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Le plan des complexes est en deux dimensions, hors quand on travaille dans un espace, on est en 3 dimensions.
Voilà le pourquoi, que l'on a inventé l'espace vectoriel.
On va travailler dans un plan orthonormé (les axes sont perpendiculaires et leurs unités de longueur sont égales).
Pour avoir un vecteur, il faut qu'un point soit translaté à un autre point, et il sera formé par ces 2 points. Je translate A vers A'.
1)Et alors, il aura une direction.
2) Il aura un sens.
3) Il aura une certaine longueur entre le point A et A' (le module du vecteur).
Les vecteurs sont égaux s'ils ont tous la même direction, le même sens et la même longueur dans un même plan ou s'ils sont tous confondus.
Des vecteurs d'un même plan qui ont la même direction sont dits colinéaires.
Des vecteurs perpendiculaires.
Les directions sont perpendiculaires dans un même plan, on dira que ces 2 vecteurs sont orthogonaux.
La somme de 3 vecteurs d'un même plan orthonormé.
Écrire chacun des vecteurs en colonne en commençant par la valeur des x, puis faire la somme sur la 1er ligne (3+2+1 = 6), puis faire la somme en 2e ligne (1-1+1 =1).
Ce vecteur fait un angle de Atn (1/6) = 0,165 rad ou de 9,454 ° avec l'axe des x.
Un radian fait un angle de 57,30° -> 57,30 * 0,165 = 9,454 °.
Pour faire une soustraction de 2 vecteurs dans un même plan, on fait une somme du 1e vecteur + le vecteur de sens inversé.
Multiplication d'un vecteur par un nombre réel (k).
Résultat, on rallonge ou on raccourcit un vecteur de départ.
Si k est égal à 0, alors le vecteur de départ deviendra un vecteur nul.
Juste qu'ici pas grande différence avec les complexes.
On va faire le produit scalaire de vecteurs dans un même plan orthonormé.
Le produit scalaire de 3 vecteurs n'est pas possible car le résultat serait un vecteur et le vecteur n'est pas un nombre (n'est pas un scalaire).
Le produit scalaire de 2 vecteurs a comme résultat un nombre réel ou un nombre
complexe ces 2 nombres sont appelés scalaires.
Le produit scalaire de 2 vecteurs qui sont perpendiculaires donnera la valeur = 0.
Car le cos (90°) = 0.
Le produit scalaire de 2 vecteurs non nuls et non perpendiculaires sera égal au produit de leurs modules respectifs et le produit sera multiplié par le cos (α ) l'angle qui est formé par ses 2 vecteurs. Dans un même plan.
Si l'angle des 2 vecteurs vaut 0° alors le cos (0°) = 1, alors ses vecteurs sont colinéaires ou confondus.
Le produit scalaire du vecteur u = 11 cm et du vecteur v = 8,5 cm avec un angle de 40°.
Le produit scalaire du vecteur u = 11 cm et du vecteur v = 8,5 cm = 11*8,5*cos (40°) = 93,5*cos(40°) = 93,5* 0,766 = 71,63 cm. C'est la projection orthogonale du point C sur le vecteur u qui est la distance AD.
40° = (2*Pi*40 ) /360 = (Pi*2 ) /9 = 0,698 rad.
Le produit scalaire du vecteur v = 11 cm et du vecteur u = 8,5 cm = 8,5*11*cos (40°) = 93,5*cos(40°) = 93,5* 0,766 = 71,63 cm. C'est la projection orthogonale du point B sur le vecteur v qui est la même distance qui vaut AD.
Maintenant, on va travailler dans un espace à 3 dimensions orthonormé.
Si on a 2 vecteurs quelconques dans l'espace, nous allons les translater pour qu'ils se rejoignent en 1 point (A), alors ces 2 vecteurs formeront un plan jaune.
On retrouve le produit scalaire sur le plan formé par AB et AC.
On va rechercher l'angle C
1- La hauteur du triangle = 3*sin (35°) = 1,721.
2- La largeur de la base b pour le triangle rectangle = 8-(3*cos(35°) = 5,5425.
3- Atn(1,721 / 5,5425) = 17,25° = l'angle C.
4- L'angle B = 180-(17,25+35) = 127,75°.
La surface jaune vaut 9 et elle est égale à la surface verte et à la surface rouge.
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