Probabilidade condicionada: um exercício de cálculo

Enunciado:

Resolução:

.1)

P(V/C₁) = P("sair bola vermelha, sabendo que foi seleccionada a caixa C₁") = CF/CP = 3/5.

Para calcular uma probabilidade condicionada pela definição (em vez de recorrer à fórmula), considera-se que já ocorreu o acontecimento que condiciona a probabilidade (neste caso "ser seleccionada a caixa C₁"), e procede-se à contagem dos casos favoráveis e dos casos possíveis tendo em conta essa restrição.

No presente caso, a restrição é ter sido seleccionada a caixa C₁, e essa caixa tem apenas 5 bolas, das quais 3 são vermelhas -- portanto há 3 casos favoráveis (CF) e 5 casos possíveis (CP).

.2)

P(V/C₂) = 1/3

.3)

Apenas conseguimos aplicar a Lei de Laplace a cada uma das caixas separadamente, e o que assim obtemos são as probabilidades condicionadas. Teremos que usar essas probabilidades condicionadas, de alguma forma. Como?

Comecemos por demonstrar duas propriedades intuitivas mas importantes:

Propriedades:

Dados dois acontecimentos A,B⊂S, com P(A)≠0, tem-se

$P\left(B\right) = P\left(B\cap A\right) + P\left(B\cap \overline{A}\right)$

b) P(A∩B) = P(A)×P(B|A)

Demonstração:

a) Os acontecimentos

$B\cap \overline{A}$

$B\cap A$

e são incompatíveis:

$\left(B\cap A\right)\cap\left(B\cap\overline{A}\right)=$

$=\left(B\cap B\right)\cap\left(A\cap\overline{A}\right)=$

$=B\cap\varnothing=\varnothing$

Consequentemente, a soma das suas probabilidades é igual à probabilidade da sua reunião:

$P\left(B\cap A\right) + P\left(B\cap \overline{A}\right) =$

$= P\Big(\left(B\cap A\right) \cup \left(B\cap \overline{A}\right)\Big) =$

$= P\Big(B\cap \left(A \cup \overline{A}\right)\Big) =$

$= P\left(B\cap S\right) = P\left(B\right)$

b) A probabilidade condicionada P(B|A) é dada pela fórmula conhecida,

$P\left(B|A\right) = \displaystyle{\frac{P\left(B\cap A\right)}{P(A)}}$

A igualdade que acabámos de escrever pode ser encarada como uma equação. Resolvendo a equação em ordem a P(B∩A), obtém-se o resultado pretendido.

Aplicando estes resultados, conseguiremos calcular P(V):

P(V) = P(V∩C₁) + P(V∩C₂) =

= P(C₁)×P(V|C₁) + P(C₂)×P(V|C₂) =

$=\displaystyle{\frac{1}{2}\times\frac{3}{5}\ +\ \frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}=$

$=\displaystyle{\frac{3}{10}+\frac{1}{6}}\ \ =\ \ \displaystyle{\frac{9}{30}+\frac{5}{30}}=$

$=\displaystyle{\frac{14}{30}}\ \ =\ \ \displaystyle{\frac{7}{15}}$

Nestes cálculos fez-se uso dos resultados das alíneas 1 e 2. Além disso, teve-se em conta que P(C₁) = P(C₂) = 1/2, pois a qualquer um deles corresponde um caso favorável (uma face da moeda) em dois casos possíveis.

.4)

$P\left(C_1|V\right)\ \ =\ \ \displaystyle{\frac{P\left(C_1\cap V\right)}{P\left(V\right)}}=$

$=\displaystyle{\frac{P(C_1)\times P(V|C_1)}{P\left(V\right)}}=$

$=\displaystyle{\cfrac{\ \cfrac{3}{10}\ }{\ \cfrac{7}{15}\ }}\ \ =\ \ \displaystyle{\frac{3}{10}\times\frac{15}{7}}=$

$=\displaystyle{\frac{45}{70}}\ \ =\ \ \displaystyle{\frac{9}{14}}$

.5)

$P\left(C_2|B\right)\ \ =\ \ \displaystyle{\frac{P\left(C_2\cap B\right)}{P\left(B\right)}}=$

$=\displaystyle{\frac{P(C_2)\times P(B|C_2)}{P(C_1\cap B)+P(C_2\cap B)}}\ \ =\ \ \displaystyle{\frac{P(C_2)\times P(B|C_2)}{P(C_1)\times P(B|C_1)+P(C_2)\times P(B|C_2)}}=$

$=\displaystyle{\cfrac{\ \cfrac{1}{2}\times\cfrac{2}{3}\ }{\ \cfrac{1}{2}\times\cfrac{2}{5}+\cfrac{1}{2}\times\cfrac{2}{3}\ }}\ \ =\ \ \displaystyle{\cfrac{\ \cfrac{1}{3}\ }{\ \cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{3}\ }}=$

$=\displaystyle{\cfrac{\ \cfrac{1}{3}\ }{\ \cfrac{3}{15}+\cfrac{5}{15}\ }}\ \ =\ \ \displaystyle{\cfrac{\ \cfrac{1}{3}\ }{\ \cfrac{8}{15}\ }}=$

$=\displaystyle{\frac{1}{3}\times\frac{15}{8}}\ \ =\ \ \displaystyle{\frac{5}{8}}$

.6)

$P\left(C_1|B\right)\ \ =\ \ P\left(\overline{C_2}|B\right)=$

$1-P\left(C_2|B\right)\ \ =\ \ 1-\displaystyle{\frac{5}{8}}=$

$\displaystyle{\frac{3}{8}}$

Na primeira passagem usou-se o facto de C₁ e C₂ serem contrários. Na segunda passagem usou-se o conhecimento de que "a probabilidade condicionada satisfaz os axiomas das probabilidades", portanto todos os teoremas demonstráveis para as probabilidades também serão válidos para as probabilidades condicionadas. Em particular,

$P(\overline{A}|B)=1-P(A|B)$

De qualquer modo, podemos calcular a probabilidade como na alínea anterior, para confirmar que se obtém 3/8:

$P\left(C_1|B\right)\ \ =\ \ \displaystyle{\frac{P\left(C_1\cap B\right)}{P\left(B\right)}}=$

$=\displaystyle{\frac{P(C_1)\times P(B|C_1)}{P(C_1\cap B)+P(C_2\cap B)}}\ \ =\ \ \displaystyle{\frac{P(C_1)\times P(B|C_1)}{P(C_1)\times P(B|C_1)+P(C_2)\times P(B|C_2)}}=$

$=\displaystyle{\cfrac{\ \cfrac{1}{2}\times\cfrac{2}{5}\ }{\ \cfrac{1}{2}\times\cfrac{2}{5}+\cfrac{1}{2}\times\cfrac{2}{3}\ }}\ \ =\ \ \displaystyle{\cfrac{\ \cfrac{1}{5}\ }{\ \cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{3}\ }}=$

$=\displaystyle{\cfrac{\ \cfrac{1}{5}\ }{\ \cfrac{3}{15}+\cfrac{5}{15}\ }}\ \ =\ \ \displaystyle{\cfrac{\ \cfrac{1}{5}\ }{\ \cfrac{8}{15}\ }}=$

$=\displaystyle{\frac{1}{5}\times\frac{15}{8}}\ \ =\ \ \displaystyle{\frac{3}{8}}$

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