7. Trigonometria

Todos os polígonos podem ser decompostos em triângulos, e qualquer triângulo pode ser decomposto em dois triângulos rectângulos (basta traçar a altura relativa ao ângulo de maior amplitude). Este facto e o Teorema de Pitágoras conferem uma importância especial aos triângulos rectângulos.

Considera dois triângulos rectângulos em que um dos ângulos agudos tem a mesma amplitude:

Estes dois triângulos têm dois ângulos com a mesma amplitude, logo são semelhantes (critéro AA). Consequentemente,

Mas estas igualdades podem ser reescritas, passando para um dos membros os comprimentos dos lados do triângulo [ABC] e para o outro membro os comprimentos dos lados do triângulo [DEF]:

Na equação (1), temos em cada um dos membros a razão entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo assinalado e o comprimento da hipotenusa. Na equação (2) surge a razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento da hipotenusa. Na equação (3) encontramos a razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento do cateto adjacente.

Concluímos que estas três razões não dependem do tamanho do triângulo rectângulo, visto que são iguais em triângulos semelhantes. No entanto, elas dependem da forma do triângulo, a qual é determinada pela amplitude do ângulo assinalado na figura. Por esse motivo, diz-se que

, e

são razões trigonométricas do ângulo CÂB.

À razão entre o comprimento do cateto adjacente a um ângulo e o comprimento da hipótenusa, dá-se o nome de co-seno do ângulo. O seno é a razão entre [o comprimeto d]o cateto oposto e [o comprimento d]a hipotenusa. Finalmente, dá-se o nome e tangente do ângulo à razão entre os comprimentos do cateto oposto e do cateto adjacente.

A grande vantagem da utilização das razões trigonométricas reside no facto de o seu valor apenas depender da amplitude do ângulo e não das dimensões do triângulo. Consequentemente, é possível calcular e registar em tabelas os valores das razões trigonométricas de vários ângulos, e utilizá-las depois no estudo de qualquer triângulo.

Uma vez que as razões trigonométricas relacionam os lados de um triângulo rectângulo com as amplitudes dos seus ângulos, podem ser usadas para obter os valores de uns a partir de outros. Chama-se a isso resolver o triângulo. Neste tema aprende-se a resolver triângulos em diversas situações e a aplicar essa técnica na resolução de problemas geométricos.

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