Um exercício de demonstração sobre probabilidades

Enunciado:

Seja S o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória e A, B e C acontecimentos de S.

Mostra que

$P\left(A\cap B\right)+P\left(\ \overline{A}\ \right)=1-P\left(A\cap\overline{B}\right)$

Resolução:

$P\left (A\cap B\right )+P\left (\ \overline{A}\ \right )=1-P\left (A\cap\overline{B}\right ) \Leftrightarrow$

$1-P\left (A\cap\overline{B}\right )$

Podemos olhar para e reconhecer aí a probabilidade do contrário de um acontecimento, ou podemos mudar de membro os termos negativos, para que passemos a ter apenas somas, as quais, eventualmente, poderão ser relacionadas com a probabilidade da reunião de acontecimentos incompatíveis.

Vamos adoptar a segunda estratégia.

$\Leftrightarrow P\left (A\cap B\right )+P\left (\ \overline{A}\ \right )+P\left (A\cap\overline{B}\right )=1 \Leftrightarrow$

$\overline A$

No membro da esquerda, é fácil ver que o acontecimento do meio () é incompatível com qualquer um dos outros dois, portanto podemos substituir uma das somas de probabilidades pela probabilidade da reunião.

$A\cap\overline{B}$

$\overline A$

$A\cap\overline{B}$

Como no último acontecimento () também intervêm um contrário, vamos relacionar com .

É evidente que são incompatíveis (todos os elementos do primeiro estão fora de A e todos os elementos do segundo fazem parte de A, por se tratar de A intersectado com outro acontecimento); porém, para maior rigor, confirmemos:

$\overline A \cap \left ( A\cap\overline{B} \right ) =$

$=\left ( \overline A \cap A \right ) \cap\overline{B} =$

$=\varnothing \cap\overline{B} =$

$=\varnothing$

$\Leftrightarrow P\left(A\cap B\right)+P\big(\ \overline{A}\cup \left(A\cap\overline{B}\right)\big)=1 \Leftrightarrow$

Na primeira passagem usámos a propriedade associativa da intersecção; na segunda passagem usámos a definição de acontecimento contrário.

Agora interessa-nos simplificar a reunião que acabámos de escrever:

$\overline{A}\cup \left(A\cap\overline{B}\right)$

$\overline{A}$

Vemos que surge um e um A. Se conseguíssemos relacioná-los, seria óptimo. Mas para isso precisamos de retirar os parênteses. Como? Usando a propriedade distributiva da reunião em relação à intersecção:

$\overline{A}\cup \left(A\cap\overline{B}\right)=$

$=\left(\overline{A}\cup A\right) \cap \left(\overline{A}\cup\overline{B}\right)=$

$=S \cap \left(\overline{A}\cup\overline{B}\right)=$

$=\overline{A}\cup\overline{B}$

$\overline{A}\cup \left(A\cap\overline{B}\right)$

$\Leftrightarrow P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline{A}\cup\overline{B}\right)=1 \Leftrightarrow$

Agora substituímos pela expressão que acabámos de obter.

E agora? Dava-nos jeito ter a soma da probabilidade de um acontecimento com a probabilidade do seu contrário, pois sabemos que essa soma é 1. Mas... qual seria o acontecimento em questão? Seria obviamente

$\overline{A\cap B}$

$A\cap B$

. Era necessário que o segundo termo fosse .

Como é que vamos escrever o segundo termo nesta forma? Aplicando uma das leis de De Morgan! É directo:

$\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A \cap B}$

$\Leftrightarrow P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline{A \cap B}\right)=1$

Esta igualdade é verdadeira porque "a soma da probabilidade de um acontecimento com a probabilidade do seu contrário é 1" (teorema). Como esta igualdade é verdadeira e é equivalente à primeira, fica provado que a igualdade de que partimos também é verdadeira.