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Les limites
Une fonction qui possède un domaine de définition => Df, par exemple Df = R* = les réels sauve 0.
Df = R-{0}, on ne pourra pas parler de continuité de f(x) pour x = 0, cela n'a aucun sens, car on se situe hors du domaine de définition.
En gros si vous dessinez la courbe d'une fonction dans son domaine de définition sur une feuille de papier, et que votre stylo reste toujours en contact avec la feuille en dessine cette courbe, alors cette courbe est partout continue.
Si vous devez soulever votre stylo pour reprendre cette courbe à une autre place, vous aurez un saut et donc une discontinuité.
Entre g et h la fonction n'est même pas définie.
Un saut point a, 1er discontinuité, un saut au point b, 2e discontinuité, un saut de fonction au point 0, 3e discontinuité, continu au point d, un saut de fonction au e, 4e discontinuité, un trou au point f, 5e discontinuité.
y = 1/x est une fonction de x qui n'est pas définie pour x = 0.
y = 2x²+3x-5 soit une fonction partout définie, c'est l'équation d'une parabole.
y = 2x-5 soit une fonction partout définie, c'est l'équation d'une droite.
y = (2x-2) /( x+1) lorsque x = -1, cette fonction n'est pas définie.
Pour qu'une fonction soit partout définie, il ne peut y avoir qu'une seule valeur de y en tous points de la variable x.
y = 2x²+x+1, Df = R et la fonction f(x) est partout continue dans R.
y = 2x²+x+1, n'admet pas de solution en nombres réels, les solutions sont du type complexe.
Donc impossible à factoriser par des réels. Pour toutes valeurs de x => y sera toujours +.
Si x tend vers un infini alors y tendra aussi vers ce même infini.
y = 3x-1, est une fonction partout définie.
y = (2x-3) / (4x-3), n'est pas définie quand 4x-3 = 0 -> 4x = 3 -> pour x = 3/4.
y = 1/x, n'est pas définie quand x = 0.
y n'est pas une fonction, ni même une application. Si en un même point de la variable x, il y a 2 départs ou plus vers y. Donc, sur une même droite verticale (en un point de l'axe des x), on ne peut pas rencontrer 2 points de la fonction y = f(x).
On peut dire qu'une fonction existe sur un plan cartésien, si à toute droite verticale de l'axe des x, on ne rencontre qu'au plus, un point de la fonction y = f(x), à chacune des fonctions, il y a un domaine de définition.
Il serait bien intéressant de voir ce qui se passe aux alentours d'une discontinuité.
Par exemple, la courbe en noir y = (2x-3)/(4x-3), quand x va tendre vers 3/4 par la gauche (- l'infini) ou par la droite (+ l'infini). y = (2x-3)/(4x-3) et y n'est pas défini au point x = 3/4.
Df = les réels moins {3/4}.
La courbe y = (2x-3)/(4x-3) va passer de - l'infini à + l'infini au point x = 3/4, c'est un point que l'on appelle une discontinuité. Analyser, un petit peu avant le point mais aussi un petit peu après ce point de discontinuité, est souvent intéressant.
Dans cette équation y = (2x-3)/(4x-3) que vaut y quand x -> vers 3/4.
Un dénominateur qui tend vers 0 va entraîner y vers un infini. Et comme (2x-3) = (2*3/4 -3) =
(6/4)-3 = (3/2)-3 = (3/2)-(6/2) = -3/2 -> quand x -> vers 3/4, y tendra vers - l'infini.
Dans cette équation y = (2x-3)/(4x-3) que vaut y quand x -> vers 2,9999999 /4 ->proche de 3/4.
(4x-3) = (4*2.9999999 /4) -3 =2,9999999 -3 = - 0,0000001, et donc, y va tendre vers - l'infini.
Dans cette équation y = (2x-3)/(4x-3) que vaut y quand x -> vers 3,0000001 /4, ->proche de 3/4.
(4x-3) = (4*3,0000001 /4) -3 = 3,0000001 -3 = + 0,0000001, et donc, y va tendre vers + l'infini.
Si x tend vers 3/4 par la gauche y -> - l'infini et si x tend vers 3/4 par la droite y -> + l'infini.
La figure ci-dessus montre cette évidence. Si x = 3/4 vous aurez une asymptote verticale pour cette valeur de x. Une asymptote est une droite pour le quelle la fonction y va s'y rapprocher de plus en plus près. L'infini ne sera jamais atteint sur le graphe d'une fonction. Le dos d'un éléphant pour une puce qui s'y trouve dessus sera considéré infini grand alors que pour vous le dos de l'éléphant n'est pas infini.
y = 2x²+x +1, Df = les réels, si x tend vers + l'infini alors y va tendre vers + l'infini.
y = 2x²+x +1, si x tend vers - l'infini alors y va tendre vers + l'infini.
On a regardé le terme le plus élevé qui est 2x².
y = 1/x, Df = les réels moins {0}, si x tend vers 0 alors y tend vers un infini.
y = 1/x si x tend vers 0 par la gauche alors y tend vers - infini. ex) x = - 0,00000001 y = - infini.
y = 1/x si x tend vers 0 par la droite alors y tend vers + infini. ex) x = + 0,00000001 y = + infini.
y = 1/x si x tend vers + l'infini alors y tend vers 0+.
y = 1/x si x tend vers - l'infini alors y tend vers 0-.
Vous voyez bien sûr le graphe ci-dessus que l'axe vertical est ce que l'on appelle une asymptote verticale. Il n'existe pas de valeur d'y quand x = 0, il y a en ce point une discontinuité.
Vous voyez bien sûr le graphe ci-dessus que l'axe horizontal est ce que l'on appelle une asymptote horizontale. Il n'existe pas de valeur d'y quand x = - l'infini et l'on dira plutôt que, lorsque x tend vers - l'infini y va tendre vers 0.
Pour les asymptotes obliques c'est un peu plus difficile, on a donc comme asymptote oblique obligatoirement une équation y = ax + b qui représente une droite.
Cela constitue une fameuse clé pour les mathématiques pour comprendre la suite du cours.
Dans le dernier exercice, nous aurons une asymptote verticale quand 3x³-10x-10 = 0 pour x = 2,202.
Il y a une asymptote verticale, tout près de x = 2,202 et une asymptote horizontale pour y = 0.
L'asymptote horizontale, c'est quand x -> - l'infini et quand x -> + l'infini.
Il y a une asymptote verticale, c'est quand y -> - l'infini et quand y -> + l'infini.
Voilà c'est quand même plus facile quand on peut dessiner le graphe avec un logiciel.
Il y a des cas d'indétermination !
Y = (x²+4x-5) / (x²-1)
Df = R-{1}
Si x = 1 -> (1+4-5) / (1-1) = 0/0, c'est donc une indétermination.
Nous allons lever cette indétermination. (x²+4x-5) / (x-1) = (x+5) et (x²-1) / (x-1) = (x+1).
Donc Y = (x²+4x-5) / (x²-1) = (x-1)(x+5) / ( (x-1)(x+1) -> simplifions -> (x+5) / (x+1) = maintenant si x = 1, on aura 6/2 = 3. La limite de y quand x = +1 donne 3.
Il y a une asymptote verticale pour x = -1 -> (-1+5) / (-1+1) = +4 / 0- = - l'infini.
Il y a une asymptote verticale pour x = -1 -> (-1+5) / (-1+1) = +4 / 0+ = + l'infini.
Avec les graphes, il faut faire attention, on ne voit pas toujours aussi bien une asymptote, pour avoir l'asymptote verte convenablement j'ai du jouer sur les paramètres du graphe.
Points de vérification du graphe, si x = 0 -> y = -5/-1 = 5. et si x = -5 -> y = 25-20-5 / 25-1 = 0/24 = 0.
Limite d'une fonction f(x) quand x tend vers a
Il y a 3 cas possibles.
1er cas la limite quand x tend vers a nous donne A. -> a et A sont des constantes (nombres).
2em cas la limite quand x tend vers a nous donne - l'infini ou + l'infini.
3em cas si les 2 premiers cas n'existent pas, la fonction n'a pas de limites quand x -> a.
Voyons quand x -> - l'infini ou quand x -> + l'infini
1er cas la limite quand x tend vers +-l'infini nous donne A. -> A est une constante (nombre).
2em cas la limite quand x tend vers +-l'infini nous donne - l'infini ou + l'infini.
3em cas si les 2 premiers cas n'existent pas, la fonction n'a pas de limites quand x -> +- l'infini.
Les asymptotes obliques
Une asymptote oblique est donc une droite d'équation générale y = ax+b.
--- ex)
---1
f(x) = 4x + 2/x
Fonction partout définie sauf pour x = 0 donc par tout x Є R*. Df = R-{0}
(4x+2/x)-(ax+b) = 4x-ax+2/x-b = (4x-ax)+(2/x-b) => 4x-ax = 0 => 4x = ax => a = 4
=> 2/x-b = 0 => 2/x = b = 0 quand x tend vers l'infini. y = 4x+b = 4x+0 = 4x.
---2 y = (2x²+4x+2) / (x-5), Df = R-{5}, il y a une asymptote vertical pour x = 5.
Il devrait avoir une asymptote oblique car le degré du numérateur vaut le degré du dénominateur +1.
limite quand x tend vers l'infini (2x²+4x+2)/(x-5) - (ax+b) = 0.
{(2x²+4x+2) - ((x-5)(ax+b))} / (x-5)
{(2x²+4x+2) - (ax²+bx-5ax-5b)} / (x-5)
(2x²+4x+2 -ax²-bx+5ax+5b) / (x-5)
2x²-ax² = 0 => 2x² = ax² => a = 2.
(4x+2 -bx+5ax+5b) / (x-5)
(4x -bx+5ax+5b+2) / (x-5)
mise en évidence de x
x(4-b+5a+5b/x+2/x)/x(1-5/x)
limite quand x tend vers l'infini (4-b+5a+5b/x+2/x)/(1-5/x) = 0
(4-b+5a)/1 = 4-b+10 = 0 => -b = -10-4 => b = 14.
L'équation de la droite oblique sera y = 2x+14. Vérifier ici.
---3
y = 4x²+(1/x) => Df = R-{0}
Pour les plus inélégants, il y a une courbe asymptotique. Telle que y = 4x².
---- 4 y = (-3x²+2) / (x-1). => Df = R-{1}.
Comme le degré du N vaut le degré du D +1. Il y a soit une asymptote oblique ou une asymptote horizontale.
{(-3x²+2) / (x-1)} -(ax+b) = ((-3x²+2)-(x-1)(ax+b))/(x-1) = ((-3x²+2)-(ax²+bx-ax-b))/(x-1) =
(-3x²+2+-ax²-bx+ax+b)/(x-1) = (-3x²-ax²-bx+ax+b+2)/(x-1)
-3x²-ax² = 0 => -3x² = ax² => a = -3.
(-bx+ax+b+2)/(x-1) = (x(a-b)+b+2))/(x-1) => x(a-b+(b/x)+(2/x) / x(1-1/x) = (a-b+(b/x)+(2/x)) / (1-1/x)
limite quand x tend vers l'infini => (a-b)/1 = 0 => (a-b) = 0 => -b = -a => b = a = -3.
Y= (-3x-3) est l'asymptote oblique recherchée.
Pour x = 1, on a une asymptote verticale.
Limite quand x tend vers l'infini de (-3x²+2)/(x-1) = l'infini / l'infini, on a une indétermination.
Attention
Avant de déterminer la limite d'une fonction, il faut déterminer son ensemble de définitions.
Les limites vont nous propulser vers les dérivées, la dérivée n'est qu'une limite particulière.
Si vous avez des difficultés avec les limites la suite, serez encore plus compliquée.
La théorie des limites démystifie les notions d'infini et de voisinage.
Fonctions continues sur un intervalle.
On dit qu’une fonction est continue sur un intervalle si et seulement si, elle est continue
en tout point de cet intervalle.
Petite parenthèse certaines personnes disent que le trou noir du centre de notre galaxie va avaler le système solaire, c'est archi et archi faux ! C'est grâce à lui que le système solaire ne vagabonde pas dans l'univers. Seul un trou noir qui vagabonde et qui passerait tout près du système solaire pourrait avaler le système solaire, mais la probabilité que cela n'arrive est presque nulle.
Si vous apprivoisez la théorie des limites, vous aurez beaucoup moins peur du futur tous les jours.
Nous ne sommes qu'un petit grain infiniment petit dans un univers infiniment grand, vous voyez qu'étudier la théorie des limites peut avoir un bienfait dans la compréhension de l'infini.
Il est possible de refroidir le pôle Nord et le pôle Sud, avec une espèce de parasol situé entre le soleil et la terre (dans l'espace) l'un pour le pôle nord et l'autre pour le pôle sud.
Mais il faudra tout de même lutter contre les pollutions sur notre planète et le réchauffement climatique, juste que l'on aura un délai pour long.
Résumons les limites
Une fonction possède un graphe qui représente une courbe. Une fonction n'est en aucun cas une courbe. Une fonction possède un domaine de définition, Df.
Fonctions continues sur un intervalle.
On dit qu’une fonction est continue sur un intervalle si et seulement si, elle est continue
en tout point de cet intervalle.
La somme et le produit de deux fonctions continues sur un intervalle sont aussi continus
dans cet intervalle.
Résumons les asymptotes
Une fonction possède un graphe qui représente une courbe. Une fonction n'est en aucun cas une courbe.
Une asymptote est une droite représentée par une équation du 1e degré et elle n'appartient pas du tout à la courbe du graphe d'une fonction.
1) Une fonction continue peut croiser une asymptote oblique ou horizontale.
2) Une fonction continue ne peut pas croiser une asymptote verticale.
3) Une fonction continue, peut ne pas avoir d'asymptote oblique ou bien en avoir qu'au maximum 1 seule asymptote oblique.
Cas de fonctions rationnelles f1(x) / f2(x)
1) Une f(x) = f1(x) / f2(x) si f1 et f2 sont des polynômes et que le degré de f1 > le degré de f2+1degré, alors il y a pas d'asymptote. (2x³+2x²+x-10) / (x+3).
2) Une f(x) = f1(x) / f2(x) si f1 et f2 sont des polynômes et que le degré de f1 = le degré de f2+1degré, alors il y aurait une asymptote oblique. (2x²+x-10) / (x+3).
3) Une f(x) = f1(x) / f2(x) si f1 et f2 sont des polynômes et que le degré de f1 = le degré de f2,
alors il y aurait une asymptote horizontale. (2x²+x-10) / (2x²+5x-7).
4) Une f(x) = f1(x) / f2(x) si f1 et f2 sont des polynômes et que le degré de f1 < le degré de f2,
alors il y aurait une asymptote horizontale. (x+3) / (2x²+x-10).
______________________________________________________________________________________________________
A) On obtient une asymptote verticale quand x tend vers un nombre fini et que sa limite tend vers un infini. (En général quand dénominateur est égal à zéro, des valeurs interdites).
B) On obtient une asymptote horizontale quand x tend vers un infini et que sa limite tend vers un nombre fini.
C) On obtient une asymptote oblique quand x tend vers un infini et que sa limite tend vers un infini.
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