小圓柱側面積
回家後的作業內容及成果如下:
速率
2013.0.21 ~ 平均速率
今日布題如下:
車子行駛前10公里花了2分鐘,後10公里花了4分鐘,
車子行駛的速率是多少?
在審完題確認題意合理且無疑問後,孩子們很快的有了自己的解題策略,
在經過老師行間巡視後,發覺絕大多數的孩子都能正確解題,只有4個孩子有錯誤的迷思,
因此決定這節課不立刻進入小組討論,而採用先全班討論的模式,
來確認其他的孩子是否也可能有同樣的迷思。
以下是在這節課出現的三種解題策略:
老師先讓孩子們看下面這張解題記錄 ,並請孩子上台進行解題策略說明
老師便請孩子們定義一下在本題中"速率"是指什麼?
S1:平均一分鐘所走的距離。
T: 那大家是覺得這樣的解題策略沒有平均嗎?
S2:對!
接下來,先將解題策略1擱置,
讓發展解題策略2的孩子上台說明。
T:所以你們從這些共識中,發現了甚麼共同點?
S:速率和速率不能相加。
T:為什麼?
S1:速率是無形的。
S2:速率沒有"量",所以不能相加。
S3:速率是"比"。
T:對!速率是表示距離和時間之間關係的方法就像是"比"的概念,
因此你是無法拿出速率給任何人看,它只是拿來表示兩種數量之間的關係。
T:所以你們同意速率,也就是我們所稱的平均速率,應該是要用總距離除以總時間量才對嗎?
S:是的。
T:那麼讓我們來看最後一張解題記錄。
T:大家同意這才是這題的正確解法嗎?
S:同意!
後記:
上完這堂課後,我再度印證了一件事。
寫出正確的解題策略,並不一定代表擁有正確的數學概念,
這也是討論教學的好處,
可以有效的評量出孩子們真正的學習狀況!