dérivées

Les dérivées

La dérivée  est aussi une droite qui ressemble fort à une droite oblique dans les limites.

Une dérivée est une limite particulière, c'est une tangente à une courbe de fonction f(x). 

On dit d'une courbe qu'elle est croissante, c'est que sa tangente monte.

On dit d'une courbe qu'elle est décroissante, c'est que sa tangente est descendante.

On dit qu'aux minima et aux maxima d'une courbe que sa tangente est horizontale.

Une fonction f(x) qui possède un domaine de définition Df aura aussi un graphe (une courbe), en tout point continu de ce graphe, il y aura une tangente que l'on appellera la dérivée en ce point continu.

Nous avons vu que dans les limites, on s'occupe beaucoup du voisinage à gauche ou à droite de la limite recherchée dans les dérivées, on va utiliser à 100% cette notion de voisinage, un voisinage le plus petit que possible (infinitésimal) 

Ces notions apparaissent aux alentours de 1740.

Polygone à 6 côtés égaux.

Calcul de l'aire de ce polygone.

C'est 6 fois l'aire du triangle formé par l'un de ses côtés au centre de ce polygone.

La base du triangle est l'un de ses 6 côtés et la hauteur est désignée en rose. 

Aire = 6*base*H /2. 

On va faire tendre le nombre de côtés du polygone vers l'infini.

La base devient infiniment très petite et la hauteur devient égale au Rayon d'un cercle.

Notre polygone devient un cercle, la circonférence du cercle vaut  2*Pi*R.

Aire du cercle = 2*Pi*R*R /2 = Pi R². 

Juste pour vous donner une idée.

Voici, une fonction qui a x associe 2x²+3x-8, partout définis.

À  la variable x, on va lui donner un très petit accroissement h et cet accroissement, on va le faire tendre vers 0. 

Limite quand h -> 0 de (f(x+h)-f(x)) /h 

Limite quand h -> 0 de {2(x+h)²+3(x+h)-8 -{2x²+3x-8}} / h

2(x+h)(x+h)+3(x+h)-8 -2x²-3x+8

2x²+4hx+2h²+3x+3h-8-2x²-3x+8

(4hx+2h²+3h)/h -> 4x+2h+3 -> comme h-> 0 -> 4x+3.

Limite quand h -> 0 de {2(x+h)²+3(x+h)-8 -{2x²+3x-8}} / h = 4x+3.

Donc y' = 4x+3 est la dérivée de cette fonction y = 2x²+3x-8.

On utilise cette méthode des limites de cette façon pour toutes les fonctions dérivables.

Les dérivées deviennent très utiles et très intéressantes.

Et si f(x)=4x+3 sa dérivée devient 

Limite quand h -> 0 de (f(x+h)-f(x)) /h 

(4(x+h)+3 - (4x+3)

(4x+4h+3-4x-3) /h -> 4h /h = 4

Limite quand h -> 0 de (f(x+h)-f(x)) /h = 4.

Et y''= 4 de de cette fonction y = 2x²+3x-8.

Si vous comprenez cela, vous aurez une puissance de calcul inégalable.

Si l'on travaille dans l'autre sens, on dira que l'on recherche la primitive de 4 et c'est f(x)=4x+3.

Le problème est que la constante qui est 3, ici on la connaît, puisque cela vient de l'exercice précédent, (sur les dérivées).

La primitive de f(x)=4x+3 et c'est y = 2x²+3x-8.

Le problème est que la constante qui est -8, ici on la connaît, puisque cela vient de l'exercice précédent, (sur les dérivées).

Quand ∆x tend vers 0, cela équivaut à h qui tend vers 0.

Et 1 ∆x engendre 1 ∆ y et 1 dy. Pour un ∆x très petit mais non nul.

Quand ∆x tend vers 0, la droite verte sera confondue avec la droite rouge. Et la droite rouge est la tangente au point M du graphe.

Si une fonction est partout continue et elle a une dérivée pour un certain point de cette fonction nommée x0 la dérivée en ce point est f'( x0 ).

Si la dérivée d'une fonction au point x0  est positive, la tangente en ce point va monter en allant de gauche à droite. La courbe est dite croissante en ce point. 

Si la dérivée d'une fonction au point x0  est négative, la tangente en ce point va descendre en allant de gauche à droite. La courbe est dite décroissante en ce point.

Si la dérivée d'une fonction au point x0  vaut 0, la tangente en ce point sera parallèle à l'axe des x (horizontale). On aura un minimum ou un maximum en ce point.

Toute fonction qui a une dérivée finie est continue !

Il est intéressant d'avoir une dérivée seconde, telle que f''(x) pour savoir si une courbe est concave si f''(x) < 0 ou convexe si f''(x) > 0.

ex)

f :x ↦ y et y = f(x) = 2x²+5x-3 -> f'(x) = 4x+5 et f''(x) = 4 > 0 (convexe).

Convexe, le graphe est toujours au dessus des tangentes à la courbe, on aura un minimum. 

Pour f'(x), on a une décroissance suivie d'une croissance.

f :x ↦ y et y = f(x) = -2x²+5x-3 -> f'(x) = -4x+5 et f''(x) = -4 > 0 (concave).

Concave, le graphe est toujours en dessous des tangentes à la courbe, on aura un maximum.

Pour f'(x), on a une croissance suivie d'une décroissance.

f :x ↦ y et y = f(x) = x³ -> f'(x) = 3x² et 

f''(x) = 6x -> pour x < 0 -> f''(x) < 0 (concave) et f''(x) > 0 (convexe).

Sur l'axe des x, on a un intervalle entre 2 valeurs de x différentes que l'on va noter

x1 et x2. 

[x1 , x2] c'est un intervalle fermé sur x1 et fermé sur x2.

]x1 , x2[ c'est un intervalle ouvert sur x1 et ouvert sur x2.

[x1 , x2[ c'est un intervalle fermé sur x1 et ouvert sur x2.

]x1 , x2] c'est un intervalle ouvert sur x1 et fermé sur x2.

f(x) = x³ -> concave sur ]- infini, 0 [ et convexe sur ] 0, + infini [.

Lorsque la f'(x) = 3x² = 0, on aura une tg horizontale et un point d'inflexion en x = 0.

Voici quelques dérivées de base.

-1- La dérivée d'une constante vaut 0.

-2- La dérivée de x vaut 1.

-3- La dérivée de xn vaut n*x(n-1).

-4- La dérivée d'un polynôme vaut la dérivée de chacun des termes de ce polynôme.

ex) f(x) = 6x5+3x4-2x³+3x²-2x+10 -> f'(x) = 30x4+ 12x³ - 6x²-2.

-5- La dérivée d'un produit de 2 fonctions telle que y = u*v  vaut la somme des produits obtenus en multipliant chaque facteur par la dérivée de l'autre.

y' = uv' + u'v.

Et si u = 5 = une constante, alors y' = 5v'+0v = 5v'.

ex) (x2+3)(2-x) → y’ = (x²+3)(-1) + (2x)(-x+2) = -x²-3 -2x²+4x → 

y’ = -3x²+4x -3.

-6- La dérivée d'une division de 2 fonctions telle que y = u / v  avec v ≠ 0, et vaut la différence des produits obtenus en multipliant chaque facteur par la dérivée de l'autre et le tout divisé par v².

Alors u = y*v et u'= y'v+yv' -> y' = (u'-yv')/v = (u' -uv'/v)/v = [(u'v-uv')/v] / v =

y' = [(u'v-uv')/v]*1/v = (u'v-uv') / v². Et y' = (vu'-uv') / v².

y = u / v =  (vu'-uv') / v².

Une vidéo 01, vidéo 02, vidéo 03,

La différentielle