五年級上學期
請在下方目錄中，選取想要觀看的單元。
由於各出版商版本及新舊課綱之間的差異，因此同年段的教學單元會逐年異動，
因此請自行在網頁中各年級搜尋需要的教學資料，謝謝!
108課綱
因數與公因數
因數的概念不難，
但難在未來是否能分辨出，所遇到的應用問題究竟是因數還是倍數問題，
因此若是現在概念奠基穩固，未來就什麼都不怕了!
倍數與公倍數
我目前製作的影片分為兩大類，
分別是給教學者及給學習者觀看的。
今天上傳的這部影片就是給學習者觀看的。
其實，
我希望學生能發現數學很講道理，
完全沒有捉模不定的空間；
但也擔心孩子們會以結果論(求出答案)來學習數學，
而小看了數學推理過程中的重要內涵。
因此，希望這部短短約14分鐘的影片，
可以讓孩子們一窺看似簡單的倍數，
其實也很有值得深思的「內涵」呢!
2023.09.29 ~ 從倍數題型談數學素養
素養導向教學從108課綱施行到現在，一直是教育界討論的焦點。
到底怎樣的教學才是素養導向教學呢?🧐
我個人覺得還不如先弄清楚究竟數學素養是什麼? 還比較實在些。
PISA 2022 對數學素養的定義為「個體在各種真實世界的情境脈絡中，進行 數學推理，並透過形成、應用、詮釋數學以解決問題的能力，包含運用數學概念、 程序、事實與工具，來描述、解釋和預測現象。數學素養促進個體瞭解數學在世 界中所扮演的角色，並促使個體作出有根據的判斷與決策，此乃成為具建設性、 投入性與反思力的 21 世紀公民所需（OECD, 2018a）。」
這段文字雖然是字字珠璣，但也太難消化了。😂
對我而言，在小學階段的最基本的數學素養，
就是學習者在探索、學習數學知識時，
要能不滿足於「知其然」，還要能以「知其所以然」作為最終的追求。
也就是不只滿足於答案的正確，還要確認推理出答案的過程是否符合數學概念及邏輯。
在112學年度(108課綱施行到五年級的第一年)，我在康軒版的數學課本上看到這樣的題目
第一題倒是個標準的倍數題目，但第二題就很耐人尋味了!
這真的是個完全應用倍數概念來解題的題目嗎?
當孩子寫出99÷2=49...1時，
99這個數除以2，為什麼就知道在1~99之間，2的倍數共有49個呢?
那餘數為1，又代表什麼意思呢?
此外，寫出這樣算式的孩子，真的知道他所寫的算式所代表的意義嗎?😓
我真的不是在吹毛求疵，
數學算式本就是依據數學概念來敘述自己數學想法的工具，
算式的建構也就是數學推理的過程紀錄，不是嗎?
對於小學階段的孩子們來說，
最基本的數學素養，就是要能依據數學概念來說明自己的算式(解題方法)
若解題者不能解釋自己算式中的數字所代表的意義，
那只代表解題者只是習得了解題模式而已，
並未能從解題過程中涵養出「數學素養」。
因此，當我們和孩子們討論、推論數學算式其中的數學意義時，
其實我們就是在培養孩子「看」數學的眼光，
為更進階的數學素養來奠基。
我們再回到上面的問題，
99÷2=49...1，
在這算式中，至少我們應該思考一下，
除數2這個數字代表什麼吧?
我們來看一下下面的表格，
我們可以從1~20的數字中，看到每2個數字就會出出現一個2的倍數，
也因此1~99，一共有99個數字，
99÷2=99(個數字)÷2(個數字)=49....1(個數字)
因此此題的答案才會是49。
當我上課時和班上的孩子討論出這樣的結論時，
孩子們終於對他們所寫出的算式「放心」了!😀
而這樣的「放心」很重要，
孩子們理解了數學為什麼「很講道理」，
也發現了原來他們是可以用已習得的數學知識來理解「數學」的。
這樣，潛移默化，
孩子才有機會和數學做朋友，不過度懼怕它!
後記:
我認為這題並不是倍數問題，
雖然此題被放在倍數的單元中，
但它應該是數字規律的問題。
此題讓我有機會讓孩子重新思量自己算式的意義，
且能將倍數和四年級所學到的規律概念相結合，
我真覺得這題真是個好的數學題目，
但卻不是個完全應用倍數概念來解題的題目。
2023.10.01 ~ 倍數題目解題分析
這部影片是協助孩子們去理解，
倍數的文字情境題並非是在繞口令，
審題時不應該去背關鍵字，
而是該好好的去理解文字的意義。🙂
2023.11.04 ~ 3的倍數如何判別
將原本有關3的倍數給刪除了。
我猜想可能是在生活中，
3的倍數並不是常會使用到的。
不過，在找因數或倍數時，
3的倍數判別就會出現需求。
因此，
我還是錄了一段影片，
引導孩子去理解3的倍數究竟會出現什麼樣的數學規律，
而我們又是如何應用這個規律去進行判別的。
擴分、約分與通分
高年級的數學是 1~4年級數學概念的延伸及應用階段。
教學除了新概念的教授之外，與先備經驗的連結也非常重要，
教學者若能協助孩子們看到知識之間的連結，
那麼數學的「邏輯」概念才能在孩子的心中紮根，
而在這個學習單元主要連結的知識就是等值分數、公因數與公倍數。
2023.11.20 ~ 分數概念解析(上篇)
在這個影片中，
我將三上到五上的分數概念進行整理，
也希望能協助大家理解及複習，
孩子們的分數概念是如何建構出來的。
多邊形與扇形
2023.10.20 ~ 三角形的邊長關係 ( 數學臆測活動)
「數學證明」通常都被認為是國高中的學習內容。
但事實上，若能適度融入於國小的學習中，
就能讓孩子們的數學素養在證明方面有更長的成長期，
且能有餘裕去正確認識數學證明的重要性。
在這堂教學中，我融入了數學臆測活動，
並讓孩子們有了「數學證明」的初體驗，有興趣可以來看看呵!
2023.10.28 ~ 四邊形到多邊形的內角和
不管從97課綱到108課綱，
都不曾教到多邊形的內角和這件事，
只談到三角形和四邊形。
但我每回教到這個概念時，
都會延伸教到多邊形的內角和，
原因有二:
1. 若孩子能理解三角形內角和180度是推算四邊形內角和的基礎，
那麼延伸到多邊形也只是臨門一腳，不會造成學習上的負擔。
2. 察覺到多邊形內角和計算方法的過程，是可以提供孩子再次經驗「數學規律」的。
因此，我藉由這部引導孩子察覺多邊形內角和的影片，和大家分享我的教學方法。
整數的四則運算
五年級的四則運算增加了新的運算規律及多步驟併式解題的內容，
但所有的學習都是奠基在先備知識上，
所以強烈建議教學前，
要先幫孩子就四年級已學內容進行複習喔!
面積的計算(平行四邊形、三角形、梯形與複合圖形)
平行的概念是支撐在平行四邊形、三角形及梯形這些圖形中，
「高」是如何存在的重要概念，
因此本單元的教學就從「平行」開始建構新概念的學習。
高年級的教學重點之一，
就是要協助孩子們連結之前學過的數學知識，
展現這些數學知識是如何在高年級「大顯身手」。
這樣孩子們才有機會經驗到數學的「奧妙」，
願意與數學親近!
而此單元的面積計算會與
四年級的「平行與垂直」、「四邊形」學習進行緊密的結合，
教學時要抓住教學機會去連結先備知識，
這樣才能於愉快的「順流」而行。
柱體與錐體
理解柱體與錐體的數學構成要素不難，
但我們可以利用這個單元的學習，
讓孩子們去重新經驗數學「分類」，
且這樣的分類經驗可以支撐他們輕鬆認知到，
柱體與錐體的數學構成要素的關係與規律，
不用去死背公式。
97課綱
因數與倍數
2015.0924 ~ 倍數1
在昨日的教學中，
孩子們從察覺了2、3、5、10的倍數的數學特徵，
並理解這些數學特徵出現的理由，
例:
2的倍數: 個位為0、2、4、8
41= 40 + 1
= 10×4+1
= 2×5×4+1
5的倍數: 個位為0、5
77= 70 + 7
= 5×14+7
10的倍數: 個位為0
69= 60 + 9
= 10×6+9
3的倍數: 每一位數字相加，看總和是不是3的倍數。
這些判別方法對孩子們而言，就成了”知其然並知其所以然”的好用方法了!
而今天在教公倍數時，卻發生了一個有趣的插曲，
也印證了當孩子們習得的數學知識越多時，如不保持著謹慎的心態，
他們就很容易陷入「過度推論」的陷阱!
今日布題:
56是不是4和6的公倍數?
其中有一個孩子的解題紀錄是這樣寫的:
5+6=11
4×2=8 6×1=6
4×3=12 6×2=12
經他上台解釋是將數字中的兩個位數相加，
然後來檢查看看是不是4或6的倍數，結果都不是。
台下的同學立即就提問說:「這是在問3的倍數嗎?不然為什麼要用這個方法來檢查?」
解題的孩子頓時愣在那兒，似乎也察覺到自己的錯誤!
的確，4的倍數是不能用每一位數字相加看總和的方式來判斷，
但談到6的倍數時，就有些孩子產生遲疑了…….
我想數字3和數字6的”親密關係”似乎在孩子們的心中有些”份量”，
但他們又無法清楚解釋出其中的差異性,這時就到了”老師出手相救”的時間了!
T: 6的倍數都是3的倍數嗎?
S們: 是啊!
T: 那3的倍數都是6的倍數嗎?
S1: 耶! 9就不是!
(這時愰然大悟的氛圍開始在教室裡蔓延……)
T: 所以6的倍數都是3的倍數，但3的倍數卻不全都是6的倍數，
所以可以用檢測3的倍數方法來檢測6的倍數嗎?
至此，答案已不須言喻!
2015.09.30 ~ 倍數2
今天孩子們在求倍數的解題策略上，展現了多元的解題想法，
在此和大家分享!
布題:
參加校外教學的人數超過100人，
每12人分一組，剛好分完，請問參加的人數最少是多少人?
解題紀錄1: (刻苦耐勞型，採乘法的策略。)
解題紀錄2: (估算型，採乘法的策略。)
解題紀錄3:
(估算型，採乘法的策略，並用減法來求最靠近100的數。)
解題紀錄4: (以100為基準，利用倍數來解題。)
分數
2015.11.11 ~ 通分和分數比大小
在孩子們從四年級的等值分數學習，到五年級認識了擴分、約分及通分，
接下來的分數比大小，就是檢驗孩子們對分數概念的最佳時機了!
布題1:
4/5和4/6誰比較大?
解題紀錄1:
因為4/5和4/6已是最簡分數，所以採擴分的方式來通分比大小。
解題紀錄2:
因為1/5大於1/6，所以4/5一定大於4/6。
布題2:
4/5和8/9誰比較大?
解題紀錄1:
因為4/5和8/9已是最簡分數，所以採擴分的方式來通分比大小。
解題紀錄2:
因為4/5差1/5就等於1，8/9也是差1/9就等於1，
因為1/5大於1/9，所以4/5一定小於8/9。
布題3:
4/16和10/24誰比較大?
解題紀錄1:
採擴分的方式來通分比大小。
解題紀錄2:
因為孩子們發現要找16和24的公倍數有些麻煩，
所以採先約分將分數變成最簡分數，
然後以擴分的方式來通分比大小
解題紀錄3:
從布題1的經驗中得知，分子一樣時，分母越大，分數越小。
所以先利用擴分將分子變成一樣，然後比較分母就會得知答案了。
從布題1到布題3，
可清楚看到孩子們逐漸形塑出對分數數值的數感，
也藉由這數感的建立，
使得在解題時，是先觀察分數的數值，再決定解題策略，
而不是埋頭苦幹的猛擴分或約分來解題了!
2015.11.20 ~ 異分母加減解題(布題與線段圖)
在孩子們學會異分母加減，
且在學習的過程中，展現出他們對擴分、約分及通分計算技巧上的靈活運用後，
因此在課本的活動三”解題”單元中，
“理解題意”就變成是這個單元活動中的學習焦點了!
在五上(翰林)的課本上，活動三共有三個布題，
這些題目的共通性是都缺乏起始量，必須要比較量來解題。
但這也造成孩子們在理解題意時，遭遇莫大的困難，
而這對理解題的挫折感正是畫線段圖需求感的關鍵養分!
現在就簡要的聚焦分享在本班老師布題的內容及作法，
讓大家能一窺利用布題引出線段圖輔助理解題意的可能作法!
2015.11.18
布題如右
此題依照了課本布題，但未揭示原始布題中的”問題”，
而是問孩子們可以利用目前題目所給的情境，問什麼樣的問題呢?
想藉由這樣的擬問題的活動，
檢視孩子們是否能從文字中察覺出起始量的缺乏及擬題能力發展的狀態。
經小組討論後，孩子們提出了三種問題，
1. 妹妹吃掉幾公分的糖果棒?
2. 妹妹的原來的糖果棒有多長?
3. 妹妹原來的糖果棒長度和剩下的糖果棒長度相差多少公分?
孩子們初步的臆測認為問題1可以回答，而問題2不行。又因為問題2不行，
因此會導致問題3中，缺乏原來糖果棒的長度作答，所以問題3也不行。
結果主動想上台要更進一步說明想法的孩子，
一上台就直接開始在教室白板上畫起線段圖，可惜畫的不夠完整。
因此便和孩子們討論是否畫線段圖可以幫助理解題意，
在大家的認可下，便每一個孩子都開始試著畫線段圖，
然後在小組討論時，進行分享，再將小組共識貼至教室大白板上。
有趣的是，
在一一檢視各組的線段圖時，不僅確認了問題2是不能回答之外，
竟然在線段圖的輔助下，發現問題3是可以回答的，
因為”妹妹原來的糖果棒長度和剩下的糖果棒長度相差多少公分?”
這個問題，其實就跟問「妹妹吃掉幾公分的糖果棒?」是一樣的，
真是太棒了!
(接下的解題過程就省略不敘述了!)
2015.11.19 (布題如左)
今天的解題並不想讓孩子們練習擬題，而是想要檢視昨日線段題學習的扎根狀況。
結果，這群充滿自信的孩子，
有一部分的人在畫線段圖試著理解題意，
也有不少在解題的孩子，竟然就直接遷移昨天的學習經驗，
想都不想，就直接用加法來解題了。
這時老師不出手不行了，
因此就說:”我看到不少解題算式了，可是有一半人都是錯的!”
此話一出，果真起了煞車的作用，
孩子們開始把輕視題目的心態收起來，而開始好好思考題目。
當然還是會有人不想畫線段圖，但這會是個問題嗎?
其實不會，
線段圖的繪製目的，
一是在解題前輔助自己理解題意；
二是在解題完成後，為了向他人說明想法更為有效而繪製。
因此孩子們本就該依照需求來使用線段圖，因為線段圖是工具而不是算式的一部分。
在接下來的小組討論及全班討論中，
可以發現孩子們很自然的就會想用線段圖來表示或說明他們的想法，
這樣的體驗對於孩子們可是非常實用的。
2015.11.20 (布題如左)
孩子們已經很會畫不知起始量的線段圖了，
因此決定改了課本的布題，直接問「哪一條紙帶比較長?」，
並讓孩子們可以用算式、口語說明、畫圖等任何方式，
自行選擇組合來在小組討論中，
合理說明自己認為黃紙帶比較長的數學理由即可。
不管是畫線段圖來說明， 或是算式加口語說明，孩子們都順利解題了。
口語說明部分:
因為題目中綠紙帶和黃紙帶都比藍紙帶長，
因此只要比要綠紙帶和黃紙帶比藍紙帶長的長度，
就可以知道誰最長了。
算式說明
更有趣的是，
有一個孩子的白板上只寫著(如左)
因為在帶分數中，若所帶的整數不同，
直接比較整數即可，根本不用通分啊!
既然大家對解題上都沒什麼困難，
那麼接下來就是問「那以目前的題目情境，可以擬出什麼樣的問題來解題呢?」
並請孩子們各自擬題完成後，在題目下自行演算出答案。
在自行解題時間的行間巡視中，
發現孩子們都順利的擬出”綠紙帶比黃紙帶長多少公分?”的題目，
且算出正確的答案，因此接下來便是請孩子們進行小組討論，
說明自己的擬題內容及解題解果，然後如在小組中有不同的擬題及解題，
請將小白板貼在教室大白板上。
結果,有兩塊白板被貼出來，如下:
擬題及解題記錄1
擬題及解題記錄2
當問孩子們對於擬題1認同的請舉手，結果幾乎全班都舉手，
再問不認同的請舉手，共有4人舉手，其中1人是老師，
為什麼老師在此時要一起加入意見的表達呢?
因為，認同的人佔絕大多數，因此老師的舉手在暗示一件事，
「各位的判準是不是該再思考並確認一下呢?」
果真，這個「老師舉手」彈一發射，
孩子們很快就提出疑問，發現題目的語意不清，不知該拿哪兩條紙帶來做比較，因此是無法作答的。
而擬題2因為有之前討論時的線段圖輔助，因此很快地就獲得全班認可，
接下來當然是happy的下課時間到了啊!
在這三堂課中，雖然每次上課都只布了一個題目，
但上課的效度應該不是以解題的數目來計算，而是所思考到、討論到，最終學習到的內容來衡量吧!
平面圖形
2011.09.07 ~ 平面圖形
才剛開學，本以為重新分班的小朋友需要ㄧ些時間才能進入課室討論的情境，
沒想到他們的適應力驚人，在數學上的表現一點都不因分班而遜色呢!
上課前的先備經驗有:
1.已知三角形的內角和180度
2.已知任意四邊形的內角和360度
布題:
任意六邊形的內角和會是多少?
本年度五年級的解題策略如下:
解題策略一:
用量角器進行測量。
2011.12.13 ~ 三角形的面積
為了協助孩子們理解並推理出幾何圖形的面積公式，
老師們所採行的基本教學策略皆是提供圖形的教具，
並在不提供任何圖形邊長或高數據的情況下開放解題，
讓孩子們在踩在舊經驗上，藉由觀察及操作，推理出合理計算圖形面積的策略。
原課本上(五上康軒版)內容如下:
開放解題的過程中，
大部分的孩子們都很快的發現可以將兩個全等三角形拼湊成一個平行四邊形，
然後只要算出平行四邊形的面積再除以2就可以順利求出三角形的面積，
但也有孩子是這樣想的...
(1) 先將三角形放在方格板上，
(2) 然後從頂點畫出一條垂直線，並將原三角形分成兩個直角三角形。
(3) 接著就會發現可以先求出長方形的面積再除以2，
左右兩個被劃分出的三角形皆可如法炮製，
而這樣的策略對於導出三角形的面積公式也是完全沒問題的。
所以在數學課室討論的教學中，
我們常對於孩子們在開放思考中的神來一筆，感到驚艷不已，
也更促使我們這些老師們，要以更開放的態度來引導他們學習 !
2015.12.16 ~面積公式的應用 (開放式題目的應用)
在今天上課之前，
孩子們已經歷了平行四邊形和三角形面積計算建構的歷程，
並對平行四邊形和三角形的面積公式形成了共識。
在課本上有一題如下:
這題的圖形是一個邊長不平行的四邊形，
孩子要如何從四邊形中看到三角形，並利用計算三角形的面積來解題，
才會有機會產生深化學習的可能性。如果直接用課本的圖形來布題，
顯而易見，解題難度很低，無法製造學習上的需求感。
因此今日上課採開放式布題，也就是不提供足夠的解題資訊，
陪著孩子一步一腳印的進行學習活動。
在開放式解題的過程中，老師是無法預料到孩子會走怎樣的路徑解題，
因此，隨著孩子的想法，不著痕跡地去利用提問聚焦學習，
是老師的最大挑戰!
布題:
請問要如何計算出這個圖形的面積?
孩子們很快就察覺到這不是一個平行四邊形，因為沒有兩雙平行對邊；
也有孩子說是梯形，但也很快被推翻，因為沒有一雙平行對邊。
T: 所以，我們到底有沒有辦法應用我們學會的數學知識來算出這個四邊形的面積呢?
S1: 可以切成兩個三角形。
T: 那你們認為老師應該要提供那些數字，來協助你們計算面積呢?
S2:(上台操作，如左圖)
的確，這樣就算得出面積了!
不過，以S2的想法，老師得要提供4組數字才能計算，有沒有可能，少於四組數字呢?
(台下的孩子們立即大腦開機思考，口中此起彼落的冒出3組或2組的數字。從台下的聲音中，就可以察覺到孩子們的不確定性，因此……)
T: 現在請你們進行快速三分鐘的小組討論，在白板上畫出你的想法與組員討論，並將共識貼在教室的大白板上。)
當孩子們陸續將共識貼在白板上後，很明顯的看出共有三類，
本來想叫個孩子上台進行分類，後來轉個念頭，希望製造出更多的參與機會，
因此又給的一次小組討論的時間，讓孩子們將其他六組的白板與自己小組的白板進行比對，
試著發現其中的異同。
解題紀錄1:(七組中有三組這麼認為)
解題紀錄2:(七組中有一組這麼認為)
解題紀錄3:(七組中有三組這麼認為)
經歷過小組討論之後，孩子們已經對於七組的想法都更熟悉了，
因此很快地就分為三類，然後…….
T: 請大家看看這一類解題想法，請問在圖形中的兩條虛線是這個四邊形的什麼呢?
S們: 是對角線!
T: 如果我們想用對角線來求三角形面積，可以嗎?
S4: 可以，只要彼此垂直。
T: 那任一四邊形的對角線一定會垂直嗎?
S5: 有的會，有的不會。
T: 我們來用三角板檢查一下白板上的圖形吧!
T: 沒有直角，對吧?所以這個想法要可行，一定得要兩對角線互相垂直才行。同樣的，我們看看另一類的想法
大家同意也不可行嗎?
S們: 同意!
T: 接下來我們看最後一類的想法。
(孩子們都同意以這個圖形來說，至少要三組數字才能解題。)
接下來就順水推舟，在白板上做出正確的圖形，
並以代數標示出數字，完成面積的計算!
後記:
在此不放入整數數字進行計算，
而以代數abc來表示，
一來是因為這個乘除計算很簡單，
二來是在訓練孩子們習慣看代數算式，
為未來的代數計算鋪路!
立體
2011.12.19 ~ 正方體和長方體
今天是上立體概念的第一節課，
一般傳統式教學大都是直接定義長方體和正方體，然後要學生找出符合定義的立體。
但我們認為學生學習數學的最佳途徑是從「經驗」中「察覺」，然後「理解」。
因此我們對於這類的「幾何」學習常採開放式解題，
也就是讓學生先依據課本附件所做出的形體來進行分類，而不先教任何數學定義。
以今天的立體教學為例，孩子們要在老師所指定的多個立體中，
將它們分成兩類，並寫出符合數學想法的分類標準，也就是要用數學語言來說明你的分類依據。
我們發現孩子們很快的就完成了心目中認定的分類方法，
不過因為還未教這些立體的正式名稱，
因此老師也可觀察到孩子們是如何踩在自己的數學舊經驗上，選擇合宜的數學語言來說明自己想法的歷程喔!
8小組共出現下列5種分類方法。
解題紀錄1:
以有無"平行邊"為分類依據。
解題紀錄2:
以立體中全部的面皆為"四邊形"為分類依據。
解題紀錄3:
以組成立體的各面"面積"相同與否作為分類依據。
解題紀錄4:
以"邊的個數"作為分類依據。
解題紀錄5:
以"面的個數"作為分類依據。
解題紀錄6:
以"角的個數"作為分類依據。
不過"角"要以平面來定義，
因此並非是4個角，而是4個頂點，
可藉由這張解題紀錄來引導孩子們發現立體的"頂點"。
經由全班討論後，
雖然在下課時孩子們依然還是不知這些立體的數學名稱，
但在立體中的組成要素，如邊、面、頂點、組成立體各面的形狀及面積等，
孩子們皆已在這堂課中有了親身的初體驗，
那麼下節課在正方體和長方體的教學中就會更容易聚焦，
且孩子們也會用正確的數學名詞來歸納整理，
最後正方體和長方體的數學性質就是由學生來說明而非老師了!