在乘法直式表徵中，當進入乘以二位數時，

直式表徵就會出現兩層，

以 24×12 為例，

表徵中的第一層是代表24×2，

第二層則是24×10，

也因此教學者會讓孩子們理解到乘法直式的結構，

就是以「被乘數的位值」為基準，

根據「乘數」的位數來決定有幾層，

也就是說不管是幾位數乘以N位數，

直式表徵就會出現N層。

進入本學習單元之初，

當題目是7×50時，究竟孩子會如何寫出直式表徵呢?

我們班目前有26個孩子，共出現3種直式表徵，

寫出表徵1和2的孩子都不少，但寫出表徵3的則是5個孩子。

因此，我便利用小組討論去讓孩子們彼此溝通對這三種表徵的想法，

最後表徵1和2無人有異議，

只有表徵3被質疑。

在討論的過程中，

我去引導孩子們理解可以合併的理由，

是因為在計算的的過程中，

7×0是代表個位為0，

因此，只要個位的位值有被「0」佔據著，

這樣就不用擔心之後乘以十倍或百倍會出現位值對錯的狀況了，

因此表徵3當然是可以接受的。

我利用7×50這個簡單的乘法，

去刺激孩子們思考表徵的合理性，

這樣等到我教到更多位數的乘法時，

孩子們就會更能接受圖二的表徵方式，

而不會因使用圖一的表徵而不小心對錯位值就計算錯誤了。

直式表徵並非正式的數學算式，

因此只要表徵本身可以被合理說明即可被接受。

但直式表徵當然有優劣之分，

因此教學者展現及說明直式表徵的意涵是很重要的，

孩子自然會在浸潤中，做出「聰明」的選擇，

畢竟沒有人想要自找麻煩的，哈哈!

讓孩子們從發現10度角在量角器上的存在之後，

也就等同認識了量角器上「中心點」與角的「頂點」的關係了。

接下來就是孩子要自行思考，要如何為量角器標上合理的數字標記了。

從這個活動的探索及討論中，

孩子們可以逐步理解量角器中的刻度及相關設計所代表的意義，

並在展現各自量角器數字標記的過程中，

從頭到尾好好去「認識」量角器，

並在認識的過程中，自然學會了正確的操作的方法。

以下是此次我從教學現場直接挑出的孩子「作品」，

然後依序去引導孩子察覺量角器的「秘密」。

會這樣做，是因為在前面的幾堂課中，

我已清楚本班孩子對於逐次減項的算式表徵及括號先算再從左往右計算的運算規則皆已穩固，

因此，我才只要孩子寫出第一層算式即可，

此外，這樣教學的好處是可以讓孩子們回歸題目去確認自己的想法，

而不是用算出來的答案來回推自己的想法是否正確。

我的教學步驟如下:

1.布題後給予指導語，請孩子們只要寫出第一層算式，然後思考究竟有多少種解題策略。

2. 進行完整小組討論。每個孩子依序在小組中，回到題目說明自己的解題策略，然後要將獲得全組認可的策略，記錄在老師發下的白紙上。

3. 進行全班討論。先進行解題策略初步分類，再邀請孩子上台回到題目說明解題策略，最後達到全班的共識。

下面是6組送出的共識(原為7組，但因疫情有些孩子無法來上課，因此縮為6組) :

我們利用畫不同的符號來表示初步分類的結果，

然後我選擇從第七組的解題紀錄開始討論，

原因是因為 328-69+39 和 39+(328-69) 這兩個算式，

雖然表徵不一樣，但解題策略卻是一樣的，

都是先算扣除下車的人數，然後再加上上車的人數，

因此，我決定先從這裡開始，引導孩子理解「解題策略」究竟是什麼。

有趣的是，僅有第七組出現三種解題策略，但事實上只有2種策略的狀況，

而第六組僅確認出一種解題策略，而第五組三種策略全都發展出來了。

但不管各組最終經討論確認了幾種解題策略，

真正的關鍵還是在全班討論上

~ 如何分辨出解題策略的異同以及解題策略的合理性。

日本京都大學的學生真有才!

這是大學生為了預告學院祭活動的倒數計日宣傳活動，

每天僅改變加減乘除，就能不斷倒數日期。

看到這則新聞，心中大喜!

正好可以做為四年級四則運算學習單元的總結活動，

不知我們的孩子們可以從32日到數到0日嗎?

滿心期待中.......

https://news.ltn.com.tw/news/novelty/breakingnews/4102220

內在本週二四則運算終於全部教完了，因此便在當天公布的「同樂會倒數32天」的消息!

孩子們很興奮，

在得知要自己推算是來倒數日期，且不限一天可以倒數的天數，

他們更是開心的不得了!

在進行活動前，先約法三章，

交出算式時，老師會抽問你(你們)是如何推算出來的，

且不可以上網查答案或詢問大人這算作弊行為，

若被發現則取消這次的同樂會活動。

而以個人或合作完成算式的，都可以加平常數學分數1分。

結果，這群孩子才到週五就倒數到16天了。

(這還是我有技巧拖延不一直公布被推算出的答案，

才勉強讓這群孩子「鎮定」點，

而這樣也有好處，就出現越來越多不一樣算式，但答案相同的算式。)

無論如何，

今天已票選出同樂會的主持人人選，

相信不遠的某天，就要開同樂會了!

今日開始從真分數出發，要引導認識假分數和帶分數......

3/4是3個1/4，4/4/是4個1/4，一切都理解得十分順利，

等到圖面出現5個1/4時，

這下子不少人都入坑了，

究竟是5/4還是5/8呢?

有的孩子還寫出答案是5/8=5個1/8，

我感到這些孩子對分數真是挺無感的。

即使經過了小組討論，

大家雖覺得5/8是不對的，但也說不出個所以然來。

還好有一個腦袋清楚的孩子說出5/8的數學意義，

是將一個完整的1平分8等分，跟圖面不合

才將我們拉回到正軌，

接著回到分數的意義去認識假分數和帶分數所代表的數學意義。

其實，孩子們入這坑完全在意料之中，

而這也是分數概念一定要「澄清」的迷思概念喔!

2022.12.31 ~聽繪本學數學 「數學魔咒」

原教學是安排在四下，現今則安排在四上。

可連結下面網址觀看相關教學紀錄

https://sites.google.com/view/mathtalk2020/%E9%A6%96%E9%A0%81/%E5%9B%9B%E5%B9%B4%E7%B4%9A%E4%B8%8B%E5%AD%B8%E6%9C%9F?authuser=0#h.fz2htqo2842q

2023.01.02 ~ 統計圖的十問實答

今日布題及課本的解題如下:

絕大多數的孩子都順利完成解題，全班25人，只有2個孩子寫錯，以及有1個孩子採用245-28+245的解題方法。

因為寫出解題紀錄4的孩子眾多，因此決定抽出這四種解題紀錄貼在白板上，並依序邊上編號，讓孩子進行小組討論。

討論結束後，我從解題紀錄1開始進行全班討論，

有趣的是，

幾乎全班都認為是錯的，只有1個孩子勇敢的舉手表示不贊成，而這個孩子還不是寫這解題紀錄的人。

在四年級上學期的四則計算教學中，

學生學習的困難點並不會是在理解以及應用「括號先算」及「算式從左計算」的原則，

而是會困在「理解題意」後「將算式合理併式」的過程中。

今日的布題如下:

誠實班有40個小朋友。在慶生會時，每4人一組，老師準備了20瓶果汁,

想要平分給每一組，請問一組可以分到幾瓶果汁?

在解題的過程中，幾乎三分之二以上的學生都先寫出 40÷4÷20 的算式，

然後在發生 40÷4÷20＝10÷20 的困境後，才捨棄此解題路徑，重新解題。

(可從孩子們刪除的算式中一窺究竟)

因此為了讓學生能突破「理解題意」後「將算式合理併式」的困境，

我們開始訓練學生於算式後方加註所得數字的意義說明，

藉此於反復的訓練中，迫使孩子們能將所算出的數字不時與題意進行思辨，

最後順利完成解題。 

在康軒三下的課本中，有兩個很有趣的布題，

表面上這兩題似乎不一樣，但事實上卻是相同的解題策略，

只是第1題在文字敘述上採順序法，而第2題則是採倒敘法。

看來第2題的題意上的文字真的將孩子難住了，

為了讓孩子們能察覺出正確的題意，

首先先將題目中的文字依句子來排列整齊，

以避免文字的排列困繞孩子們讀題，

接下來便開始引導孩子們對第1和2題的題意進行比較與分析。

(第二題題目上的數字及名詞在上課時有更改如下。)

但孩子們常容易陷入過度推論的迷思中，

也就是在發現這兩題題意一致，且都採乘法策略解題，

就會歸納成

只要是看到題目中有誰是誰的幾倍的文字，就應該用乘法來解題，

這是十分危險的一種思考方式!

因此接下來便開始引導孩子們思考 “題目中的文字該如何更改，便應該用除法來解題呢?”

以便能讓孩子們不可用關鍵字來理解題意，

而是要確實了解題意才能正確解題。

在昨日隔壁班的教室觀察中，布了一題有關”乘的併式”的問題(如下)

有藍色、綠色、紅色三條繩子，

藍繩子長18公尺，綠繩長是藍繩的3倍，

紅繩長是綠繩的2倍，藍繩長多少公尺?

孩子們很快的就寫出了併式，且對線段圖的需求很低，

在小組討論中，也發覺他們口語表達清晰，

對於乘法中”倍”的數學語言是概念穩固的。

且幾乎所有的孩子的數學表徵都不出兩類

1.     18 × 3 × 2

2.    (18 × 3) × 2

只有一個孩子寫出了第二種想法，18 × (3 × 2)

無論如何，我們都很高興孩子們能順利解題，並說清楚想法!

但對於隔日即將上相同布題的本班，

我也很想測試一下，班上的孩子是否對於「倍」的概念夠穩固，

但我也擔心有的孩子是依照題意上數字的順序來相乘，

並不是真的理解題意，

因此今日布題時，我改變了題目中敘述句的順序(如下)

有藍色、綠色、紅色三條繩子，

紅繩長是綠繩的2倍，綠繩長是藍繩的3倍，

藍繩子長18公尺，藍繩長多少公尺?

為了不想讓孩子受到算出答案的影響，而掩蓋掉他們的原始想法，

因此今日解題僅要孩子們寫出第一層算式，

不要計算答案，然後利用剩餘的時間，

好好想想要如何在小組討論中說清楚自己的想法，

如有需要，可以加上文字、圖形來輔助說明；

如果還有時間的話，則可思考是否還有第二種解題策略。

全班有28人，解題結果及老師觀察結果如下:

在全班討論時，

解題策略1很快地就獲得大家的認可，

也同意18 × 3 × 2 或 (18 × 3) × 2 的想法都是一樣的。

           討論到了這裡，下課早就到了，

那沒解決的18 × 2 × 3 和 18 ×( 3 + 2) 呢?

那就當成數學日記，

孩子們要回家用文字、圖形等方式來證明或說明是不是合理的策略，

唯一不准用的方法就是算出答案來證明，

相信各位一定懂得為什麼會有這個限制吧!

至於結果如何，就等明天吧!

今天一早看完昨日回家寫的數學日記，

28孩子只有5人在獨立思考的狀態下，

兩題都順利表達出能合理支撐自己想法的紀錄。(如下)

原始布題:

有藍色、綠色、紅色三條繩子，

紅繩長是綠繩的2倍，綠繩長是藍繩的3倍，

藍繩子長18公尺，紅繩長多少公尺?

在討論 18 × 2 × 3 時，

孩子們比較快就能說出如果先算18 × 2，

就等於綠繩長是藍繩的2倍，不符合題意。

(真是有夠奇怪的，回家寫時寫錯一堆，怎麼上課時就很「神勇」啊? )

但是，輪到討論 18 ×( 3 + 2) ，

雖然上台了好幾人試著想說清楚，

(其實，我很確定解說者是了解迷思在哪的)

結果還真的有點越描越黑，好像在繞口令一樣，大家都快被”說”昏頭了，

直到有一個孩子突然舉手說:

「紅繩和藍繩又不是同一條繩子，怎麼可以將2倍加上3倍，一起算呢?」

謝天謝地! 終於出現了關鍵性的說法，

而且這麼一說大家都鬆了好大一口氣，大澈大悟了，

真是可喜可賀啊!    哈哈哈!

在進行今天的課程之前，

孩子們對乘法的舊經驗包括:

1. 能解決多位數乘以一位數的問題。

2. 理解乘法交換律。

3. 藉由論證，理解要如何證明出「多位數乘以一位數，只要先將不是零的數字相乘，再補上零就會算出答案了。」

4. 藉由論證，證明出「一位數乘以整十倍，只要先將倍數中的零去除，然後和一位數相乘，所得的答案再補上零就會算出答案了。」

因此今天的任務就是要解決一位數乘以二位數的情境問題，目的是要藉由解題的思考歷程去銜接對乘法直式表徵的理解。

事實上，這一類的解題策略正是之後學習一位數乘以二位數直式表徵的重要基礎，

因此，當然我們要先開始檢視這類解題紀錄的算式表徵。

在此階段我選擇不趁機教乘法對加法分配律的原因，

是因為孩子們在整數乘法的單元中，已經要面對很多陌生的經驗了，

而乘法對加法分配律並無法僅靠這個布題就能解釋清楚，

因此還是留到高年級，他們思考更圓熟時再說吧!

討論至此，終於大功告成了，

下節課只要將今天所發展出的解題策略與直式表徵進行對應，

那麼孩子們就能理直氣壯地寫出一位數乘以二位數的直式表徵了! 

二位數乘以二位數孩子已經習得了一位數乘以二位數的乘法，

也在昨天藉由論證，

證明出「整十乘以整十倍，只要先將被乘數和乘數的兩個十位數字相乘，

再於答案末位補上2個0就會算出答案了。」的乘法規律。

而今天在第一次學習二位數乘以二位數時，

決定將數字縮小，讓所乘出來的數不要產生進位的狀況，

以減少計算上的干擾，讓孩子們可以更專注於解題想法上。

今日布題:

老闆舉辦抽獎活動，把每一個紅包都裝了23元，

共裝了12個紅包，請問老闆一共要準備多少元裝紅包?

以下是今日的解題策略類型:

從孩子們的紀錄表徵及口語說明中，

發現孩子們只要懂得回到題目去說明，

就可以輕易地合理解釋自己表徵中所呈現出的想法，

所以幾乎全班都能解題成功!

從他們的解題紀錄上可以發現

大部分的人都想要拆解乘數，

全班也只有一個孩子是選擇拆解被乘數，

可見這樣的拆解方式不是孩子們直覺上的第一選擇；

而且從這些解題紀錄中，

孩子們也會很快地發現，不管用哪一種方式來拆解乘數的倍數，

最有效的策略就是將乘數的倍數拆解成整十倍和個位的倍數，

也就是將乘數12拆成10倍和2倍，

因為乘以整十倍的乘法規律已被證明，

且非常好計算，

而個位的倍數又是乘以一位數的乘法，

當然也難不倒他們，

所以今天所得的結論就會成為明日生活情境布題 68×74 (二位數乘以二位數的進位問題)

以及直式表徵做了最好的概念墊步!

孩子們在三下時，就已可以理解三位數乘以一位數直式算則中所存在的位值概念。

但經過了一個暑假，究竟留存在腦海中的是機械化的直式計算的規則，

還是乘法直式中的位值概念呢?

因此，設計了以下的教學流程，來協助我檢視孩子們的起點能力。

一開始，題目很簡單，就請孩子們用直式算出1325×3= (     )，

很快的全班都算出了3975的答案!

接著，挑戰開始了!

我請孩子們將自己算出1325×3的計算過程，

用橫式記錄下來，(這樣才能檢視直式中的位值概念是否穩固)

最終必須讓我看到3975是如何算出來的。

班上寫對的和寫錯的各有一半，

我利用小組和全班討論去引導他們評析算式的合理性(位值概念)，

以及如何將有瑕疵的算式進行修正(算式的邏輯性)。

這樣的活動可以協助孩子們複習三年級學習乘法直式中的位值概念，

也可強迫他們脫離直式的機械化計算思維，

能知其然並知其所以然。

這不僅有利於接下來「多位數乘以二位數」的學習，

也會學習遷移到後面即將學習的除法直式算則中。

下面是孩子解題的相關紀錄。

在孩子們的舊經驗中，已習得多位數除以一位數的除法，

並理解除法直式表徵的意義。

布題1:

玩一次扭蛋要30元，

小玉有90元，

最多可以玩幾次?

題目才剛布完，立刻有人回答說:”3次!”

當然，知道答案並不是布這題的目的，

而是如何推算出答案才是重點!

S1: 我可以用 30 + 30 + 30 = 90 ,來算出答案!

S2: 也可以用 90-30-30-30=0 ,來算出答案!

S3: 我用算式填充題 30×(     ) = 90 ， (     )=3

S4: 我想用 90  ÷ 30 ，但我不會算!

接著孩子們就在老師的引導下，利用對除法直式中位值的舊經驗，

很快的就習得了90  ÷ 30 的直式表徵該如表示。

接下來沿用原題的題幹，僅改變數字

為了將問題能聚焦，

因此今天請孩子們依序號去檢視白板上和自己相同號碼的數學表徵，

然後在小組討論時，依序說出自己的意見，

再和其他成員討論，待達到共識後，就換下一個人發表。

至於第5題，就開放給所有成員一起討論。

T: 請問直式中的8是代表什麼意思?

S1: 是 20 × 4 = 80 的8

T: 那為什麼不寫80，只寫 8 可以嗎?

S2: 可以啊! 8 有對到被除數的十位，所以就是80的意思!

T: 真的嗎? 大家同意嗎?

(同意的人還是居多，但有一些不同意的聲音出現了。)

T: 我同意 8 有對到被除數的十位，但我認為那是8個十，而不是80個一。大家覺得呢?

請進行三分鐘快速的小組討論!

S3: 8個十就是80，所以意義一樣，86 -80 = 6

T: 我很好奇，你是如何用除數20乘商4得到 8 的耶? 各位有辦法得到嗎?

S4: 有困難!

T: 就算你算得出8個十，那8個十減掉8個十之後，算式表徵中的6個一有進行任何除的動作嗎?

S5: 有啊! 因為不能除就直接放下來啊!

T: 喔! 如果是這樣的話，依照我們對除法直式的共識，

那你的商應該補0來代表不能除，請問0在哪裡?

(全班無人能回答!)

T: 更重要的是 除數(20) 乘商(4) 只能得到 80 ，根本無法算出8這個數字，對吧!

T: 回到除法本身，我們一開始是要先分在十位的 8 對吧?

結果發現不能被除式(20 ) 分，所以就…….

S們: 將8個十看成80個一，然後加上6個一，成為86個一

T: 因此86個一要分成20份，所以商是4，分出了80個一，剩下了6個一，對吧!

T: 現在大家認為第5題的算式表徵對嗎? 應不應該寫成80，而不是8呢?

S們: 應該!

其實藉由這題抽絲剝繭的討論後，

正確的直式表徵不僅出爐了，而且孩子們也更了解了表徵中數字所代表的意義，

所以接下來要解決第1到4題，

當然就水到渠成，很快就達到共識了!

今天的討論沒有讓孩子們進行很多次的小組討論，

是基於兩個原因:

一是  一開始全班都對第5題無異議，所以要從迷思中將他們拉出來，

是需要更多技巧的。

必須利用和孩子們的Q&A過程，快速察覺到他們產生迷思的癥結在哪裡。

二是  這個討論歷程會是奠定之後除以多位數的重要基石，

因此為避免討論失焦或耗時過多，因此才以老師對全班進行Q&A的模式來進行，

畢竟我是唯一對這個算式表徵很有意見的人!  哈哈!

布題:

 果園裡有4758個梨子，每個盒子能裝8個，最多可以裝滿幾盒?

孩子的解題策略大致分為兩種:

這是班上上除法的第二節課，

除法的計算過程對孩子們而言已經不是一件難事，

倒是題目的語意，讓孩子有了不同的看法。

班上有2/3的孩子寫594盒，其餘1/3的孩子寫595盒。

經過小組討論之後，每一組選上來的解題紀錄答案全部都是594盒!

哇!小組討論的影響可真大啊!

你是不是也和我一樣很好奇，到底是什麼樣的論點影響了孩子們最後的決定呢?

以下是課堂討論的摘要:

T:為什麼題目要寫「最多」?  不寫「最多」可以嗎?

S1:不行，因為題目有寫「最多」，所以答案是594盒。

T:還有人要補充說明嗎?

S2:不行，因為「最多」表示就只能裝滿這麼多盒了! 不然也只能裝一盒啊?

T:「只裝一盒」? 老師不懂你的意思?

S2:我的意思是說:「每個盒子裝8個，可以裝滿幾盒?」這個意思也可以只裝滿一個盒子，其他都不要裝呀!

T:所以說…?

S2:題目的「最多」是不能少的!

(全班都點頭如搗蒜!)

此時，這個關鍵詞的討論又引發了另一個孩子的疑問

S3:那一定要寫「滿」這個字嗎?

T:大家認為呢? 現在小組討論一分鐘，大家來好好想一想!

(接下來既然是小組討論後的發表，那麼每個同學都要試著說清楚小組的共識，

所以老師就選擇抽籤點同學說囉!)

(S4被抽到了!^O^)

S4:如果不裝滿，那可以拿4758個盒子，每個盒子只裝一個梨子。

(哇!反證法又出現在本班的數學課了!)

接下來，數學課中的「問題」人物—小丸子又來囉!

PS:小丸子一直是老師我虛擬人物中的正義化身，

她總是能勇敢地分享自己寫錯的部分，樂於接受同學的協助與建議，

這次我們要藉由小丸子來解決的班上1/3同學一 開始寫錯的解題類型。

T:我看到了班上的小丸子同學多寫了「594+1=595，一共是595盒」。

你們可以根據小丸子的錯誤來幫助她知道自己「錯在哪裡」嗎?

(接下來又是一分鐘的小組討論，此時教室討論的氛圍已達到最高點，也是快接近下課的時間了!)

S5:我知道，因為小丸子多了一個盒子用來裝剩下的梨子，

但是那個盒子裝不滿，所以不符合題目的意思。

此時，同學們有默契地拍拍手(勝利的掌聲響起)，

鐘聲也響了(另一種歡樂的時光來臨)，

結束了這一堂有趣又充滿意義的數學課!

老師心中的OS不禁又響起:

哈哈!看來，「題意怎麼說清楚」這件事，已經深深植入孩子的心中了 呢!

故事結束了嗎?

當然，還沒!

為了檢驗孩子們是否真的嗅出對題意的敏感度，回家作業如下: 

計算式 4037÷5=807…2   請依據以下答案擬出合適的題目

(1)如果答案是   807…2

(2)如果答案是 807+1=808

以下分享孩子們的寫法，您是不是覺得孩子們各個也真是「命題高手」啊!

在角度這個單元可以發現不少孩子們在學習時的思考軌跡，

套句全國電子的廣告詞 “真是揪感心的!”  

感心時刻1:

上旋轉角概念前，

孩子們的舊經驗是知道1度角的由來

(以圓心為中心點將圓平分成360等分，每一等分所形成的角為1度角)，

也知道銳角、直角、鈍角、平角的差異，

因此在理解到旋轉角和圖形角的異同之後，

便問孩子們可以算出鐘面上指針從數字12走到數字1的旋轉角角度嗎?

有人立刻大聲說是30度，

老師再問大家有辦法用數學想法證明是30度嗎?

孩子們的答案不外乎是知道數字12走到數字3的旋轉角角度是直角，

因此90除以3得到30，

或知道平角為180度，所以是數字12走到數字6的旋轉角角度，

因此180除以6得到30，之類的合理推論……

但有趣的是，

有一個孩子舉手說:

“我是用30一數，數到12次剛好是360，

所以數字12走到數字1的旋轉角角度一定是30度。”

原來他是30、60、90…… 330、360，

有人立刻反駁說:”這樣算很麻煩，你會什麼不用360除以12呢?”

大家有沒有覺得這個問題問得很”一針見血”呢?

此時這個被問的孩子不急不緩地說:

“可是我們還沒有學過除以二位數的除法啊!所以我不會算360除以12。”

讚啦!    這個孩子展現的學習上的自主以及相信自己解決問題的能力，

真的是自己學習的主人囉!

感心時刻2:

旋轉角學習過後，角的合成與分解就上場了!

要理解這個概念對孩子們一點也不難，

問題在於數學表徵上，

班上的孩子們對於寫角度加法時，要不要加上單位而有了疑問，

有人認為一定要在算式表徵中加上單位，

有人則認為加或不加都是可以的，

在這個表徵問題上Q&A的過程，

有一些很有趣的部份想向大家分享一下，

至於到底是那一部份就由大家看過後自己來決定了囉!

以下為上課時的內容摘要:

S1:一定要寫，不然就不知單位是什麼?

S2:可是我覺得一樣的單位時就不用寫，在最後答的地方寫就可以了。

S3:平常我們算的時候，我們不是也都沒有在算式中寫單位嗎?

T:在我們並不知道是該標示或不需標示出單位之前，我們先來想想，以前我們不在算式標示單位的理由是什麼?這樣我們才有辦法去辨別今天角度的算式要不要加上單位喔!

S4:可寫可不寫，因為它們的單位都是度。我記得我們之前的共識是，單位看自己要不要寫。如果前面有寫在等號後也要寫，如果前面有寫，後面沒寫就算就算錯，也就是要寫就要全部寫，不寫就要全部不寫。

T:你回答的很好!這的確是我們的共識。但是你還是沒有回答，究竟是什麼數學理由支持我們可以省略單位不用寫?

S5:因為同單位就可以不用寫!

T:我問的是”究竟是什麼數學理由支持我們可以省略單位不用寫”，關鍵字是「數學概念」喔!

S4:因為加減法它的單位一定要一樣，不可能幾公分減幾公尺或是減幾顆，這些單位一定要一樣，不然無法做加減。

T:大家同不同意?

S們:同意!

T:很好!我們給他掌聲!

T:這就是數學理由。加減法之所以能加、能減，它們本就必須是相同的東西，不然你們把6顆蘋果加上3顆檸檬給老師看，會是9顆什麼呢?

S們:(開玩笑的說) 9顆水果!

T:這就是加法的意義。加法本身就必須是同單位才能加，不同單位相加是無意義的。懂了嗎?

S們:懂了!

T:那我們今天對角度加法的共識是什麼?誰能說得清楚?

S6:角度跟其他東西是一樣的，因為加法本就要同單位才能加起來，不同單位是不能加的。

T:那我們來看看今天的數學表徵，大家來說說看，可不可以接受?

接下來我想也不用再詳述，

大家也應該可以推想到孩子們對這些數學表徵的意見會是如何了! 

孩子們的先備知識是已學會用邊長來分類，理解可以分成等邊三角形、等腰三角形及三邊不等長的三角形。

在昨日的課堂中，我們已將學習單上的所有三角形用彩色筆將鈍角(藍色)、直角(紅色)和銳角(綠色)進行標示。

首先，讓孩子們自己想想看，從這個8個三角形的直角、鈍角和銳角的組合中，發現了那些數學性質上的規律。

然後，請他們依序在小組中分享自己的發現，看能不能說服同組的同學。

有趣的是第3個想法，全班孩子都認為「每個三角形中的底角一定是銳角」，

因此當然老師要出馬了，成為唯一力排眾議持反對意見者。

這也刺激了孩子們進入再度思辨的過程中，因此接著讓他們在進行一次快速的小組討論，來論證彼此的想法。

最後，在全班討論的過程中，

他們終於理解「底角」這個數學名詞是為了等腰三角形的特殊數學性質而命名的，

底角是指底邊和腰所夾的角，。並不是在三角形下方的角就是底角，因為三角形是可以旋轉的。

在孩子們暢所欲言說完所有的數學發現後，

就開始進行鈍角三角形、直角三角形，以及銳角三角形的命名。

經過前面的活動，孩子們十分能接受這樣的命名，且也能理解為什麼會這樣命名。

達到「知其然並知其所以然」的教學目標。

全等圖形的教學:

基本上，孩子們要理解全等圖形是沒有困難的。

課本上通常會準備相關數學附件，讓孩子們可以動手操作，覺察到圖形的疊合，

然後就直接定義「當兩個圖形能完全疊合時，它們的形狀和大小都相同，那這兩個圖形就是全等圖形。」

但在實際教學中，有幾點要提醒教學者:

1. 全等圖形是指2個以上的圖形之間的關係。

2. 判別全等圖形時，圖形的本體是可以移動、旋轉、翻轉來疊合的。

因此，為了讓孩子們有機會翻轉圖形來疊合，

建議教學者要適度的調整數學附件，而且將附件上的圖形進行編號後，會更容易和孩子們進行討論。

全等三角形的教學:

我的教學步驟分享如下:

step1: 操作附件找到全等三角形，確認全等三角形之間，邊長、角度、頂點有什麼關係。(疊合在一起的邊長等長、角度一樣、頂點重合)

step2: 發下學習單，挑戰孩子們如何在不剪下三角形的狀況下，判斷出哪些是全等三角形。

               (察覺出三邊長一樣的必為全等三角形、三角的角度一樣的不一定是全等三角形，除非三邊長也一樣。)

step3: 利用學習單上孩子們找到的全等三角形來介紹對應頂點、對應邊和對應角，以及數學符號。

step4: 布題如下，讓孩子們先判斷是不是全等三角形之後，然後找出應頂點、對應邊和對應角，並標示上合適的數學符號。

在這個學習階段能主要是要習得單位分數的概念，

然後學習應用在解決同分母加減及分數乘以整數倍的問題。

但這次我不是要分享如何進行數學教學，

而是要分享教學完成後的某個無心插柳卻因應用了「數學」而解決問題的班級事件，

事情是這樣子發生的......

2021.01.15

學校舉辦了一個環島路跑活動。

活動規則是，本校操場一圈為200公尺，全班在一個月內累計跑步的圈數，再將圈數換算成公里數，

最後根據全班的總公里數，來計算跑過台灣哪些縣市，

最多可以選擇三個縣市來兌換該縣市的伴手禮。

本班為了想吃高雄的麥芽糖，硬是卯足了勁，不畏天寒跑到足夠的公里數。

而昨天就是頒發各班伴手禮的大日子，

每班都高高興興的從司令台前捧回了各式各樣的伴手禮，

但當我看到那盒麥芽糖的外包裝圖案時，我真是開心不起來，

我究竟要如何將這細長且捲成蝸牛型的麥芽糖平分給25個孩子享用呢?

為了能在下課前想出解決的方法，

我們開始進行小組討論，

7個小組中，僅有1個小組產出一個他們不是很有把握共識，

他們說: 「我們全班有7組，因此就將14個1/2 平分給7組就行了! 。 」

此時，我才了解到他們為什麼覺得對這個方法不是很有把握，

因為7個小組中，有4組是4人，有3組是3人，

還好，孩子們都不太計較，覺得這樣已經是很公平了，

且平分成3份，雖容易誤差大，但是可以被接受的。

突然，有人發問

S6 : 「拿到2個1/2的小組，不太容易平分給3個人吧? 」

我說: 「 14個1/2就是7個1，我只要不分割7個太陽餅，1組給1個讓你們去分就好了。 」

所以，我們所得出的結論是，

班上有人會吃到1/2+1/4個，有人會吃到1/2+1/3個，

雖有些微差距，但大家都覺得這是最好的方案了，

當然我也老師魂上身預告了，下學期四下時，我們就會學到如何計算分母不同的分數加法了。

至此，我和孩子們終於殺出重圍，

他們笑顏逐開，開啟了饞鬼模式，等待老師分太陽餅了!

當然，最終我還是會幫他們將20個餅分出26個1/2 、9個1/3和16個1/4個餅，

雖然分得有些辛苦，但我的心情卻是極好的!