Embedded Files
Dans un espace vectoriel, il y a le mot vectoriel qui sous en temps le mot vecteur.
Le seul vecteur unique qui est un espace vectoriel est le vecteur nul.
Tout espace vectoriel doit contenir un vecteur nul. Il ne peut pas être vide.
Un vecteur non nul possède une direction, un sens et une norme non nulle.
Le vecteur nul n'a pas de direction, n'y de sens et sa norme vaut 0.
On le représente comme un point de l'espace.
On dira que tous les points de l'espace sont invariants par translation du vecteur nul.
En gros que tout espace vectoriel doit avoir en interne un vecteur nul.
Le produit d'un scalaire nommé k par un vecteur nul est un vecteur nul.
Donc k.(vecteur nul) = (vecteur nul) même si k = 0.
Un (vecteur nul) + un (vecteur nul) = un vecteur nul.
Si u est un vecteur non nul alors un vecteur nul + u = u.
Le vecteur nul est neutre dans une somme vectorielle.
C'est pourquoi un espace vectoriel a une loi en interne qui est une somme (+).
C'est pourquoi un espace vectoriel a en externe un produit avec un scalaire (.).
L'ensemble E est un espace vectoriel muni d'une loi (+) en interne et d'une loi ( . ) en externe.
L'ensemble K est un corps, tel que l'ensemble des réels ou l'ensemble des complexes.
L'ensemble E est un espace vectoriel qui est un ensemble formé de vecteurs.
De sorte que l’on puisse additionner (ou soustraire) deux vecteurs u, v de E, pour en former un troisième u + v (ou u - v), que l'on nommera le vecteur w dans E.
Et il faut aussi que l’on puisse multiplier chaque vecteur u de E, par un facteur k du corps pour obtenir un vecteur k.u dans E.
Si le vecteur u appartient à E et si le vecteur v appartient aussi à E alors le vecteur u+v doit aussi appartenir à E, c'est le minimum pour être un espace vectoriel.
Voici quelques exemples d'espace vectoriel.
Dans un plan orthonormé toutes les droites qui passent par le centre de ce plan dans R² sont des espaces vectoriels.
v = (0;-2) appartient au plan R², mais v =(0;2) n'appartient pas au plan R² tel que x > y -> ce n'est pas un espace vectoriel. Nous devons être en dessous de la barre noire oblique.
v = (0;2) appartient au plan R² mais v = (0;-2) n'appartient pas au plan R² tel que x < y -> ce n'est pas un espace vectoriel. Nous devons être au-dessus de la barre noire oblique.
Tous les vecteurs partent du vecteur nul (0;0) et ils sont tous sur la barre oblique donc, -u est le symétrique de u, la loi + est respectée, on est bien dans une droite oblique qui est un espace vectoriel.
Le vecteur nul (0;0) appartient à E.
Le vecteur (1;1) à un symétrique -(1;1). Il y a bien un axe de symétrie qui est l'axe des x mais, on n'est plus dans E.
La loi + n'est pas respectée, le (1;1)+(2;4) = (3;5) qui n'est plus dans E.
On considère le plan E = R X R comme un espace vectoriel nommé E qui est muni d’un repère orthonormé (vecteur unitaire j = vecteur unitaire i ) avec un axe de réelles horizontales et l'autre axe des réelles verticales.
Un vecteur u de ce plan s’identifie grâce à ses coordonnées (u1,u2) dans ce repère orthonormé.
Étant donnés u = (u1, u2) et v = (v1, v2) deux vecteurs du plan et k un nombre réel quelconque, on définit u + v = (u1 + u2), (v1+ v2); et k.u = (ku1, ku2);
Le vecteur nul à pour coordonnées (0,0).
Définition d'une équation linéaire (1)
On appelle équation linéaire dans les variables (ou inconnues) X1, X2 . . . , Xp toute relation de la forme
a1 X1 + a2 X2 +· · · + ap Xp = b, (1)
où a1, . . . , ap et b sont des nombres réels donnés et l'indice est un naturel supérieur ou égale à 1.
Un vecteur W est appelé combinaison linéaire des p vecteurs tels que U1,U2 . . . , Up
s’il existe des scalaires K1,K2 . . . , Kp pour lesquels
W = K1U1 +K2U2 . . . +KpUp
Une équation linéaire telle que 2X1 + 5X2 - 3X3 = 5
On a une solution possible pour X2 = 1 et que X1 = X3 = 0.
Autre solution si X2 = 1 -> 2X1-3X3 = 0 -> 2X1 = 3X3 -> X1 = (3X3)/2 .
-> X3 = X2 = 1 et X1 = 3/2.
Ou encore -> X1 = X2 = 1 et X3 = 2/3.
Il y a beaucoup de solutions possibles.
Une équation linéaire est de la forme a1X1+a2X2+a3X3+a4X4+.....+anXn = 0. Avec n étant un nombre naturel supérieur ou égale à 1.
Y=aX est une équation linéaire d'une droite qui passe par le centre, cette droite est un espace vectoriel.
aX + b Y = e, est une équation linéaire à 2 inconnues qui sont X et Y.
a1X1+a2X2 = e.
a1X1+a2X2 = 0, est une équation linéaire à 2 inconnues qui sont X1 et X2, homogène car e = 0.
2X+3Y=5, est une équation linéaire à 2 inconnues qui sont X et Y.
|2X+3Y=5|
|X - 4Y= 7 |, nous avons 2 équations linéaires à 2 inconnues, on l'appellera système de 2 équations à 2 inconnues.
Pour le résoudre |2X+3Y=5| -2 |X - 4Y= 7 | = |2X+3Y=5| + |-2X + 8Y= -14 | =
3Y+ 8Y=-9 -> Y = -9/11.
|2X+3Y=5| -> 2X+3(-9/11) = 5. -> X = (5+27/11)/2 = ((55+27)/11)/2 = (82/11)/2 = 41/11.
Soit n un nombres naturels supérieurs ou égale à 1 et soient u1, u2, u3,...un, n vecteurs d'un espace vectoriel E.
Tout vecteur de la forme V = K1U1 + K2U2 + K3U3 +... + KnUn.
( où K1, K2, K3, ... , Kn, sont des éléments de l'ensemble K ) est appelé combinaison linéaire des vecteurs U1, U2, U3, ... , Un.
Les scalaires K1, K2, K3, ... , Kn, seront appelés les coefficients de la combinaison linéaire.
Si V = k1u1 on dira que le vecteur V est colinéaire à U1.
Et dans ce cas, on a un espace vectoriel.
ex) U = 1u1+3u2+5u3. Et V = 1v1+3v2+5v3. ->
U+V = 1u1+1v1+3u2+3v2+5u3+5v3. 1(u1+v1)+3(u2+v2)+5(u3+v3).
Si k est 0, on a bien le vecteur nul pour U = 0u1+0u2+0u3.
Les combinaisons linéaires des sommes knun. Et avec k appartenant aux Réels et n appartenant aux nombres naturels, formes bien un espace vectoriel dans E.
Les équations linéaires vont aboutir au calcul matriciel.
Dans le R-espace vectoriel R³, (3;4;1) est combinaison linéaire des vecteurs (0;1;0) et ( 3;0;1) car (3;4;1) = 4(0;1;0) + ( 3;0;1) -> (3;4;1) = (0;4;0) + ( 3;0;1) = (0+3;4+0;0+1) = (3;4;1).
Quelle est la combinaison vectorielle qui permet d'obtenir le vecteur v =(4;5) en fonction des vecteurs u = (3;0) et w = (4;2) ?
(4;5) = a(3;0)+b(4;2) -> (3a;0) + (4b;2b) -> (3a+4b;2b)
(4;5) = (3a+4b;2b) -> 4 = 3a+4b et 5 = 2b -> b = 5/2 et 4 = 3a+4*5/2 -> 4 = 3a+10 -> 3a = 4-10 -> a = -6/3 = -2
(4;5) = (-6;0)+(10;5) car 4 = -6 +10 et 5 = 0 + 5.
| 4 = 3a+4b |
| 5 = 2b | est un système de 2 équations à 2 inconnues
Les solutions b = 5/2 et 4-4b=3a -> a = ((4-4b)/3) = (4-(4*5/2))/3 = (4-10)/3 = -6/3 = -2.
Un polynôme P1 = k0Xm + k1Xm-1 + k2Xm-2 + … km-1 X = 0
Une équation linéaire est de la forme a1X1+a2X2+a3X3+a4X4+.....+anXn = 0
Il y a une grande ressemblance entre un polynôme et une équation linéaire.
Voilà pourquoi ils sont tous les 2 un espace vectoriel dans E.
L'espace vectoriel [X] des polynômes P(X) = anXn + a(n-1)X(n-1) +··· + a2X2 + a1X + a0.
Et n est un nombre naturel. Il y a (n+1) termes dans ce polynôme.
__________________________________________________________________________________________
P0 = X² − 2, P2 = (X − 2)(X + 1), P3 = (X − 1)(X + 2).
Montrer que P0 est combinaison linéaire de P2 et P3
Prenons a,b qui appartiennent à R tels que P0 = a*P2 + b*P3.
P2 = (X − 2)(X + 1) = X² − X -2.
P3 = (X − 1)(X + 2) = X² + X -2.
P2 + P3 = (X² − X -2) + (X² + X -2) = 2X² -4 = 2P0.
P0 = (P2 + P3) /2. P0 est une combinaison linéaire de P2 et P3 avec a = b = 1/2.
On considère une suite (Un) de réels. S1 = U1 + U2 + U3 = 2 + 4 + 6 = 12.
S2 = U1 + U2 + U3 + U4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16.
S1 + S2 = 12 + 16 = 28.
Et n ! est la factorielle de n -> n qui est un nombre naturel.
Ex,
1 ! = 1*1 = 1.
5 ! = 1*2*3*4*5 = 120.
Avec 0 ! = 1.
Pour tout n de N* , on donne : un suite = n!
N* n'a pas le 0.
u1 = 1 ! = 1,
u2 = 2 ! = 2,
u3 = 3 ! = 6,
u4 = 4 ! = 24,
"""""""""""""
On en déduit que la suite (un) est croissante et divergente.
Pour tout n de N , on donne : un suite = 2n qui définit la suite des nombres pairs.
Les premiers termes de cette suite sont donc :
u0 = 2 * 0 = 0,
u1 = 2 * 1 = 2,
u2 = 2 * 2 = 4,
u3 = 2 * 3 = 6.
""""""""""""""
On en déduit que la suite (un) est croissante et divergente.
Pour tout n de N , on donne : un suite = 2n+1 qui définit la suite des nombres impairs.
Les premiers termes de cette suite sont donc :
u0 = 2 * 0 +1 = 1,
u1 = 2 * 1 +1 = 3,
u2 = 2 * 2 +1 = 5,
u3 = 2 * 3 +1 = 7,
"""""""""""""""""
On en déduit que la suite (un) est croissante et divergente.
Pour tout n de N, on donne la suite (un) définie par : un = 4n + 3 .
Démontrer que la suite (un) est croissante
u0 = 4*0 + 3 = 3
u1 = 4*1 + 3 = 7
u2 = 4*2 + 3 = 11
u3 = 4*3 + 3 = 15
u4 = 4*4 + 3 = 19
""""""""""""""""""
La suite (un) est croissante et divergente.
Pour tout n de N, on donne la suite (un) définie par : un = n + (n!) .
u0 = 0 + (1) = 1 car 0! = 1
u1 = 1 + (1) = 2
u2 = 2 + (1*2) = 4
u3 = 3 + (1*2*3) = 9
u4 = 4 + (1*2*3*4) = 28
"""""""""""""""""""""""
La suite (un) est croissante et divergente.
Pour tout n de N* , on donne : un suite (un) = 1/n
u1 = 1/1 = 1
u2 = 1/2 = 0,5
u3 = 1/3 = 1/3
u4 = 1/4 = 0,25
u5 = 1/5 = 0,2
"""""""""""""""
La suite (un) est décroissante et convergente.
Pour tout n de N* , on donne : un suite (un) = 1/(n!)
u1 = 1/1 = 1
u2 = 1/(1*2) = 0,5
u3 = 1/(1*2*3) = 1/6
u4 = 1/(1*2*3*4) = 1/24
u5 = 1/(1*2*3*4*5) = 1/120
u6 = 1/(1*2*3*4*5*6) = 1/720
""""""""""""""""""""""""""""""""
La suite (un) est décroissante et convergente.
Il y a une autre façon de voir les séries avec des sommations.
Pour tout n de N. Il y aura n+1 termes de sommation.
Avec k qui va de 0 à n.
Le signe sigma est un peu comme le signe intégral, il représente une suite de sommes.
Les sommations ont été utilisées presque partout au siècle précédent.
Page updated
Google Sites
Report abuse