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Les nombres complexes
L'idée est apparue en 1800, lors de la résolution du polynôme du 3e degré.
On retrouvait dans certaines résolutions de polynômes (√-1, racine carrée de -1).
C'est de là qu'à démarrer la théorie des nombres complexe.
On invente le plan orthonormé (2 axes perpendiculaires et ont les mêmes unités) des nombres complexes.
L'axe horizontal représente les nombres réels et l'axe vertical représente l'axe des imaginaires. Ces 2 axes sont perpendiculaires.
Vous avez 1 cm pour l'unité des nombres réels et 1 cm pour l'unité des imaginaires.
Tous les points de ce plan représentent un nombre complexe.
Tout nombre complexe de l'ensemble des complexes s'exprime sous la forme a + bi.
Avec a et b qui sont des nombres réels.
Et bi est un nombre imaginaire pur qui se trouve uniquement sur l'axe vertical.
Sur la figure ci-dessus voici 3 nombres complexes (3 ; i) -> (3 , i) -> 3+i, (-3 ; 2i) -> (-3 , 2i) -> -3+2i et (1 ; -2i) -> (1 , -2i) -> 1-2i.
Sur le graphe on représente le nombre complexe par un couple (3 , i) ou (3 ; i).
Le point-virgule à la place de la virgule est toléré, car les 2 réels peuvent être des nombres à virgule dans les couples des nombres complexes.
Tout nombre complexe possède un module |a + bi| ou |z| avec z = a + bi.
Le module d'un nombre complexe, ce sont tous simplement la distance de son point sur le plan des complexes vers le centre O (O est l'intersection des 2 axes).
Vous avez sûrement remarqué grâce au module que l'on a un triangle rectangle pour chacun des nombres complexes.
Pour calculer leur module qui n'est rien d'autre que l’hypoténuse du triangle rectangle.
Pour le complexe z = 3 + i -> le module -> √(3²+ 1² ) = √(9 +1) = √10 = |z|.
Pour le complexe z = -3 +2i -> le module -> √(-3²+ 2² ) = √(9 +4) = √13.
Pour le complexe z = 1 - 2i -> le module -> √(1²- 2² ) = √(1 + 4) = √5.
La somme de 2 complexes
(a+bi) + (c+di) = a+c +(bi+di) = (a+c)+(b+d)i.
(2+5i) + (-3+6i) = (2-3) + (5i+6i) = -1 +11i.
La différence de 2 complexes
(a+bi) - (c+di) = a-c +(bi-di) = (a-c)+(b-d)i.
(2+5i) + (-3+6i) = (2+3) + (5i-6i) = 5 - i.
(2+i)+(3+2i) = 5+3i. Le module du résultat = √(5²+3²) = √(25+9) = √34.
(1+3i)+(2+i) = 3+4i. Le module du résultat = √(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5.
Vérification par graphique.
Pour retrouver le résultat, on a fait une somme vectorielle (les complexes et les vecteurs sont très proches dans un plan orthonormé).
C'est très utilisé en électronique.
Le produit de 2 nombres complexes
(5-2i)*(3+i) = 15+5i-6i-2i² = 15+2-i = 17-i.
La division de 2 complexes
(5-2i) / (3+i) = (5-2i)*(3-i) / (3+i)(3-i) = (15-5i-6i+2i²) / (9-3i+3i-i²) = (13-11i) / 10.
Un nombre complexe peut s'exprimer autrement
(3+2i) =
(3+2i) = |z|*[cos (α )+ (sin (α))i] = |z|*[cos (α )+ i*sin (α)] avec alpha l'angle du module du nombre complexe avec l'axe des réels positifs. (Le côté opposé à l'angle α est le sinus et le côté adjacent de l'angle α est le cos).
La preuve
Et α = Atn(2/3) = 0,59 rad (cos(0,59) + i*sin(0,59)) = |z|*(0,83 + 0,56i) = √13*(0,83 + 0,56i) = (3+2i).
L'angle α s'appelle l'argument du nombre complexe.
Tous nombre complexe peut s'écrire avec son module et son argument.
(3+2i) = |z| L α. pour l'angle Atn (2/3) = 0,59 rad
(3+2i) = √13 L34°, il vaut l'exprimer en radians.
(3+2i) = √13 L 0,59 rad.
Pour les produits des complexes, on multiplie leur module et on ajoute leur argument.
(5-2i)*(3+i) = 17-i. ou √29 * √10 = 17 L -0,38 + 0,32 = 17 L -0,06 rad.
17-i. √290 = 17=|z| et Atg(-1/17) = L-0,059 rad ou L-3,4°.
Il y a encore une autre façon d'écrire les nombres complexes.
𝑒i(α) = cos(α) + 𝑖*sin(α). -> z = a+bi -> z = |z|*(cos(α) + 𝑖*sin(α))
Un nombre complexe peut s'écrire -> z = a+bi = |z|𝑒i(α) .
|3|𝑒i(pi/6) =|3| L0,52 rad. |3|*[cos(0,52) + 𝑖*sin(0,52)] = 3*(0,87+ 0,5i) = 2,61 + 1,5 i.
(3+2i)(4+6i)(8-2i) =√13.√52.√68 (𝑒i(0,59))(𝑒i(0,98))(𝑒i(-0,25)) = 52*√17* (𝑒i(1,32))
(2-i)(-3+2i)(-5-2i)(4-2i) / (4-i)(3+2i)(1+i) =√5.√13.√29.√(4*5) / √17.√13.√2 = √5.√29.2√5 / √17.√2 = 10*√29 /√17.√2 =10*√29.√17.√2 / (17*2) = 10.√29.√17.√2 / 34 = 10.√29.√17.√2 / 34 = (5/17)*√986*(𝑒i(-0,46))(𝑒i(-0,59))(𝑒i(0,38))(𝑒i(-0,46))(𝑒i(0,24))(𝑒i(-0,59))(𝑒i(-0,79)) = (5/17)*√986*(𝑒i(-2,26)) -> -2,26 rad = -57,32*2,26 = -130°
|z|*cos(-2,26) = (5/17)*√986*(-0,64) = -5,873
|z|*sin(-2,26) = (5/17)*√986*(-0,77)i = -7,130i
(2-i)(-3+2i)(-5-2i)(4-2i) / (4-i)(3+2i)(1+i) = -1303/221 - 1571/221 i.
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