Embedded Files
Les logarithmes en base 10
Une progression arithmétique
C'est avant tout, une série de sommes ex) +1
..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... avec une raison de cette suite qui est de +1.
Une progression géométrique
C'est avant tout, une série de multiplications ex) *10
..., 1/10 000, 1/1000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1000, 10 000, ... avec comme raison *10
Il faut retenir à vie que le log 1 = 0, voir case brune ci-dessous.
Cela vous permet de voir que le 1 de la progression géométrique correspond au 0 de la progression arithmétique.
On a donc une correspondance entre 2 progressions différentes.
-- ex)Le logarithme d'un nombre de la base géométrique correspond au nombre de la base arithmétique. Il existe un livre qui contient toute la table.
Aujourd'hui avec une calculatrice, c'est nettement plus facile.
log 10° = log 1 = 0 votre référence !
1) Le logarithme (d'un produit) -> nous donne la somme de leur logarithme.
log (3*5*7) = log (3) + log (5) + log (7) = 0,477121 + 0,698970 + 0,845098 = 2,021189
La preuve, log (105) = 2,0211893
2) Le logarithme (d'une division) -> nous donne la différence de leur logarithme.
log (5/2) = (log 5) - (log 2) = 0.69897 - 0.30103 = 0,39794
La preuve, log (2,5) = 0,39794
3) Le logarithme (d'une puissance de 10)
log 10 = 1
log 1000 = 3
log (10³) = 3
log 1/1000 = -3
log (10n ) = n.
log (20) = log (10*2) = log (10) + log (2) = 1 + 0,301033 = 1,301033.
log (20) = 1,301033
__ log (1) = 0
__ log (2) = 0,301033
__ log (3) = 0,477121
__ log (4) = log(2*2) = log 2 + log 2 = 2log(2) = 2*0,301033 = 0,6020599
__ log (4) = 0,6020599
__ log (5) = 0,69897
__ log (6) = log (2*3) = log (2) + log (3) = 0,301033 + 0,477121= 0,7781512
__ log (7) = 0,845098
__ log (8) = 3 log (2) = 3*0,301033 = 0,90309
__ log (9) = log (3²) = 2*log (3) = 2*0,477121 = 0,954242
log (-20) = n'existe pas, il n'y a pas de log d'un nombre négatif.
Attention
log (2+3) = log (5) = 0,69897
Et (log 2 + log 3) = 0,30103 + 0,47712 = 0,77815.
On peut faire la recherche inverse.
Antilog de -3 = 1/1000.
Antilog de 2 = 100.
Antilog de 1,30103 = 20.
log x = 5,69011 => x = 489903
Pourquoi utiliser les logarithmes, nos oreilles, notre vue, nos sens fonctionnent comme les logarithmes. C'est beaucoup utilisé en électronique.
Le décibel
Le gain d'un ampli est toujours G = PS / PE. Et il vaut 10 log (Ps/Pe) = db watts.
Et si Ps = 2Pi alors 10 log 2 = 10*0,301033 = 3,01033 db. -> gain + -> G est supérieur à 1.
Et si Ps = (Pi/2) alors 10 log 1/2 = 10*(log (1) - log(2)) = 10 * (0 - 0,301033 = -3,01033 db. -> gain -
-> G est inférieur à 1.
Les filtres passifs
x db = 10 log (ps/pe) si ps vaut la moitié de pe=> x db = 10 log (1/2) = 10 (log 1-log 2)
x db = 10 * -0,30103 = -3,0103 db w. On perdra la moitié de la puissance en watts.
Le gain d'un ampli est G = PS / PE, c'est un rapport de puissance et si PS = 2*PE.
Le gain en puissance sera de 2.
Alors, x db = 10 log (2*PE/PE) =10 log 2 = 10*( 0,301033) = 3,01033 db watt.
Et si on parle d'un gain double en tension alors x db V = 20 log {vs / ve} = 20 log 2.
x db V = 20 (0,30103) = +6,0206 db en volts.
Le grand avantage est que si l'on dispose de plusieurs amplis, on peut faire la somme des db de chacun des amplis.
ex) 4 db v +2 db v - 3db v +5 db v = 8 db volt. => 8/20 = antilog 0,4 = 2,51 fois plus grand en volts.
On estime que le gain maximal d'une antenne est de 17 dbi (par rapport à une antenne isotrope (rayonnement sphérique)). Un préampli d'antenne peut avoir un gain maximal de 58 db w.
Le bruit s'exprime souvent en db.
Le bruit est partout.
Dans certains graphiques, on a un des 2 axes en unités logarithmiques.
Les logarithmes népériens
Une progression arithmétique
C'est avant tout, une série de sommes ex) +1
..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... avec une raison de cette suite qui est de +1.
Une progression géométrique
C'est avant tout, une série de multiplications ex) *e
...,1/(e²*e³), 1/(e*e³), 1/e³, 1/e², 1/e, 1, e, e², e³, (e³*e), (e³*e²), ... avec comme raison *e
ln e° = ln 1 = 0 votre référence !
__ ln 1 = 0.
__ ln 2 = 0,693147.
__ ln 3 = 1, 098612 .
__ ln 4 = ln 2² = 2ln(2) = 2*0,693147 = 1,386294.
__ ln 5 = 1,609438.
__ ln 6 = ln(2*3) = ln 2 + ln 3 = 0,693147 + 1, 098612 = 1,791759.
__ ln 7 = 1,94591.
__ ln 8 = ln 2³ = 3ln(2) = 3*0,693147 = 2,07944
__ ln 9 = ln 3² = 2 * 1, 098612 = 2,197225
ln (3*4*5*6) = ln 3 + ln 4 + ln 5 + ln 6 = 1, 098612 + 1,386294 + 1,609438 + 1,791759 = 5,88610.
ln (5/2) = ln 5 - ln 2 = 1,609438 - 0,693147 = 0,916291
ln (en ) = n.
ln (e-9 ) = -9.
ln (e ) = 1.
ln (-20) = n'existe pas, il n'y a pas de ln d'un nombre négatif.
D'où vient le nombre e = 2,718281828...?
Cet e va être utile dans l'exponentiel. Il vient d'une suite infinie.
(1+(1/n))n lorsque n tend vers ∞.
(1+1)1 = 2.
(1+1/2)2 = 2,25.
(1+1/3)3 = 2,37037.
(1+1/4)4 = 2,441406.
(1+1/10)10 = 2,59374.
(1+1/1000)1000 = 2,7169239.
(1+1/100000)100000 = 2,718268237.
Si n tend vers l'infini alors e -> 2,718281828... .
Les sommations
Les factoriels
0! = 1.
1! = 1.
2! : 1*2 = 2.
3! = 1*2*3 = 6.
4! = 1*2*3*4 = 24.
10! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = 3 628 800
Plus le nombre de termes est élevé, plus on sera précis.
Voici une vraie exponentielle
On appelle, équation exponentielle toute équation de la forme ax = c avec a et c des nombres positifs et (avec a différent de 1).
ex)
log(x²-8) = 2 log(x+2) attention condition log(+), il faut que (x+2) > 0.
log(x²-8) = log(x+2)²
x²-8 = (x+2)²
x²-8 =(x+2)(x+2)
x²-8 = x² +2x +2x +4
x²-8 = x² +4x +4
x²-x² -4x -8 -4 = 0
+4x+8 +4 = 0
4x+12 = 0
4x = -12
x = -12/4 = -3. et x ne peut pas être égale à -3, car log(-3+2) = log(-1), c'est impossible.
log(x²+8) = 2 log(x+2) condition log(+), il faut que x+2 > 0
x²+8 = (x+2)²
x²+8 =(x+2)(x+2) = x² +4x +4
x² -x² +8 -4x = +4
-4x = +4-8 = -4
4x = 4
x = 4/4 = 1 ok c'est valable. Les log (+).
Page updated
Google Sites
Report abuse