趣數學
長度 (二年級)
2023.02.02 ~ 有趣的「度」量衡
今日在賴以威老師的FB看到他的這篇文章，
才恍然大悟了一些有趣的事!
我將他的文章內容複製在下面，並附上網址供大家參考!
https://www.facebook.com/1110895358931489/posts/6062683320419310/?sfnsn=mo&mibextid=VhDh1V
原文:
今天就來針對中國度量衡中的「度」做一番探討分析！這個「度」可不是「角度」，而是長「度」噢
最早的長度標準是參考自然界的物品，身上的各個部位也不例外。雖然很方便，但誤差也很大，光是要用你的還是對方的手臂當標準，就得爭論好一陣子。
隨著文化推進，漸漸出現人造的長度標準，人們對於統一「#長度」的方法才逐步建立共識。秦朝統一天下後，中國有了相同的長度規制，從此以後大家測量出的長度都一模一樣了……嗎？當然是不可能！中國五千年歷史這麼長，總會有意想不到的驚喜。
魏晉南北朝開始，長度規制又發生了混亂，幾乎每改朝換代一次，標準就會再次更新，有時變長一些，有時又變短一些。到了明清時代，長度的標準才逐漸穩定下來，跟現在中國採用的一尺≒33.3公分差不多。
▍ 為什麼「一尺」愈來愈長？
仔細觀察，你可能會發現，平平都是「一尺」，對應的長度為什麼愈來愈長？
背後的原因尚未有個定論，以下我們介紹常見的三種說法。
第一種說法是「製造度量衡的技術變好了」。
隨著原料跟技術的改革，測量工具愈來愈容易製作，所以人們開始製造較長的測量工具。例如最早出土的象牙尺，由於原料稀有、長度有限，所製造出的象牙尺只有15.8公分。後來改用木材製作木尺，就能做得更長。
不過，也有一派人認為這個說法有些倒果為因，應該是先有測量更長物體的需求，人們才追求技術的進步。
所以囉，第二種說法是：隨著生產技術的進步，人們的產出量愈來愈多，交易的量與次數也愈來愈頻繁。
因此同樣的，愈來愈常測量，且每次測量的長度愈來愈大，於是1尺的長度愈漸增加。例如織布技術的上升，導致布匹的大量生產，價格也因此變得便宜。所以將量尺改大，有助於快速測量布匹長，同時意味著一樣的金錢能換到的布匹變得較長。
最後介紹的第三種說法則帶點陰謀論：政治需要。
度量衡改制通常是政府的決策，將度量衡變大，可以視為間接增加稅收的方法。比方說，同樣繳交10尺布匹，秦朝百姓要拿出231公分，但清朝人民要繳交的數量卻一口氣增加到320公分。比起直接說「多交一點稅」，增大度量衡比較容易被接受。這有點像是洋芋片漲價不容易，不如就弄小包一點的概念。
如果很難叫百姓多繳稅，那不如就修改單位。乍看之下好像很容易被識破，但考量到古代的教育水平，人民對單位換算的反應，或許還真的是一個方法。
所以說，培養數感果然很重要吧！
公升與毫升(三年級)
2021.10.04 ~如何 使用5公升和3公升的杯子，倒出4公升的水?
「如何 使用5公升和3公升的杯子，倒出4公升的水?」
這是一道小學奧數題目，
對於剛升上三年級才一個月的小孩，這題目很抽象，且不好操作證明，
因此我將題目改成
然後將飲料杯裁剪成500毫升和300毫升的杯子，
好讓孩子們思考完後，可以自行來操作看看，協助他們能聚焦在問解決上。
當然! 結果如我所料，孩子們即使合力解決，都無法找出方法，
並一直懇求要給些提示，我只好說:「就是加加又減減的關係。」
老師提示說得很玄，而孩子們卻也奮戰不懈，十分有趣!
最後只有兩個孩子已經解出到一半了，可是限於思考框架無法突破，又鍛羽而歸。
但當我在全班的面前，重新複製這兩個孩子的解法，並輔以圖示，且還加上一句「已經快解出了喔!」
這下子他們就像羽翼下有風一般，竟然很快就突破困境，看出了端倪，找出了第一種解法。
那第二種解法呢?
我只能說:「第一種解法是先倒滿300毫升的杯子，那第二種法當然只好從倒滿500毫升杯子出發了!」
因為前一種解法已經打破了他們原本的思考框架，因此沒過多久，就有孩子來挑戰並成功了!
其實，這個題目與公升和毫升並沒有關係，而是藉著「倒水」這件事，來訓練加法和減法之間的邏輯思考而已。
不要害怕孩子們解不出來，過程遠比結果更珍貴!
下面是願意嘗試將解法寫下來的孩子作品，供大家欣賞!
(基本上，我是不會要每一個孩子都學習將解法寫下來，因為這對三年級孩子來說，是頗有難度的，
但還是鼓勵願意的孩子來做做看，以提升他們的數學表達能力。)
解法一: 從倒滿300毫升的杯子開始
以算式來表示就是 500-300=200
300-200=100
100+300=400
解法二: 從倒滿500毫升的杯子開始
以算式來表示就是 500-300=200
300-200=100
500-100=400
小數(三年級)
2022.04.28 ~ 一位小數比大小(數學遊戲)
一般來說，只要孩子們的位值概念良好，
要進行「數」的大小比較都不是難事。
在剛開始學習一位小數時，主要是個位和十分位，
在此分享一個簡單的教室遊戲來檢驗孩子們的「一位小數比大小」能力。
先在板上畫好兩個有個位和十分位的位值表，
再拿教室都會有的籤筒來抽籤。
只看抽出數字的個位做為比賽者可以使用的數字，
例如:抽出15號，那就代表數字5，抽出20號，就代表數字0。
兩個孩子輪流抽籤，然後依序決定要將先抽出來的數字放在個位或是十分位，
然後再抽下一個數字。
然後等兩個數字都抽完，誰的小數比較大(或比較小)誰就勝出。
遊戲是很簡單，且不用額外做任何準備，
但三年級的小孩倒是玩得很開心，
身為老師的我，也可以藉由他們如何選擇先放在哪一個位值，
同時檢視他們對於小數的數感好不好呢!
統計圖(四年級)
2017.11.22 ~ 好笑的折線圖
這個貼文令我忍不住笑出聲了！
國小數學是生活數學，所以真的很實用，但也不能這樣用吧!
連續量和離散量雖然都是數量，但本質上還是很不一樣喔!
【數感生活—你會用折線圖嗎？】
折線圖是國小四年級下學期的課程，以下是康軒版的教師手冊是這麼教我們的：
折線圖往往是連續的資料，著重在資料的趨勢。故一般來說，長條圖是方便表示數量大小的比較，而折線圖即較容易考察數量的變化情形。
一般來說，只有當資料是所謂的「連續變項」時，我們才會根據資料繪製折線圖。下面就是一些可以繪製折線圖的例子：
1.小華在民國102到104年間，身高的變化情形
2.十二月十日在上午九時到中午十二時的溫度變化情形
3.班上同學身高的分布情形
下面的例子不適合繪製折線圖
1. 班上男同學和女同學的人數
2. 學校一到六年級的學生人數
「性別」、「人數」和「年級」都不是連續的資料，所以不適合用折線圖來表示。
複習完小學四年級的數學，照例得練習題目
【習題】請問「贊不贊成行政院鬆綁一例一休的立法行動的人數比例」是否適合使用折線圖來表示?
您覺得做問卷的台灣民意基金會答對了嗎?
註: 感謝 陳重嘉 （Chung-Chia Chen）大大提供資料。
億以上的數(四年級)
2020.12.22 ~ 億萬億顆的星星
親子天下出版了一本繪本，名字叫做 億萬億顆星星：宇宙這麼多星星，但在某個地方藏著獨一無二的「1」
這本繪本很貼心的在翻譯的時候，將西方數字位值標示的三位一數，改為符合我們位值習慣的四位一數，
因此，是個很不錯可以讓學生感受到，生活中的大數其實距離我們並不遙遠!
https://www.rubeelittle.com/%E5%84%84%E8%90%AC%E5%84%84%E9%A1%86%E6%98%9F%E6%98%9F/
三角形的面積(五年級)
2020.08.28 ~ 正方形蛋糕如何平分成五等份
在觀看這個影片時，我的大腦也在不停的思考，
最後知道答案時，覺得數學真有意思啊!
因數與倍數(五年級)
2020.12.04 ~ 鐘面的刻度為什麼是平分成12等份呢?
不知道大家有沒有想過，鐘面的刻度為什麼不是分成10等份，且時間的計算採大家都習慣的10進位呢?
理由很簡單，在生活中的實際應用時，
常會需要因應不同的情境來將時間量平分，
所以只是為了平分上的方便而已。
因為10的因數有 1、2、5、10，
而12的因數則是有 1、2、3、4、6、12，
也就是說，12這個數字要被平分的機率大，且不容易出現循環小數，
且數字還算小，也容易讓一般人輕鬆使用，
在生活上應用的效度高。
而為什麼1小時不是100分鐘，而是60分鐘呢?
100 是10的倍數，60是12的倍數，
由此就可知，
60的因數個數一定大於100的因數個數，
所以，還是60進位勝出。
除此之外，
角度也是如此，
周角是360度，平角是180度，直角是90度，
都是12的倍數，
這也代表要平分角度時，出現循環小數的機率會大大降低
可以避開複雜的計算呢!
質數 (六年級)
2022.05.02 ~ 質數追追追(數學遊戲)
這是一個讓孩子們熟悉140以內質數的遊戲，
也可以用同樣的手法，改成合數追追追，也是沒有問題的。
我們以2個人為玩家為例:
2人各拿半副撲克牌(也就是26張)，
撲克牌A當作是數字1，J是數字11，Q是是數字12，K是數字13。
接下來玩家要輪流組合撲克牌的數字，一次最多只能丟出兩張牌(也可以是一張牌)，且數字組合後必須是質數，
(若孩子玩得很投入，要將丟出的牌數增加，或把鬼牌當數字0來玩，都是可以自由變化的。)
例如:丟出A和10，組成質數101；丟出J和3，組成質數113或311。
若丟出的牌組合出的數字經驗證後，發現是合數，則需要將此次遊戲回合自己丟出的牌全部拿回去。
贏家的判定方法如下:
誰先將手中所有的牌都丟出，誰就勝出。
若手中剩下的牌都無法組合出質數，誰的剩下牌數最少，誰就勝出。
提供一份1-1000質數表供大家參考。
其實在遊戲中，去驗證是否為質數，就是很好的質因數分解練習喔!
圓面積的計算(六年級)
2021.03.14 ~ 圓周率
今天是314國際數學日，
國際數學會(IMU)計畫在2019向聯合國教科文組織提出申請，
制定每年 3月14日 為 The International Day of Mathematics (國際數學日) ，
而3月14日也被表示為3.14，恰好是圓周率 pi 的近似值，因此這一天也被稱為 Pi Day ，
以前我在引導學生去理解圓面積的公式，都會利用課本提供的附件來切割圓拼湊，
最後用電腦動畫去讓學生理解，
當平分圓的份數越多時，所拼湊出的圖形就會越接近長方形，
然後再帶著孩子們從長方形的面積公式推導到圓面積公式。
看了這部的影片後，我有了一個新的想法，
(至於要不要在教室切披薩，我覺得見人見智啦， 哈哈!)
我的教學步驟還是會一樣，
但這回我會讓孩子們準備捲尺(做衣服用的那種尺)，
然後每回平分圓拼湊後，就測量長邊的真正的弧長再除以半徑，
最後引導孩子們察覺到所除出的數與3.14的關係，
強化「圓周率」是一種近似值的比率概念，
這也是為什麼圓周率的準確值至今仍未出現於世。
2019.10.26 ~ 買披薩
今天看到這幅，真是非常生活化的圓面積教材，值得去測試學生一下喔 !
建議讓孩子們要了解生活中的9吋蛋糕，是指直徑9吋，而非半徑。
比與比值 (六年級)
2020.11.04 ~ 吸管排笛的製作(相等的比)
今天在賴以威老師的數感實驗室老師的中，看到一個有趣的影片，
影片的的後1/3部分有教如何製作喔!
2020.11.05 ~ 用「比」來測量金字塔高度的數學家泰勒斯
2020.11.05 ~ 神奇的A系列紙 (可以應用在比與比值或比例尺的教學上)
不知你有沒有發現常用的A4紙對折1半，就是A5紙的大小，
A3紙的一半就是A4紙大小。
這是偶然發生的嗎?
當然不是!
這可是18世紀的國科學家利希滕貝格提出來的，常和寬的完美比例，
這個比例可以使畫在A系列紙上的任何圖案都可以簡單的等比例放大或縮ˇ小，
到其他A系列的紙上而不會使圖案變形。
利希滕貝格提出的A系列紙，寬和長的比例是
https://hackmd.io/@Ljames/A4%E7%B4%99%E9%95%B7%E5%AF%AC%E6%AF%94
但在小學階段，孩子們不懂根號的，所以我們可以用取到小數第一位，也就是1:1.4來讓他們進行體驗活動即可!
速率 (六年級)
這個影片很巧妙地說到平均速率和區間速率，
很值得讓孩子們一邊看一邊思考喔!
元宵燈謎 ~ 數學版
在網路上看到一則很有趣的數學元宵燈謎，
設計這燈謎的人還真是太有才了。
可以讓孩子們猜猜看喔!
1.謎題：0000
謎底：四大皆空
================
2.謎題：0＋0＝0
謎底：一無所獲
================
3.謎題：0+0=1
謎底：無中生有
================
4.謎題：1×1=1
謎底：一成不變
================
5.謎題：1的n次方
謎底：始終如一
================
6.謎題：1:1
謎底：不相上下
================
7.謎題：1/2
謎底：一分為二
================
8.謎題：1+2+3
謎底：接二連三
================
9.謎題：3.4
謎底：不三不四
================
10.謎題：33.22
謎底：三三两两
================
11.謎題：2/2
謎底：合二為一
================
12.謎題：20÷3
謎底：陸續不斷
================
13.謎題：1=365
謎底：度日如年
================
14.謎題：9寸加1寸
謎底：得寸進尺
================
15.謎題：1÷100
謎底：百裡挑一
================
16.謎題：333，555
謎底：三五成群
================
17.謎題：5，10
謎底：一五一十
================
18.謎題：1，2，3，4，5
謎底：屈指可數
================
19.謎題：1，2，3，4，5，6，0，9
謎底：七零八落
================
20.謎題：1，2，4，6，7，8，9，10
謎底：隔三差五
================
21.謎題：2，3，4，5，6，7，8，9
謎底：缺衣少食
================
22.謎題：7/8
謎底：七上八下
================
23.謎題：2，4，6，8
謎底：無獨有偶
================
24.謎題：4，3
謎底：顛三倒四
簡單數學算式該如何用英文來說
在雙語教學如火如荼被重視的現在，
這個影片中清楚說明在英文中「加減乘除」該如何正確使用，
值得一看!
但若看仔細點，
就會發現在影片中，
當再說明 7 × 9 的時候，
是以 9 的 7 倍來進行說明，也就是等同於我們認為的 9 × 7，
這並不是影片有出錯，
而是在美國的乘法教學中，
是 單位量 (倍數) × 單位數，跟我們剛好相反，
但這不影響結果，是因為乘法具有交換律。
不過，若是美國小學生將 單位量 × 單位數 放在相反的位置，
也是會被糾正的，
那是因為這是在建立乘法的邏輯概念，答案正確並不是唯一的考量。
ps. 因為是youtubeu影片，因此可以打開字幕選擇英文或中文來觀看。