Les équations différentielles

Qui dit équation, dit une égalité.

f: x → 2x (se dit une fonction qui a x associe 2x).

f(x) = 2x

Posons que la variable y est la fonction f(x), c'est une variable dépendent de la variable x.

y = f(x) = 2x

1) Rechercher une intégrale sur un intervalle de R d'une fonction continue dans cet intervalle, c'est déjà une équation différentielle.

Si y = f(x) = x² alors y' = 2x.

–---ex) Si y' = 2x donc y = 2x² / 2 = x² + Cte, et y est la primitive de y'.

Donc l’équation différentielle est « y' + y = x² + 2x +C» par exemple.

2) Prenons le problème dans l'autre sens.

y'+y = x²+2x +C qui est une autre équation différentielle.

Nous savons par notre construction que y = x²+ C et que y' = 2x

Donc y = x²+C est la solution générale de l'équation différentielle.

3) y'''+y''+y'+y = 10 est une équation différentielle du 3e ordre.

(E) : (x,y,y',y'',y''',….) avec (E) → Équation différentielle du ne ordre.

(Eh) : 2y'+4y = 0 est une équation homogène du 1er ordre.

Homogène, car le membre de gauche de l'équation est nul.

On commence par diviser par 2 tous les termes de l'équation diff.

2y'+4y = 0 → y'+2y = 0 → y' = -2y → y'/y = -2.