8. Espaço. Outra visão

Quantos pés precisa de ter uma mesa para ficar estável? Quantos pontos de apoio são necessários para que uma espingarda se mantenha fixa? Qual o número mínimo de ângulos que é necessário medir para assegurar que o mastro de uma bandeira está perpendicular ao chão? Como verificar se duas paredes adjacentes são perpendiculares? Estas são algumas das questões às quais será dada resposta neste último tema.

Se o primeiro tema de Geometria do 9º ano de escolaridade se concentra no estudo da circunferência e dos ângulos no plano, este segundo tema de Geometria incide sobre pontos, rectas e planos no espaço. Conceitos como colinearidade (de pontos), paralelismo e perpendicularidade (entre rectas, entre planos, ou entre uma recta e um plano) são aqui várias vezes retomados.

"Ponto", "recta" e "plano" são alguns dos termos primitivos sobre os quais assenta a geometria. Outros conceitos, como o de "rectas paralelas", são definidos a partir destes. O objectivo da Matemática é descobrir as propriedades destes conceitos, as quais são enunciadas em teoremas.

Um teorema é uma afirmação mais ou menos complexa constituída por uma hipótese (uma ou mais condições exigidas para se poder aplicar o teorema) e por uma tese (a conclusão: uma nova propriedade que é deduzida a partir da hipótese). Para que um teorema seja aceite é necessário proceder à sua demonstração, ou seja, é necessário provar que a tese é verdadeira sempre que a hipótese o for.

Para demonstrar um teorema, é necessário recorrer a outras propriedades já conhecidas. Podemos pensar nessas propriedades conhecidas como se fossem os "pais" do teorema, que é seu "filho". Assim, é possível "perguntar" a cada teorema quais são os seus "pais", ou seja, é possível identificar as propriedades que foram utilizadas para o demonstrar; se repetirmos o processo, construiremos a "árvore genealógica" do teorema, com todos os seus "antepassados".

É evidente que esta busca dos antepassados de um teorema tem que ter um fim: algures na "árvore genealógica" de um teorema, teremos que encontrar propriedades que não têm "pais", isto é, propriedades que não foram demonstradas. A estas propriedades que foram aceites sem demonstração, por serem consideradas evidentes, damos o nome de axiomas.

Qualquer ramo da Matemática assenta em axiomas, mas estes não são escolhidos de forma arbitrária: procura-se sempre usar o menor número possível de axiomas, os quais devem ser evidentes e consensuais e também independentes entre si (ou seja: os axiomas não devem entrar em contradição, mas também não deve ser possível demonstrar uns a partir de outros, pois se assim fosse alguns dos axiomas seriam desnecessários).

No tema "Espaço - outra visão" aprendes um pouco mais sobre os axiomas em que se baseia a Geometria (ou uma geometria: a Geometria Euclidiana) e descobres como a partir deles podem ser demonstrados alguns teoremas.

Neste tema são também revisitados os sólidos geométricos. Recordamos do 7.º ano o cálculo do volume e da área de prismas, pirâmides, cilindros e cones, e aprendemos a calcular o volume e a área da esfera.

A documentação disponível (textos de apoio, exercícios, etc.) pode ser encontrada na sub-página "Recursos".