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今天教室的悶熱如常,學生也如常的活蹦亂跳,

唯一不如往常的是

今天是快樂里實施四週數學課室討論課程以來，第一次將有十位以上的老師要進到教室來做教室觀察。

教學單元:一萬以內的數

教學目標:利用數大數的策略,提升學生的需求性 ，讓學生能自然地從部分整體的概念進入位值概念, 最後能理解位值概念。

布題:

 籃子內的小方格總共有多少個? 請先思考你的數數方法並記錄下來。

教學步驟:

(1) 學生先思考數數的策略,並在寫在紙上後進行小組討論。

(2) 讓孩子小組討埨及發表他們的數數策略。

(3) 選擇一個大家認為最有效的數數策略，開始數數。

(4) 布題 : 你們認為要如何排列才能讓大家不用數，一看就知道是124個小白呢?

  (期待學生能以一百個一組,十個二列,四個一的排列方式顯現出百位、十位、個位的位值。)

ps. 若孩子們不理解題意的話，也可以將題目改成

「請問要如何以10個小方格為一列來排列,才能立刻看出總共有多少個? 」

(5) 布題: 要如何證明1個百、2個十、4個一是124呢? 

學生倒是很快的就以加法來證明100+10+10+1+1+1+1=124

完成了整堂課的學習。 

布題:

淑惠有2035元,用去100元後,還剩下多少元? 

三年二班在因HINI而停課五天後,

今天雖是復課的第三天，依然勇氣十足的接受其他老師進班進行教室觀察,

因為課室討論是不會為教室觀察而刻意的安排上課內容,

只呈現平常上課的正常情況，著重在老師的引導及學生的推理思考歷程!

布題:

     大富翁遊戲結束後，請結算你有多少錢?

  這時只見孩子們拿出前一節課玩大富翁所贏得的紙錢，開始細細的算著自己的錢數。

孩子們的數錢策略主要有3種:

1. 將錢依幣值分類,先算出各幣值(如千、百)的總和,然後再加出總和。

1000 × 5= 5000

        500 × 4= 2000

100 × 6 = 600

50 × 7 = 350

5000 + 2000 + 600 + 350 = 7950

2. 將錢依幣值分類,然後開始「做數」,例如兩張500湊成1000,一張500和五張100也湊成1000。

3. 不分類,直接一張加一張依各張幣值來加出總和。

  (由於此種加法對三年級孩子過於複雜,所以成功率極低,除非金額總和較小。)

在108新課綱中，一到六年級的數學教材進行了不少的微調及重整，

因此，以前在中年級才教的線段圖，

現在的孩子在二年級就已經有了初始經驗了。

那麼，線段圖究竟是為什麼而存在的?

「線段圖」是一種數學工具，

可以協助我們將問題中的抽象數字利用線段來具體化看見，

讓我們更容易看出數字間的關係，並進而找到解法。

因此，我們要趁題目還簡單的時候，就開始訓練孩子根據題意來畫線段圖，

而「四位數加減」的這個單元是奠基在二年級的「二位數加減」位值概念上，

然後在這個單元進行三位數及四位數的加減練習。

所以，基本上，對孩子們來說，學習難度並不高，

也因此，正是好時機去讓孩子練習畫線段圖來轉譯題意。

而在此階段，最容易發生的迷思就是，

依照題意，究竟該用一條線段來表示? 還是兩條線段來表示呢?

(以下題為例)

孩子們需要理解在線段圖中，一條線段就代表著題目中的一個獨立的數量，

以此題來說，買鑰匙花掉的88元，是來自於345元中，

因此右邊的線段圖表示法才是正確的。

若是題目改成

「逛紀念品店時，

彥辰花了345元買紀念相框，小清花了88元買紀念鑰匙，

彥辰比小清多花多少元?」

此時，線段圖就應該是左邊的才對，因為345和88表示的是不同的個體數量。

除此之外，也要訓練孩子們依據數量多少來表示線段的長短，

也就是說，

88大約是345的三分之一到四分之一之間，

所以在畫線段圖時，表示88這個數字的線段，不可離譜的超過二分之一，

這也是訓練孩子們量感的機會喔!

今天四年一班來了好多觀課的老師，小朋友們都好緊張呢！

雖然如此，大家仍表現出最佳的學習態度，迎接今天的數學挑戰！

布題：

小凱和小軒玩大富翁，結束後他們將錢跟銀行換成1元、10元、100元、1000元，

換完之後小凱的錢有5張1000元、6張100元、9張10元、3個1元，

小軒的錢有7張1000元、8張100元、4張10元、2個1元，

請問小凱和小軒的錢合起來是多少元？

布題完畢之後，學生自行思考解決方法。

每位小組員都是靠自己的能力想出解題策略，結束後才跟其他組員分享自己的想法，由其他人針對發表者提出問題。 

孩子們在討論中得到分享與豁然開朗的滿足，他們都很樂於這樣的討論呢！

每個小組分享完後，會選出小組共識貼到台上，等待進行下個階段的全班討論。

這次的教室觀察終於能順利上場。老師們從沒進四年二班看過教學，所以這是這學期的第一次喔！

今天的布題在課本上找不到，

為了讓學生對題意的瞭解有不同的學習經驗，因此改編了課本的題目，

並將四位數的加減改為三位數的加減，

以免學生同時要處理題意的理解，又要兼顧四位數的計算而使教學目標失焦。

原題目為「致文買紀念品花了299元，玉晴比致文多花了180元，玉晴花了多少元？」

老師將題目改為「小玉買紀念品花了299元，她比小丸子少花了180元，小丸子花了多少元？」

這樣的語意瞭解有一定的困難度，小朋友會怎麼解決問題呢？

線段圖的運用派上用場囉！ 

小朋友們果然能夠在討論中暢所欲言、彼此釐清想法，還能將錯誤的答案更正，討論出彼此的共識！

 線段圖的意義、畫虛線的需求性、題意的瞭解與轉譯，

在這一節課中有了充分的討論，孩子們和老師可都是收穫滿滿呢！ 

布題：圖書館有48本書，一個書櫃要放9本書，

      最少要幾個書櫃才夠放?

小朋友很快的就完成解題了，

不過在小組討論中卻發生了不少的爭議，原來大家對於所剩下的3本書究竟該如何處理，

眾說紛紜...

這究竟是怎麼一回事呢?     不是應該這樣解題嗎?

48÷9＝5…3 5＋1＝6             答:要6個書櫃才夠

後來在全班討論時，聆聽孩子們的質疑才發現，

原來在題目中的 「一個書櫃『要』放9本書」這句話本身產生了語病，

從另一個角度來思考，似乎題意是在說「一個書櫃非得要放9本書」不可，

也就是一個書櫃的書本數不可以少於9本。

因此在老師與學生的討論之後，

所達到的共識是將「一個書櫃『要』放9本書」這句話，

改成「一個書櫃『可以』放9本書」，才解決了這個爭議，

由此可知布題中用字遣詞的重要性啊!

後記:

   在下午的教學後會議中，針對這個問題的結論是:

老師要在有必要的情況下需在自行解題前確認題意，

如已開始解題後，

如發現有語意不明處，則須需待全班討論時，依學生的解說為依據，

只要能合理說明就該讓他過關，以支撐學生的想法，

培養學生建立自主思考的自信且勇於質疑!

今天是上除法的第一節課，

不免會擔心有些小朋友可能已經在安親班或其他地方先學了，

這樣的情形是不是會影響到孩子們能察覺到除法意義的可能性，

因此就布了以下這個簡單的題目，目的是不要讓數字困擾到孩子們進行推理思考。

題目:

12個果凍，3個裝一盒，最多可以裝幾盒?

在解題前，老師的引導語是要孩子們盡可能的將自己的想法詳細的紀錄下來，寫算式或畫圖都可以，寫完後要思考如何說明。

這樣引導的目的就是要孩子們要寫出自己能解釋的方法，而不是直接引用成人算則。

以下是今日的解題紀錄: 

為什麼決定解題紀錄的討論順序會是如此重要?

因為上課時間有限，但討論是需要時間去彼此聆聽、反思、提問、歸納的，

因此老師若能做出正確的決斷，那麼課室中的討論不但不會失焦，

更是老師在協助孩子建構知識的最佳引路者!

在除法教學中，包含除和等分除是除法概念中的兩大枝幹，

基本上孩子們並不需要認識這兩個數學名詞，但卻需要能從題意中辨認出其中的相異之處，

以利日後解題時的需要。

因此昨天的布題是包含除，

12個果凍，3個裝一盒，最多可以裝幾盒?

今日的布題則是等分除。

平分給5個小朋友，

每人可分到多少顆?

經課前研判孩子們對這題的解題並不會發生困難，

因此今日教學是直接跳入全班討論，請孩子們說出”可以用那些數學知識來解出答案”。

在上幾堂課中，

孩子們已經經驗過包含除和等分除的除法解題，並且學會了除法的橫式及直式列式，

因此今天的學習目標就是要學會能理解有餘數的除法，並能懂得如何用橫式及直式來表徵餘數。

布題:

13顆糖果，3顆裝一盒，

最多可以裝成幾盒?

由於數字小且題意不可能會造成孩子們計算上的迷思，

因此老師今天採取了不一樣的步驟，先讓孩子們思考一下要如何算出答案，

然後問孩子們

如果要算出答案，你會產生的一些困擾嗎?可以分享一下你的困擾是什麼嗎?

有孩子立刻說:

我無法找到3× (   ) =13的數。

老師接著便請全班有這樣困擾的人舉手，結果有十幾個孩子都舉手。

(要孩子舉手的用意，是要讓孩子們感到安全，覺得自己表達出自己的疑問，並不是在讓大家看笑話。)

另一個孩子接著說:

我的問題是算完後會有剩下的耶!

老師便要全班想想這樣的問題要如何解決?

           結果有孩子回到題目去說明，

認為題目中只問”最多”可裝成幾盒，並沒有說不可以剩下啊!

Bingo!

接著就請一個孩子上台將題意及解題結果畫在白板上，

並藉由這樣的表徵來介紹”餘數”這個數學名詞。

為了不要讓孩子們僅是從圖像表徵中看到答案，而直接填入橫式中，

因此便要求孩子們先試著將直式表徵寫出來，

以下便是今日所看到的表徵類型:

老師先從下面這兩張表徵開始問孩子們覺得對嗎?

當然”餘數”是今天教學的主角，所以下一個提問便是:

被除數的單位一定會和餘數一樣嗎?

這個問題還真是讓孩子們猶豫不決了好久，

共做了兩次的小組討論和一次的全班討論，才終於得到共識，

我們的共識是

因為餘數是從被除數中產生的，

從圖象表徵示中也可同樣發現這樣的結論，

因此被除數和除數的單位一定是一樣的。

最後老師便再布一題，數字一樣但題型不一樣的等分除題目，

並讓孩子上台將相關的圖像表徵畫出，

最後便介紹除法有餘數時的橫式表徵該如何記錄，

完成了今日的教學。

由於孩子們已經經驗過等分除和包含除的除法，因此老師出了一份數學日記，

想測試看看，孩子們能不能清楚分辨出其中的相異之處。

後記:

在隔天收回的數學日記中，

發現孩子們幾乎都順利完成了!

今天的題目是要解決商數是否需要加1的問題，

而藉由今日的討論過程中，我們也發現讓孩子們有機會說出他們的疑問及想法，

我們會更能從孩子的觀點去引導進行有效的學習!

題目:

甲班共有34個小朋友，

全部的人都要坐遊園小火車，

一節車廂可以坐4人，

最少需要幾節車廂才夠坐?

在解題的過程中，

孩子們有的人認為要加1，有的人認為不需要，

現在將孩子們的問答過程，摘錄在下面。

S1: 因為題目問最少需要幾節車廂，因此 32÷4=8…2 , 共需要8節車廂。

S2: 可是剩下的2個人要坐哪裡?

S1: 但是題目是問“最少”需要幾節車廂啊!

S3: 題目上有說”全部的人“都要做坐，就是每一個都要去，所以必須增加一輛車讓剩下的人坐。

在S1終於被說服之後，又有孩子開始提問。

S4: “一節車廂可以坐4人“是什麼意思?

S5: 那就是每節車廂可以坐1人、2人、3人或4人都可以。

S4: 那都一定要坐滿嗎?

S6: 因為題目問「最少需要幾節車廂才夠坐」，因此要盡量坐滿。

當大家都快達到共識認為此題應該是

32÷4=8…2

8+1=9

又有孩子發問了……

S7: 算式中8+1的1，在題目中並沒有這個1，那這個1是從哪來的?

這個問題還真是打中了孩子們的死穴，

在孩子們的數學解題經驗中，

孩子們很容易認為題目中出現的數字一定要用，或沒出現的數字不可以用，

因此這個問題還真的是卡住了他們，

此時老師便上場了，

T: 你們認為那個1的單位是什麼?

S們:是1節

T: 為什麼算出8節車廂後要再加1節上去?

S們: 因為還有2個人沒有車廂可以坐，因此要再多1節車廂。

T: 所以在這裡把 8(節)+1(節) = 9(節)，這樣符合題意嗎?

S們: 符合

T: 那麼題目中雖然沒有1節車廂，那可以加1嗎?

S們: 可以

今天的課堂中，

讓老師看到了當題目有一個以上的條件時，相對的對孩子們的挑戰性就越高，

如果我們願意聆聽他們的想法，順著他們的想法去引導他們審題，

那麼孩子們就更能深刻體會到題目中每一個字的重要性，而能養成不忽略細節的習慣了!

乘法的直式表徵本身奠定在位值概念上，

在進行實際教學時，有2個孩子出現了很有趣的相同表徵，跟大家分享!

布題:

一本故事書要35元，買了5本共要付多少元?

依據題意，孩子選擇了用乘法的概念來解題，

在行間巡視時，初次看到這張解題紀錄，直覺是認為乘法成錯了，

但看到有另一個孩子也這樣寫時，不禁嗅到可疑之處。

因此在小組討論時，特地去仔細聽聽看孩子是怎麼說的，

原來他們把5個一乘5倍得到25，然後在十位上劃記2，

在進行十位的乘法時，竟將劃記的2和十位的3先相加，

然後再一起乘5倍，所以得到了25的十，也就是250。

學生的先備知識:  理解一位數乘以一位數的數學意義。

照道理應該先教二位數乘以一位數的乘法，

但在未教前，想先檢測一下孩子們究竟對乘法的數學意義，以及被乘數和乘數的數學關係的理解是否穩固，

因此就故意布一個數字大的題目，來做個教學前的前測。

布题:

一個披薩299元,如果想要買3個披薩,一共要花多少元? 

 (布題後鼓勵解題完成的孩子，繼續思考是否有其他的解題策略 ~ 發展多元解題策略)

學生的解題紀錄如下: 

從上面的的解題紀錄中,

我們可發現孩子們的解題策略充滿了多元性,所使用的數學知識，有加法、減法、位值概念和乘法，

當然也在解題紀錄三的(1)中，看到補習班先進行教學的影響，

但依然可以觀察出孩子建構知識的潛力，真是不可小看啊! 

因此，我將題目進行更改，不僅不附上圖示，還將分母進行更動，順便檢視他們的分數概念是否穩固，試圖想要一魚二吃。

布題:

馮老師吃了1/4個披薩，戴老師也吃了1/3個披薩，

請問誰吃的比較多? 說明你的數學理由。

有趣的是，題目才一布完，

立刻有個坐在前方的孩子脫口說:「老師我想問，這是同一個披薩嗎?」

開玩笑!我怎能回答這個問題，回答了我今日想檢測他們的計畫豈不全毀了，

還好他坐在第一排且音量不大，且無人有同樣問題，

因此立即拿出老師的威嚴說:「這就是全部的題目內容，自己想。」

個別解題後就開始進行小組討論，然後請孩子們將小組共識貼在白板上。

看到各小組送出的共識，就發現全班都無一倖免的落入迷思中了，

但還是決定順著他們的思維，

很嚴謹的和全班討論將各組的共識依照分數概念的語述方式來進行修正(綠筆標示處)。

全班討論結束後，我便問之前坐在第一排的那個孩子，

請他大聲說出，在解題前他想要問的問題是什麼，

這孩子便說出:「我想要問，馮老師和戴老師是不是吃同一個披薩?」

此話一出，3秒後立即出現一些驚叫聲，真是一語驚醒眾人，

他們立即表示此題無法比較，因為不知道是不是同一個披薩。

因此我問孩子們題目要如何修改，才能讓白板上的各組共識變正確，

立刻有人舉手完成了題目的修正(如下)。

不過，課上到這裡還沒結束呢!

還需要回到課本去結合一下，因此我用電子白板將下面的題目揭示，

孩子們很快就說出是哥哥吃得多，也就是1/6的海鮮披薩比較大，因為看圖就知道了。

今天孩子們要利用老師所提供的「工具」，來測量兩本無法直積比較面積大小的書。

當然這項任務並不會這麼容易過關，為了確認孩子們能明確辨別出周長與面積的概念,

因此在工具箱中,被放入了小方格紙、撲克牌、直尺及一條塑膠長繩。

孩子們應該要選擇小方格紙或撲克牌來進行面積的測量，而不應使用直尺及塑膠長繩。

接下來重頭戲就上場了...

當各組出來講解作法時,

孩子們很自豪的說出他們如何絞盡腦汁找出撲克牌和小方格的最佳組合(也就是盡量將撲克牌和小方格排滿要比較面積大小的兩本書)

不過,問題也就這樣悄悄的來臨了...

其中有一組的測量結果如下面白板右方的表格紀錄:

哇! 大家在佩服聲中,終於鬆了一口氣,

可是...老師又問「還有別的方法嗎?」

最後我們經過了一番討論，得到的共識就是

「如果能將撲克牌的張數控制成一樣的數量，那麼只要比較小方格紙的數量，就會知道誰的面積比較大了。」

BINGO!

可是...老師又再問了「還有別的方法嗎?」

這時有位「勇士」勇敢的舉起手來，大聲的說 ...

「也可以比較國語課本和故事書的周長，周長比較長的，面積也比較大。」

這時老師心中OS是 「我就是在等你這句話啦!   終於給我等到了啊!」

但因為上課時間快不夠,因此經過舉手投票的快速民調,

發現有一半的孩子還挺支持這樣的想法呢!所以當天孩子們帶回了一張「數學日記」做為回家功課, 

在課本上開宗明義就是呈現出一公斤秤面的樣子，先要孩子們觀察秤針的運動方式，

然後開始教孩子們如何看著秤面進行秤面刻度的報讀，

接著宣告1公斤=1000公克。

但為了符合孩子學習歷程，以「經驗-察覺­-理解」的理念來進行教材設計，

因此這回在課室中，採用了另一個方式來引導孩子，

以下就是我們的故事。

【上課了】

老師先引導孩子們回憶在生活中所看過的秤，以及測量不同重量範圍秤的功用，

最後聚焦在1公斤的彈簧秤上。

T: 現在我們要設計一個能秤出1公斤以內(含1公斤)重量的秤，所以老師先畫一個圓形的秤面在白板上。

T: 我們學過的重量單位有?

S: 公斤。

T: 那麼「公斤」這個重量單位運用在1公斤的秤面上，好嗎?

S: 不適合

T: 所以在進行接下來的設計之前，為了要能表示小於1公斤的重量，老師要先介紹一個重量單位，那就是「公克」，

1公斤=1000公克，這樣我們就能利用「公克」這個單位來設計秤面了。

T: 你們想要先把這個秤面平分成幾等分?

S1: 1000等分。

S2: 太多了!很難分。

T: 請問大家這是幾公斤的秤面?

S: 1公斤。

T: 那麼如果分1000等分有困難，該怎麼辦?

S: 分10等分。

【孩子上台操作試畫後放棄，因為對分再對分，最後只能畫出8等分。】

T: 那現在怎麼辦?

S: 先平分一半就好。

【分好後，由孩子們來確認刻度的標示數字，最後完成了0和500公克的標記。】

T: 如果秤面上的指針剛好落在其他地方，不是剛好500公克，怎麼辦?

S: 再平分一半。

【引導孩子們來推算刻度1/4處的標示數字是250公克，然後讓孩子們合理說明3/4處的標示為什麼該是750公克，完成了250和750公克的標記。】

T: 如果我現在方一顆蘋果在這個秤上，請問你正為原本指在0的指針會往右?還是往左旋轉? 為什麼?

S: 應該往左旋轉，如果往右會變大到小，往左才會是小到大。

T:那如果當我放了一個蘋果上去，指針剛好落在0和250公克之間，怎麼辦?

S: 再平分成一半。

T: 那這個在0和250之間的標記該是多少公克?

S1: (遲疑了一會兒後) 125公克。

S2: 這樣分下去會出現小數耶!(有人喃喃自語地說著)

T: 好像各位出現困惑喔!

我們是為了好用才進行刻度的標記，那就請大家進行三分鐘小組討論，討論一下該如何解決這個問題。

【討論之後大家決定要平分成5等分，每一個等分是50公克。】

T:如果秤面每一等分是50克，大家來數數看，看看好不好用?

【當孩子們從50個一數，數到1000後，都同意很好用。】

T: 那如果針剛好落在0和50公克之間，又該怎麼辦?

S: 再分成 10等分，每一等分是5公克。

T: 可是老師在白板上的秤面有些小，畫不下10等分，那我又該怎麼辦?

S: 分成5等分也可以，每一等分是10公克。

【接下來老師將實體的1公斤秤放在各組，要求大家先觀察一下真正的秤面跟大家剛剛設計出的秤面有什麼不同，

結果孩子們都驚呼和我們設計的一樣耶!當然，接下來的秤面判讀也就對他們而言是輕而易舉的了!】

今日的布題和四年前的布題一樣，

但並未像四年前布題時，強調要孩子們找出符合題目要求且體重是最重的組合，

也因此這題出現了不同的可能性，他們的解題策略當然也不負眾望的展現出不同的風貌!

當日題目內容如下:

拔河隊伍一隊8人，規定8位選手的總重量不能超過320公斤。

目前已選出六位選手，他們的體重合起來是242公斤，

但必須再選出二位選手才能比賽。

請問:老師可以從下面的名單中選出哪兩位做為選手呢?為什麼?

小文42公斤 小如40公斤 小玲45公斤 小吉35公斤

仔細看看便會發覺孩子們並未察覺出4位選手進行2人的組合，

應該有6種可能組合才對，但他們都只找到4種，

且從上面兩張解題紀錄中也可發現，每張上所呈現的4種組合並未完全重複，

因此如何引導學生能有系統進行配對，就是下堂課的任務了!