la différentielle

Attention, pour un intervalle continu de x à (x+∆x), une dérivée en un point M de la courbe de f(x) nommée C, elle représente un angle formé par le rapport dy / dx, pour autant que dx est très très petit.

Et en trigonométrie, la tangente ( ɵ ) = la tangente  (TMH ), c'est le côté opposé (dy) sur le côté adjacent (dx). 

L'angle formé (TMH ) par le rapport dy / dx est toujours le même sur toute la droite rouge que l'on appellera ainsi une tangente à cette courbe C au point M de celle-ci.

-1- dy est la différentielle, dans la figure ci-dessus dy est plus petit que  ∆y, car on a une courbe croissante. 

-2- La tangente au point M est la droite rouge sur la figure ci-dessus qui représente tous les points formés par le même angle (TMH) à partir de ce point M. 

La dérivée au point M de la courbe C de f(x) est f'(x) et cette dérivée exprime l'angle qu'a la tangente à ce même point M de cette courbe par rapport à l'axe des x. 

Si ∆x est très petit, mais non nul, alors dy est très proche de  ∆y. La marche d’erreur est très très faible.

Or MTH est un triangle rectangle et l'angle (TMH) est la dérivée au point M de la fonction f(x), -> f'(x) au point M vaut dy / ∆x.  Si dx = ∆x alors f'(x) = dy / dx.

Et dy = f'(x) * dx. Plus l'angle (TMH) est petit plus dy se rapprochera de ∆y.

Une remarque la droite verte est une corde de la fonction f(x) qui part du point M vers le point M'. Il y aura une tangente à f(x) parallèle à cette droite verte dans l’intervalle de x à (x+∆x).

L'angle du segment en vert entre M et M' avec l'axe des x vaut, la tangente du rapport de ∆y /∆ x. Et cet angle sera égal à l'une des dérivées de f(x) entre M et M'.

Vous le voyez bien, si vous prenez une latte et que vous descendez une parallèle à cette droite verte, vous finirez bien par avoir une tangente au graphe de f(x) pour une certaine valeur de x comprise entre l'intervalle de x à (x+∆x).

On va faire un exercice

Y = 3x³+2x²-x-5. Cette fonction est partout définie.

Y' = 9x²+4x-1.

On va prendre un point sur l'axe des x, et on va l'appeler x1 = 0,5.

D'où, Y = 3*0,5³+2*0,5²- 0,5 -5 = 3+ 2 -1 -5 = 0,375 +0,5 - 0,5 -5 = -4,625.

D'où, Y' = 9*0,5²+4*0,5-1 = 2,25 +2 -1= 3,25.

La droite en rouge sur la figure ci-dessus est la tangente pour x1= 0,5.

la tangente ( ɵ ) = 3,5 / 1 ->  ɵ  = arctg (3,5/1) = 1,292 radians ou 74°.

La dérivée de la fonction f(x) = f'(x) = dy / dx = 3,5 / 1 au point (0,5;-4,65) du graphe de f(x) et l'angle est de 74°. -> dy = f'(x)*dx.

Et dy = 3,5*1 = 3,5 au point x = 0,5 de la f(x) = 3x³+2x²-x-5.

Si dx tend vers 0 au point x1 alors on retrouvera f'(x). Donc, on va retrouver la dérivée de f(x).

Si dx = 0,000000000001 au point x1 alors, y = f'(x). Et dy ~ y'(x).

Pour autant que dx est infiniment petit mais pas nul alors, dy = y'(x).

L'erreur est donc négligeable.

C'est pour cette raison que y'(x) = dy / dx.

On dira que la dérivée d'une fonction f(x) est f'(x) et que c'est la dérivée de cette fonction f(x) = y par rapport à la variable indépendante x.

On représente la dérivée d'une fonction appelée y par rapport à sa variable indépendante x. Cela nous permettra d'étudier les dérivées partielles de plusieurs fonctions.

Une fonction est représentée par f(x) qui va dépendre d'une variable indépendante qu'est x. 

Une fonction n'est pas une variable, mais elle est représentée par la lettre y ou f(x).

Une fonction qui représente la surface d'un carré dont le côté a une longueur qui vaut x cm.

y = f(x)= S = x². Or dS = f'(x)*dx. -> dS = 2x*dx.

Si x = 5 cm = 50 mm alors la surface vaut 25 cm²=2500 mm². Si la variation de la surface vaut + 1 mm², la surface réel vaut 2500+1=2501 mm².

Si la variation est uniforme dans les 2 directions, le côté aura pour valeur la racine carrée de 2501 = 50,009999 mm.

Donc, dx = 50,009999 - 50 = 0,009999 mm.

Et ds = 2*50*dx.= 100*dx = 100*0,009999 = 0,9999 mm².

Le ∆s = 1 mm². Et ds = 0,9999 mm².

Avec dx, il nous manque juste qu'un petit bout de surface, l'erreur est très négligeable.

La mini erreur est la zone rose.

On nomme souvent la dérivée d'une fonction f(x) par f'(x) ou par df(x) / dx.

Si f(x) = x³ -5x + 5 et que x=3 et dx = 1/4.

df(x) / dx = 3x²-5 -> dy = (3x²-5)*1/4 = (3*3²-5)*1/4 = 22/4 = 11/2.

 f''(x) = d²/dx² = 6x.

f'''(x) = d³/dx³ = 6.

La suite les nombres complexes