parabole

Et y = ax²+bx+c, la forme généralisée de la parabole.

Et si, y1 = x² -> nous donne une parabole symétrique par rapport à l'axe des y.

Et y1 sera toujours positive ou nulle.

Et si, y1 = -x² -> nous donne une parabole symétrique par rapport à l'axe des y.

Et y1 sera toujours négative ou nulle.

(x-2)*(x+3) -> x²+3x-2x-6 = x²+x -6. Voilà d'où vient la parabole (un produit de 2 binômes du premier degré par rapport à la variable x).

(x-2)*(x-2) = x²-2x-2x+4 = x²-4x +4. -> si x = 2 alors y = 0. On aura une racine double.

Si y = x²+2 -> vous ne trouverez pas le fameux produit des 2 binômes, car y sera toujours > 0.

Donc y ne sera jamais =  0. Voir la figure ci-dessous.

Si y = -x²-1 -> vous ne trouverez pas le fameux produit des 2 binômes, car y sera toujours < 0.

Donc y ne sera jamais =  0. Voir la figure ci-dessous.

Avec I comme nombre purement imaginaire. C'est la racine carrée de -1. Et en réalité, on a I² = -1.

Et a est le coefficient du terme en x².

|a|=1 -> y = x². Notre parabole de référence, intermédiaire.

|a|>1 -> y = 3x². On a une parabole plus étroite dans un même graphe.

|a|<1 -> y = 0,5x². On a une parabole plus large dans un même graphe. 

Et a est le coefficient du terme en x².

|a|=1 -> y = -x². Notre parabole de référence, intermédiaire.

|a|>1 -> y = -3x². On a une parabole plus étroite dans un même graphe.

|a|<1 -> y = -0,5x². On a une parabole plus large dans un même graphe. 

En plus, nous avons une racine double pour chacune des paraboles au centre du plan cartésien

 x = 0 -> y = 0. Voir la figure ci-dessous. 

Et c, est le terme indépendant de y = ax²+bx+c.

Pour y = x²+2 -> c = 2. Fait monter la parabole. Les racines sont complexes. Voir la figure ci-dessous. 

Pour y = x²-3 -> c = -3. Fait descendre la parabole. Voir la figure ci-dessous. 

Et y = x² est notre parabole de référence.

Résumons le coefficient "a" de x² , il modifie la largeur de la parabole sur un même graphe.

Le terme indépendant de x est "c", il modifie la hauteur de la parabole sur un même graphe.

Reste à voir le coefficient du terme en x -> b.

Et y = x², qui sera notre parabole de référence. Voir la figure ci-dessous. 

Et y = x²+3x, -> b = +3 -> déplace la parabole vers la gauche.

Et y = x² -4x, -> b = -4 -> déplace la parabole vers la droite. Voir la figure ci-dessous.

Et on voit bien que si x = 0 -> y = 0 pour les 3 paraboles.

Pas une des trois paraboles n'a des racines complexes.

Tous les points d'une parabole possèdent une droite tangente à cette parabole.

Au sommet d'une parabole, on a un point dont la tangente vaut 0. 

Car en ce point la tangente est horizontale et l'angle vaut 0° avec l'axe des x.

Et donc en ce point, vous aurez soit un maximum ou soit un minimum et en ce même point, vous aurez  x = -b/2a.

Ce point correspond quand x = -b / 2a. si y = x² -> alors b = 0 et a = 1 -> x = -0/2 = 0.

Ce point correspond quand x = -b / 2a. si y = x²+3x -> alors b = 3 et a = 1 -> x = -3/2 = -1,5.

Ce point correspond quand x = -b / 2a. si y = x²-4x -> alors b = -4 et a = 1 -> x = 4/2 = 2.

La tangente en un point d'une parabole est l'équation d'une droite pour cette même parabole.

Voici, son équation y = 2ax+b. Si on a un sommet d'une parabole y = 2ax+b = 0.  

Et 2ax = -b -> x = -b/2a. Et en ce point, vous avez aussi l'axe vertical de symétrie de cette parabole.

Que vaut y quand x = -b/2a. y = a(-b/2a)²+b(-b/2a)+c = (b²/4a) -b²/2a +c =(b²/4a) -2b²/4a +4ac/4a =  (-b²+4c)/4a.

Et y = x²+3x, -> b = +3 -> déplace la parabole vers la gauche. -> x =-b/2a =-3/2 = -1,5.

Et y = (-1,5)²+3*(-1,5) =2,25 - 4,5 = -2,25. 

Et y = x² -4x, -> b = -4 -> déplace la parabole vers la droite.  -> x =-b/2a = 4/2 = 2.

Et y = 2²-4(2) = 4-8 = -4.

Et si, y = x²-4x +4 ->  x =-b/2a = 4/2 = 2, quand x = 2 on est au minimum. Voir figure ci-dessus.

Et y = 2²-4(2) +4 = 4 -8+4 = 0.

Et y = 0+0+4 = 4.

Maintenant, on va résoudre des équations du second degré par rapport à la variable x.

Et l'équation est ax² + bx + c = 0. Après la réduction!

Et le coefficient a de x² doit être différent de 0.

Un trinôme du second degré par rapport à sa variable x, admettent toujours 2 racines.

On va les appelés x' et x''.

Ce trinôme aura toujours soit 2 racines réelles (x' et x''), soit 1 racine double (x'= x''), ou soit 2 racines complexes.

ex)

-1--- (x+4)² = 16 ->(x+4) = +4 ou (x+4) = -4.

Si (x+4) = 4 -> x = 4 - 4 = 0. Si (x+4)= -4 -> x = -4 -4 = -8.

(x+4)(x+4) = x²+4x+4x+16 = x²+8x+16.

-2--- (x+p)² = (x+p)(x+p) = x²+px+px+p² =x² +2px +p².

-3--- ax²+bx+c = 0 -> x²+(bx)/a + c/a = 0 -> x²+(bx)/a = -c/a.

Astuce, aux 2 membres de cette égalité, je vais ajouter b²/4a².

x²+(bx)/a + b²/4a² = b²/4a² - c/a.

x²+b²/4a²+(bx)/a = b²/4a² - c/a. ("1")

(x+b/2a)²= x²+bx/2a +bx/2a + b²/4a² = x²+ b²/4a²+2bx/2a = x²+ b²/4a²+bx/a.

(x+b/2a)²-bx/a =x²+ b²/4a² -> on va l’appliquer dans la formule ("1")

(x+b/2a)²-bx/a+bx/a =  b²/4a² - c/a.

(x+b/2a)² = b²/4a² - c/a.

(x+b/2a)² =( b²-4ac )/4a².

Par convention x' > x".

Si b²- 4ac = 0, on aura une racine double.

Si b²- 4ac < 0, on aura des racines complexes car I² = -1.

Si b²- 4ac > 0, on aura 2 racines différentes.

Si on a des racines réelles alors,

ax²+bx+c = a(x-x')(x-x").

x²+8x+16 = (x+4)² = (x+4)(x+4) -> x' = x" = -4.

Attention aux signes!

Les équations du second degré s'étudient plus facilement avec les dérivées.

En effet tous les points d'une parabole ont une tangente à chacun d'eux.

ax²+bx+ c -> f'(x) = 2ax+b. Lorsque f'(x) = 0, on sera au minimum ou au maximum de la parabole.

L'équation de la tangente est 2ax+b.

La somme de x' + x" = -b/a.

La différence de x' - x" = (racine carrée de (b²-4ac)) / a.

Le produit de  x' * x" = c/a.

Et ax²+bx+c = a(x-x')(x-x") -> a(x-x')(x-x") = a(x²-xx"-x'x+x'x") = a(x²-x(x"+x')+x'x")=

ax²+bx+c = a(x²-x(S)+P)

On va diviser par a les 2 membres de cette égalité

x²+bx/a+c/a = (x²-x(S)+P) = (x²-Sx+P)

Donc, on aura S = -b/a et P = c/a.

 ex) 2x²-3x+1 = x² -3x/2 +1/2 = x²-3x/2 + 1/2

P = c/a =1/2 et S = -b/a = 3/2 = 3/2.

P = 1/2 et S = 3/2 -> (x²-Sx+P) = x²-3x/2+1/2 = 0 -> x' = 1 et x" = 1/2.

P = 1/2 et S = 3/2 -> a = 2, et comme x' = 1 et x" = 1/2 -> 2(x-1)(x-1/2) = 0.

a(x-1)(x-1/2) = a(x²-x/2 -x +1/2) = a(x²-3x/2 +1/2) =2x²-3x +1.

-- ex -- 1) x² -7x +6

b²-4ac = 49-4(1)(6) = 49 -24 = 25.

x' = (7+5)/2 = 12/2 = 6.

x" = (7-5)/2 = 2/2 = 1.

x² -7x +6 = (x-1)(x-6).

-- ex -- 2) 4x²-4x +1

b²-4ac = 16-4(4)(1) = 16-16 = 0

x'= x'' = -b/2a = 4/8 = 1/2.

4x² -4x +1 = 4(x-1/2)(x-1/2).

-- ex -- 3) -7x² -12x +4

b²-4ac = 144 -4(-7)(4) = 144+112 = 256 = 16².

x" = (12+16) /-14 = 28/-14 = -2.

x' = (12-16)/-14 = -4/-14 = 2/7.

-7x² -12x +4 =-7(x +2)(x -(2/7)) = la preuve ->  (x+2)( -7x+2) = -7x² +2x -14x +4 = -7x² -12x +4.

Les inéquations du second degré par rapport à la variable x

Il faut toujours réduire (au maximum) et avoir 0 à droite de l'inéquation !

x² -6x +5 < 0

b² -4ac = 36 -(4)(1)(+5) = 36 -20 = 16 = 4².

x' = (6+4) /2 = 10 /2 = 5.

x" = (6 -4) /2 = 2/2 = 1.

Et à l’extérieur des 2 racines, on est toujours du signe de a -> +

Et à l'intérieur des 2 racines, on est toujours du signe contraire de a -> -

1 > x < 5, c'est le résultat.

(3-x)²<2(3-x) -> (3-x)(3-x) < 6-2x -> 9-3x-3x+x² -6+2x <0 -> x² -4x +3 < 0.

b²-4ac = 16-4(1)(3) = 16-12 = 4 = 2².

x' = (4+2)/2 = 6/2 = 3.

x'' = (4-2) / 2 = 2/2 = 1.  

Et x² -4x +3 < 0. On est positif à l'extérieur des 2 racines et on est négatif entre les 2 racines 

d'où -> 1 < x < 3.

Si l'on a cette forme de A / B <0 ou bien A / B > 0.

On va multiplier A*B² > 0 -> A*B > 0.

On va multiplier A*B² < 0 -> A*B < 0.

ex)

(x-4) /(x+2) < 3. -> (x-4) /(x+2) -3 < 0 -> (x-4) /(x+2) - 3(x+2)/(x+2) <0 -> ((x-4) -3(x+2)) / (x+2) < 0

x-4-3x-6 /(x+2) < 0 -> (-2x -10) /(x+2) < 0 -> (2x+10 ) / (x+2) > 0 -> (2x+10)(x+2)² /(x+2) > 0.

(2x+10)(x+2) > 0. -> x' = -2 et x" = -5.

2x²+4x+10x+20 > 0

2x²+14x+20 >0, et a = positif alors on sera positif pour les valeurs extérieures aux racines.

x < -5 et x > -2. 

Et attention, x doit être différent de -2, car un dénominateur ne peut jamais être nul.

Donc x < -5 et x > -2.  

|1-2x > 0

|x²+3x-3 < 0

|-2x > 0-1 -> -2x > -1 -> 2x < 1 -> x < 1/2.

|x²+3x-3 < 0 -> b²-4ac -> 9-4(1)(-3) = 9+12 = 21 -> 4,58²

x' = (-3+4,58)/2 = 1,58/2 = 0,8.

x" = (-3-4,58)/2 = -7,58/2 = -3,8.

Pour répondre à l’exigence des 2 inéquations.

1°) x < 0,5 et -3,8 > x < 0,8 -> -3,8 > x < 0,5.

|x²<9

|x²-16>4(x-4)

|x²<9 -> x² -9 < 0 -> b²-4ac = -4(1)(-9) = 36 = 6²

x' = +6/2 = 3.

x" = -6/2 = -3.

 x² -9 < 0, on est négative à l’intérieure des racines  -3 < x <3.

|x²-16>4(x-4) -> (x²-16)/(x-4) >4 -> (x²-16)/(x-4) -4 > 0 -> ((x²-16)-4(x-4)²) /(x-4) > 0

-> x²-16-4x+16 > 0 -> x² -4x > 0 -> x(x-4) >0

x' = 0.

x'' = 4.

x² -4x > 0, on est positif à l'extérieur des racines  x < 0 et x > 4.

L’exigence des 2 inéquations -3 < x < 3 et x < 0 et x > 4. -3 < x < 0.

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