2.2: Limites e continuidade

O limite de uma função num ponto é definido segundo Heine (a partir de sucessões convergentes para esse ponto), e são estudadas as principais propriedades dos limites, particularmente as propriedades operatórias. Em certos casos a aplicação das regras operatórias conduz a indeterminações, em cujo levantamento se recorre a diversas técnicas que serão estudadas.

A partir do conceito de limite define-se a continuidade de uma função -- uma propriedade que é partilhada pela grande maioria das funções mais usadas. O Teorema de Bolzano-Cauchy, válido para funções contínuas, é aplicado na resolução de diversos problemas práticos.

O estudo dos limites de funções -- em particular a determinação das assímptotas -- é também utilizado para descrever funções e esboçar o respectivo gráfico.

Em http://mathinkers.no.sapo.pt/HotPot/MA12/08K25/LimSinZerInf.htm encontra um exercício de preenchimento de lacunas relativo às operações com limites: "somar dois infinitos" (ou seja: calcular o limite da soma de dois infinitamente grandes), "multiplicar dois infinitos", somar um número real com infinito, dividir por zero, elevar a infinito, etc..

No contexto do cálculo de limites, estas "operações" têm significado se considerarmos que representam o limite de uma sucessão ou função obtida a partir de outras sucessões ou funções cujos limites são conhecidos. Por exemplo: 3/(+∞) representa o limite de uma nova sucessão que resulta da divisão de uma sucessão convergente para 3 por um infinitamente grande; a sucessão que assim se obtém converge para zero por valores positivos, por isso escrevemos que 3/(+∞) = 0⁺.

Em alguns casos, a informação sobre os limites das funções ou sucessões com as quais estamos a operar não é suficiente para que possamos indicar o limite da sucessão que resulta dessa operação. É o que acontece, por exemplo, quando subtraímos dois infinitamente grandes: o resultado pode ser um infinitamente grande, uma sucessão convergente, ou uma sucessão oscilante (sem limite). É por essa razão que afirmamos que (+∞) − (+∞) é uma indeterminação. Neste exercício também encontrará algumas indeterminações, que deverá identificar correctamente.

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