2025.03.05 ~ 速率的應用 (追趕問題)

高年級的數學為什麼更偏重於解題， 

其原因除了是要讓孩子們能懂得如何靈活運用這六年來所學的數學知識，

且在解題過程中察覺到數學知識之間的脈絡是如何交織在一起；

更是讓孩子們可以經驗到解題思維是具有多元性的， 

且能相信只要推理有所「依據」， 符合數學邏輯，都是正確的。

以下是今日課本上的布題(113 康軒六下)， 以及班上孩子的解題策略分享:

解題策略1:

400-320 =80 (每1分鐘奇奇可以追上妮妮的距離)

960÷80=12 (奇奇要花12分鐘才能追上妮妮)

400×12= 4800 (奇奇12分鐘的騎車距離)

4800m > 4km             A: 不能

解題策略2:

400-320 =80 (每1分鐘奇奇可以追上妮妮的距離)

960÷80=12 (奇奇要花12分鐘才能追上妮妮)

4000-960=3040 (妮妮目前與終點之間的距離)

3040÷320= 9.5 (妮妮在9.5分鐘後就會抵達終點)

12> 9.5                              A: 不能

解題策略3:

400-320 =80 (每1分鐘奇奇可以追上妮妮的距離)

960÷80=12 (奇奇要花12分鐘才能追上妮妮)

4km = 4000m

320×12= 3840 (妮妮12分鐘的騎車距離)

3840 + 960 = 4800 (12分鐘的騎車距離與已經領先距離的總和)

4800 > 4000                         A: 不能

解題策略4:

400-320 =80 (每1分鐘奇奇可以追上妮妮的距離)

960÷80=12 (奇奇要花12分鐘才能追上妮妮)

4km = 4000m

4000 ÷ 400 = 10  (奇奇到終點前所需要的時間)

10< 12                               A: 不能

數學學習的樂趣之一， 就是能領略到數學思維的異曲同工之妙， 不是嗎?

而不急著繼續教新的內容， 而是讓孩子們花點時間去理解多元解法的學習過程， 

更是訓練數學思維的好方法喔！

在孩子們在應用問題解題所發展的策略， 

會讓我們更容易診斷出孩子們是否真的理解且能靈活運用「比率」的概念。

以下我以康軒版113學年度六下課本中的布題為範例， 

來說明「比率」的概念是如何支撐解題策略的。

解題策略只有一種， 以住宿為例，就是將5400元 × 40% = 2160元，

但在課堂中，我會引導學生去思考， 為什麼是「 乘以 」40%， 

這樣的討論不僅能確認有解出題的孩子是否真的理解概念， 

也能協助無法解題的孩子理解其中的概念。

因為之前在進行圓形圖和圓形百分圖教學時，都是以比率為基礎來構築新知識， 

因此班上孩子在發表為什麼是「 乘以 」40%時，

也能很清楚與之前所學的先備知識進行連結， 來支撐他們的想法。

想法1:

因為「分量 ÷ 總量 = 比率」

此題總量為5400元

(           ) ÷5400  = 40%

利用乘除互逆的概念， 

5400元 × 40% = 2160元

想法2:

想法3:

40%就是將整體的1， 平分成100等分， 取其中的40分， 

利用分數倍的概念， 

也就將總量5400 ÷100 × 40 =5 400元 × 40% = 2160

這一題的難度在於不管是要先算出歷史傳奇和偵探小說的百分率，

或是先算出偉人傳記圓心角的角度，

孩子們都缺了一個關鍵概念來銜接，

那個關鍵概念是什麼呢?

就是要能理解「圓心角與周角的比率」 = 「分量與總量的比率(百分率)」，

因為在圓形圖中所出現的任何一個分量， 

不管是以圓心角或數量等來表示，

和同一個總量之間的數量關係是不可能改變的， 

也就是「比率」不會變。

因此建議要從一簡單的布題中， 讓孩子們察覺這個數學關係，

孩子們才能理直氣壯的發展出合理的解題策略。

和差問題與年齡問題

雖然本單元主要是要熟悉小數與分數四則運算的概念，

但也是一個很好的機會，去測試孩子們是否能將國小階段曾學過的數學概念在此進行融會貫通的應用！

因此在此單元的布題，基本上都採用開放解題，

也就是不要求孩子們一定要依循特定的數學概念來解題，只要能合理說明自己的解題策略就可以了！

布題：(此題為本單元上課的第一個題目)

奶奶買2/3公斤的櫻桃是240元，1公斤的櫻桃是多少元?

以上所有的解題策略分析，

都是在上課時，經過孩子們一一進行說明之後，大家達成共識的結果！

後記:

  這次的布題只有2個孩子未能順利解出，雖然大多數的孩子採用分數的概念來解題，

但在後續的教學中，也發現孩子們會依據題型的改變，

而運用不同的數學概念來理解題意，並不會固著在特定的解題模式上，

可喜可賀! 

因此我們連續在三個班級進行這一題的布題，並根據我們的教室觀察結果，紀錄在下面供大家參考。

日期:5/15

教學地點:六年三班

布題:

在中興路上相鄰的兩盞路燈都相距25公尺，並將這條路上的第一盞路燈編號為1。

(1)請問從第1號路燈到第5號路燈，中間相距多少公尺?

(2)   請問從第3號路燈到第7號路燈，中間相距多少公尺?

(3)   請問從第23號路燈到第78號路燈，中間相距多少公尺?

(4)請問從第N號路燈到第M號路燈，中間相距多少公尺?(M>N)

教學後的省思:

布題(1)是為了複習學生的舊經驗，並和孩子們確認為了求出間隔數，

因此5-1=4的算式意義為總共有5盞路燈，路燈盞數-1=間隔數。

因此在布題(2)時，

當孩子們寫出7-3=4時，就會產生用圖示可以看出間隔數為4，

卻無法解釋7和3這個數字代表的意義，

因為”第7號燈-第3號燈”是序數相減，也是無意義的。

因此我們先利用其他小組能合理解釋的解題策略來先進行討論，

以符合正確的數學概念，

(1)    3-1=2 (第3盞和第1盞的間隔數)

         7-1=6 (第7盞和第1盞的間隔數)

         25 × (6-2) = 100 (公尺)

(2)    7-3 +1 = 5(燈數) 

         5-1 =4 (間隔數)

        25 × 4 =100 (公尺)

然後，再引導孩子們進行論證，

去發現上面兩種解題策略和7-3=4，25 ×4=100之間的關係，

以便理解7-3=4並不是巧合，而是經由上面兩種解題策略所發現的規律。

論證如下:

(1)  3-1=2 (第3盞和第1盞的間隔數)

       7-1=6 (第7盞和第1盞的間隔數)

      (7-1)-(3-1)=7-3 (差不變)

(2)   7-3 +1 = 5(燈數)

        5-1 =4 (間隔數)

        7-3 +1-1 = (7-3) +1-1 = 7-3

(因為將7-3視為一個數可以符合四則運算規則，而一個數加1再減1其結果不變。)

不過在之後的教學後會議討論中，

我們發現這樣的布題順序，是符合論證的邏輯(先幫孩子搭鷹架)，

但卻不符合簡化問題的教學目標，因為學生缺乏需求感去這麼做，

且因為我們目前想發展臆測的教學，

所以我們重新討論布題方式，將在下一班再度進行教學。

時間:5/17

地點:六年一班

布題:

在中興路上相鄰的兩盞路燈都相距25公尺，並將這條路上的第一盞路燈編號為1。

(1) 請問從第23號路燈到第78號路燈，中間相距多少公尺?

(2)請問從第N號路燈到第M號路燈，中間相距多少公尺?(M>N)

一開始孩子們思考了一陣子，然後就看到有些孩子開始試著畫路燈並將編號寫上，

孩子們用的編號都是個位數的，例如2到6(這表示他們開始嘗試著簡化問題)，

然後所出現的解題紀錄如下:

(1) 25 × (78-23+1-1)=1375

(2)  25 × (78-23)=1375

(3) 25 × (23-1) =550

      25 × (78-1)=1925

     1925-550=1375

(4) 25 × (78-23-1)=1350

當孩子們進行解題策略說明後，發現策略(4)是錯誤的，

並依序將策略(1)和(3)合理說明後，就直接認為策略(2)是對的，

此時老師也不多加澄清，便直接布了第二題，

請問從第N號路燈到第M號路燈，中間相距多少公尺?(M>N)

並問孩子們根據之前的共識，

所以答案一定是 25 × (M -N) 囉? (開始引導孩子進行臆測)

孩子們當然便開始需要去證明這是對的，因此便開始忙碌了起來……，

當然最後也在小組和全班的討論中，澄清了迷思，完成了對臆測的證明。

個人省思:

其實教學的面貌是多元的，

論證與臆測都可以循序的激發孩子們推理思考能力，並讓他們產生解決問題的成就感。

臆測教學的主要兩種命題類型:

(1)布題去引導孩子去判斷命題的真偽

(2)布題後引導孩子先去預測未知的結果

從這次的教學中，深深覺得發展臆測教學的確不是件容易的事，

且不是所有的數學概念都適合發展臆測，

不過，卻是件值得去努力做的事，

這樣孩子們才有可能能脫離老師教學思考的框架，展現出他們更原創的想法，

這也是為了身為老師的我們上了寶貴的一課!

今天我們社群老師們的教室觀察從五年級的教室移至六年級的教室，

所觀察的教學內容就是數學中的經典問題~間隔問題。

孩子們看到題目，很快地就埋頭開始解題，

可是大部分的孩子都這樣記錄著

108-69=39

39-1=38

25×38=950

正確解題應是

108-69=39(間隔數)

25×39=975

或

108-69+1=40(路燈數)

40-1=39(間隔數)

25×39=975

或

108-(69-1)=40(路燈數)

40-1=39(間隔數)

25×39=975

如果是您面臨這樣的狀況，您會如何決定接下來的教學流程呢?

我們來模擬可能的教學策略:

首先在進行討論前，老師應先行分析孩子們是陷入了什麼樣的迷思。

迷思1:

可能是將種樹問題與有序號的路燈問題弄混，

它們的舊經驗告訴他們，在解種樹問題時，N棵樹就會產生N-1個間隔，

所以孩子們以為108-69會得到路燈數，認為將108-69-1就會得到間隔數。

而沒發覺108-69+1才會得到路燈數，(108-69+1)-1才會得到間隔數。

迷思2:

有想到序號的問題，但忘了108-(69-1)或108-69+1才是間隔數。

迷思3:

從編號69到顛號108，數字範圍太大，對孩子們理解題意產生困擾。

如果老師能預測到孩子們可能的迷思，那麼就會容易拿捏接下來的教學流程。

建議1:

可以進行小組討論，即使小組共識出現錯誤解題也沒關係，

最終將在全班討論時，

看老師希望從正確解題開始討論，或是從錯誤迷思開始，

讓孩子說清楚並有順序的進行討論，最終真理還是會勝出的。

建議2:

不進行小組討論，因為發現陷入迷思的孩子太多，

甚至有的小組是全組都寫錯。

改採直接進入全班討論，

為了確立討論焦點，可以先詢問孩子們認為該”先算什麼，再算什麼”才能解題。

不管孩子們說先算路燈數或間隔數，

這都會是討論的起點。

* 不論是在小組或全班討論中，師生都會發現，要清楚解釋解題策略是非常需要圖示來輔助的，

但真的要從編號69一路畫到編號108嗎?

“簡化問題”就會在這個時候產生需求性，

老師須有技巧的引導孩子將編號縮小，例如改為編號3到編號5，

多做幾題，發現規律，這樣孩子們就會更容易察覺到自己的迷思在哪裡。

可是，

如果老師一時也無法立即分辨出孩子們的迷思，又該如何?

這種狀況常發生，老師也別驚慌，

建議您就讓孩子們進行小組討論，而老師必須趕快去巡視各小組並收集”情報”，

相信老師很快就會知道孩子們的推理路徑是出了什麼狀況，

也就更能拿捏出接下來的教學流程了!

布題:

小明的爺爺養了不少的雞和羊。喜愛數學的小明便將爺爺的雞羊數量紀錄如下:

(1) 雞和羊共有10隻。

(2) 他們共有32隻腳。

請問你可以算出小明爺爺的雞和羊各有幾隻嗎?

以下是當天的解題記錄的類型，供大家參考!

等量公理的概念其實在五年級時，就已經一點一滴地融入課程中了!

因此這群孩子對於基本的等量公理運算已有初步的概念，對於使用 X 、Y 的代數符號也適應良好。

昨天在上課討論等量公理時，有學生對於以下這個算式的解法提出疑問，

2X + 6 = 12

2X + 6 – 6 = 12 -6

2X = 6

X= 3

這題一定要先用等量減法嗎?  不可以先用等量除法嗎?

當時雖有了一些討論，但因為時間不夠，

因此改以數學日記的形式，讓孩子們帶回家再思考。

在討論完了昨日的數學日記之後，

便在電子白板上出了另一個問題來再測試孩子們一下，以確認是否真的完全理解概念。

布題:

依據數學日記上的經驗，

請問以等量減法的概念來思考，

為什麼 2X + 6 = 12

是 2X + 6 -6 = 12 -6

而不是 (2X -6) + (6 – 6) = 12 – 6 呢?

相信孩子們在經歷過連續的這幾堂課後，能理解四則運算的規則不是只要死記即可，

理解加減乘除四種運算規則的「定義」，回歸定義才是能根本解決問題的方法! 

解題策略1: (30個孩子中有4人採此策略)

小圓柱的底面積+(大圓柱的底面積-小圓柱的底面積)+大圓柱的底面積+大小圓柱的側面積

解題策略2:(30個孩子中有6人採此策略)

小圓柱底面積乘以2 + 大圓柱底面積乘以2 – 小圓柱底面積乘以2 + 大小圓柱側面積

解題策略3:(30個孩子中有18人採此策略)

   大圓柱表面積+小圓柱側面積

回家後的作業內容及成果如下: 

今日布題如下:

車子行駛前10公里花了2分鐘，後10公里花了4分鐘，

車子行駛的速率是多少?

在審完題確認題意合理且無疑問後，孩子們很快的有了自己的解題策略，

在經過老師行間巡視後，發覺絕大多數的孩子都能正確解題，只有4個孩子有錯誤的迷思，

因此決定這節課不立刻進入小組討論，而採用先全班討論的模式，

來確認其他的孩子是否也可能有同樣的迷思。

以下是在這節課出現的三種解題策略:

老師便請孩子們定義一下在本題中"速率"是指什麼?

S1:平均一分鐘所走的距離。

T: 那大家是覺得這樣的解題策略沒有平均嗎?

S2:對!

接下來，先將解題策略1擱置，

讓發展解題策略2的孩子上台說明。

T:所以你們從這些共識中，發現了甚麼共同點?

S:速率和速率不能相加。

T:為什麼?

S1:速率是無形的。

S2:速率沒有"量"，所以不能相加。

S3:速率是"比"。

T:對!速率是表示距離和時間之間關係的方法就像是"比"的概念，

因此你是無法拿出速率給任何人看，它只是拿來表示兩種數量之間的關係。

T:所以你們同意速率，也就是我們所稱的平均速率，應該是要用總距離除以總時間量才對嗎?

S:是的。

T:那麼讓我們來看最後一張解題記錄。