Demonstrações com probabilidades: como fazer, que regras usar

Nas demonstrações de igualdades com probabilidades, recomendo a aplicação repetida dos seguintes procedimentos, geralmente pela ordem em que estão indicados:

• • 0) Substituir o acontecimento diferença pela interseção do primeiro acontecimento com o contrário do segundo:

• • (X-Y e X\Y, são simplesmente duas notações diferentes para representar o acontecimento diferença.)

  • 1) Aplicar a fórmula da probabilidade condicionada:

• • 2) Aplicar as regras geralmente usadas na resolução de equações:

    • 2.a) Reduzir todos os termos ao mesmo denominador.

    • 2.b) Cancelar o denominador comum (o que corresponde a multiplicar ambos os membros da igualdade pela expressão que surge em denominador, cujo valor assumimos ser diferente de zero).

    • 2.c) Cancelar parcelas (termos) com sinais opostos no mesmo membro.

    • 2.d) Cancelar parcelas com o mesmo sinal em membros opostos (o que corresponde a subtrair essa quantidade a ambos os membros).

    • 2.e) Mudar um termo negativo para o outro membro, passando a positivo (o que corresponde a somar a ambos os membros da igualdade a quantidade que surgia a subtrair).

    • (Este procedimento é usado geralmente em articulação com o procedimento 5: procurar somas de probabilidades de acontecimentos incompatíveis.)

    • 2.f) Aplicar outras regras de cálculo (simplificação de expressões com parênteses recorrendo à propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, lei do corte para simplificar produtos de frações, etc.).

  • 3) Aplicar o teorema da probabilidade do acontecimento contrário:

    • 3.a) Aplicação direta do teorema:

• • • 3.b) Conjugar este teorema com uma das leis de De Morgan para simplificar a probabilidade de uma reunião de contrários:

• • • 3.c) Conjugar este teorema com uma das leis de De Morgan para simplificar a probabilidade de uma interseção de contrários:

• • • e também serão, logo .

    • 5.c) Caso particular do anterior:

• • • e são incompatíveis, por isso e serão sempre incompatíveis (sejam quais forem os acontecimentos T e V), logo

• • 6) Em cada acontecimento cuja probabilidade está a ser calculada, aplicar as propriedades das operações com conjuntos, nomeadamente as seguintes:

    • 6.a) Propriedades que resultam da definição de acontecimento contrário:

• • • 6.d) Propriedades do acontecimento certo:

• • • 6.e) Propriedades do acontecimento impossível:

• • • 6.f) Propriedades associativas:

• • • 6.g) Propriedades comutativas:

• • • 6.h) Idempotência:

• • • 6.i) Simplificação de reuniões e interseções quando um dos acontecimentos está contido no outro:

• • • 7.a) A probabilidade do acontecimento certo é 1:

• • • então .

Note-se que, nas fórmulas apresentadas acima, cada letra maiúscula pode representar qualquer acontecimento... possivelmente construído a partir de outros usando as operações com conjuntos. Por exemplo: fazendo

e na equação 1 (fórmula da probabilidade condicionada), obtemos

(Curiosidade/ sugestão de trabalho: supondo que e usando a igualdade anterior, prove que o valor de não depende de A e de B.)

A demonstração pode ser estruturada de um dos seguintes três modos:

• • A) Tratar a igualdade como uma equação.

  • Aplicando as regras listadas acima, escrevemos igualdades equivalentes até obtermos uma igualdade que seja inequivocamente verdadeira (levando a simplificação até ao fim acabaremos sempre por obter a igualdade 0=0, mas não precisamos de ir tão longe: a igualdade

• • , por exemplo, já é suficientemente óbvia). Como todas as igualdades que escrevemos são equivalentes (admitindo que aplicámos corretamente as regras acima referidas), se a última igualdade obtida é verdadeira então a primeira também tem de ser verdadeira.

  • Com este método, a estrutura da demonstração é:

• • B) Simplificar um dos membros, escrevendo sucessivas expressões iguais à expressão de que partimos, até se obter a expressão que surgia no outro membro.

  • Com este método, a estrutura da demonstração é:

• • C) Simplificar ambos os membros até se obter o mesmo resultado em ambos os casos.

  • Com este método, a estrutura da demonstração é:

O método A pode sempre ser usado mas obriga-nos a escrever muito, pois em cada passagem tudo o que aparece em algum dos membros da igualdade tem de ser copiado ou simplificado; quando há poucas ou nenhumas simplificações a efetuar num dos membros, estaremos a copiá-lo desnecessariamente.

O método B é bastante eficiente quando um dos membros da igualdade é "complicado" e o outro é "simples", mas não permite por exemplo cancelar denominadores ou trocar o sinal dos termos negativos mudando-os para o outro membro; além disso, mesmo quando um dos membros da igualdade é simples, podemos ter dificuldade em "reconhecê-lo" na fórmula que se obteve ao simplificar o outro membro.

O método C pode ser bastante eficiente mesmo quando ambos os membros têm de ser simplificados, mas também não permite cancelar denominadores ou trocar o sinal dos termos negativos mudando-os para o outro membro; além disso, as fórmulas obtidas ao simplificar ambos os membros podem ter aspetos diferentes e a sua igualdade não ser óbvia.