Заняття № 27 "Основні правила комбінаторики. Частота та ймовірність випадкової події " (23.03.2024)
Embedded Files
Інфографіка до теми. Нам часто доводиться чути про ...
Скількома способами можна проїхати з міста A до міста C?
Тетянка має п’ять суконь і три пари черевичків. Скільки варіантів вибрати вбрання є в Тетянки?
Кафе пропонує меню з 3 перших страв, 6 других страв і 5 третіх страв. Скільки є способів вибрати обід з трьох страв (по одній страві кожного виду)?
Команді пропонують футболки трьох кольорів: червоного, зеленого та блакитного, а також труси двох кольорів — білого та жовтого. Скільки варіантів вибрати форму є в команди?
Скількома способами можна розташовувати в турнірній таблиці 10 футбольних команд, якщо жодні дві з них не набрали порівну очок?
Який / яка я сьогодні ? Створимо разом дошку емоцій ? (посилання). Кольори
Трішки теорії та історії
Базові поняття комбінаторики і розраховані результати з'явилися ще в стародавньому світі.
В 6-му столітті до н.е. індійський лікар Сушрут в своїй праці наводить, що із 6-ти різних смаків можна утворити 63 різні комбінації.
Комбінаторика, або комбінаторний аналіз – це розділ математики, що розглядає задачі вибору та розташування елементів деякої, зазвичай, скінченної множини відповідно до заданих правил.
У завданнях з комбінаторики, зазвичай, потрібно з'ясувати, чи можливо скласти комбінацію певного вигляду і скільки різних комбінацій можна скласти.
Наприклад (правило суми) - на тарілці лежать 5 яблук і 9 груш. Один плід можна обрати 5+9=14 (способами)
Наприклад (правило добутку) – із 6 видів конвертів без марок і 5 марок один конверт і одну марку можна вибрати 6 (способами)
Комбінаторні задачі
У групі 15 хлопців і 12 дівчат. Скількома способами можна вибрати : 1) хлопця; 2) дівчину; 3) одного студента цієї групи; 4) двох студентів – хлопця й дівчину
Розв’язання: 1) хлопця можна вибрати 15 способами; 2) дівчину можна вибрати 12 способами; 3) за правилом суми або дівчину або хлопця можна вибрати 15+12 =27 способами; 4) за правилом добутку вибрати двох студентів - хлопця й дівчину – можна 15·12=180 способами.
Відповідь: 1)15; 2)12; 3) 27;4) 180 способами.
Скількома способами можна пошити триколірний прапор, якщо є тканини 5 різних кольорів?
Розв’язання
Перший колір можна вибрати п’ятьма способами, другий – чотирма, третій – трьома. За правилом добутку триколірний прапор можна зшити 5·4·3=60 способами.
Відповідь: 60.
Скількома способами можна вибрати 1 фрукт?Грушу можна вибрати 4 способами, а яблуко можна вибрати 5 способами, для вибору сливи є 6 способів.
1 фрукт можна вибрати 4+5+6=15 способами.
Скількома способами можна вибрати пару, 1 яблуко і 1 грушу? Грушу можна вибрати 4 способами, а яблуко можна вибрати 5 способами.
Пару фруктів можна вибрати 4∙5=20 способами.
З міста А в місто В можна добратися 12 потягами, 3 літаками, 23 автобусами. Скількома способами можна добратися з міста А у місто В?
Розв'язання. N=12+3+23=38.
У магазині є три види печива і десять видів цукерок. Сергій хоче купити сестрі або печиво, або цукерки. Скількома способами він може це зробити?
Відповідь: 3 + 10 =13 способами
У турнірі беруть участь 8 команд з хокею. Скільки існує способів розподілити перше, друге та третє місця?
Розв'язання. N=8·7·6=336
У класі 12 хлопців і 10 дівчат. Скількома способами можна делегувати одну дівчину та одного хлопця в шкільний комітет самоврядування?
Відповідь: 12·10 = 120 способами.
Скільки різних трицифрових чисел можна скласти із цифр 1,2,3,4,5 так щоб у кожному числі не було однакових чисел
Відповідь: 5 · 4 · 3 = 60 чисел.
Скільки різних речень можна написати словами “ми”, “любимо”, “грати”? А словами “ми”, “дуже”, “любимо”, “грати”?
Відповідь: 3! = 6, 4! = 24.
Скільки різних двозначних чисел можна скласти з цифр 1, 2 і 3, якщо кожну використовувати тільки один раз?
Деревоподібна діаграма — один зі способів показати і систематизувати всі розміщення. За допомогою деревовидної діаграми здійснюється повний перебір.
Скількома способами 5 осіб можуть утворити чергу до каси?
Відповідь: 5! = 120.
Теорія ймовірностей (історія). Теорія
Первісне поняття теорії ймовірності - подія
Подія — це явище, про яке можна сказати, що воно відбувається чи не відбувається за певних умов. Події позначаються великими буквами латинського алфавіту: А, В, С... Будь-яка подія відбувається внаслідок випробування (експерименту або досліду).
Випробування
Випробування — це умови, в результаті яких відбувається (чи не відбувається) подія.
Випробування - кидання монети, випадкова подія - випадання герба.
Випробування - участь у грі “Лото”, випадкова подія - виграш.
Випробування - стрибок з парашутом, випадкова подія - вдале приземлення.
Випробування - народження дитини, випадкова подія - стать дитини - чоловічий.
Випробування - спостереження за погодою протягом дня, випадкова подія - протягом дня був дощ.
Випадкова подія
Випадковою подією називається подія, яка може відбутися або не відбутися під час здійснення певного випробування.
Випадкові події можуть бути масовими та одиничними.
Масовими називають однорідні події, що спостерігаються за певних умов, які можуть бути відтворені (можна спостерігати) необмежену кількість разів. Наприклад, влучення або промах в серії пострілів; поява бракованих деталей при серійному випуску; радіоактивний розпад атомів речовин і т. д.
Прикладом одиничної випадкової події є падіння Тунгуського метеорита. Теорія ймовірностей вивчає лише масові випадкові величини.
Вірогідна подія
Вірогідною називається подія, яка внаслідок даного випробування обов'язково відбудеться. Наприклад, подія А — «поява на одній із граней грального кубика натурального числа, меншого за 7» — є вірогідною.
Неможлива подія
Неможливою називається така подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися. Наприклад, подія А — «поява на одній із граней грального кубика цифри 7» — є неможливою.
Рівноможливі події
Рівноможливі серед них жодна не має переваг у появі перед іншими
А: Після підкидання граль-ного кубика випало 4 очка
В: Після підкидання граль-ного кубика випало 2 очка
Несумісні події
Несумісні події, які не можуть одночасно відбутися під час одного експерименту
А: Після підкидання монети випав герб
В: Після підкидання монети випала цифра
Вiдносна частота подiї
Вiдносна частота (статистична ймовiрнiсть) подiї — це вiдношення тих спроб, у яких вiдбулася подiя, до всiх спроб у серiї випробовувань
Ймовірність події
Ймовірність події — це чисельна міра об'єктивної можливості цієї події (інтуїтивне означення ймовірності). Ймовірність події А позначається Р(А).
Задачі на теорію ймовірностей, інтерактиви
В урні є 4 білих і 7 чорних куль. З неї навмання виймають одну кулю. Яка з вказаних подій є ?
Знайти ймовірність того, що під час підкидання грального кубика випаде 9 очок
Знайти ймовірність того, що під час підкидання грального кубика випаде менше ніж 7 очок
Знайти ймовірність того, що під час нагрівання вода перетвориться на лід
Яка ймовірність того, що при одному киданні грального кубика випаде число очок, що дорівнює: двом, п'яти, парному числу; числу, кратному 6 ?
У гральній колоді 36 карт. Навмання вибирається одна карта. Яка ймовірність того, що ця карта
В ящику знаходиться 45 кульок, з яких 17 білих. Загубили дві не білих кульки. Яка ймовірність того, що вибрана навмання одна кулька буде білою?
В школі 1500 учнів. З них 25 порушують дисципліну. Яка ймовірність того, що один з них попадеться на очі директору школи?
У коробці 4 сині, 3 білі та 2 жовті кульки. Яка ймовірність того, що витягнута навмання кулька: а) біла; б) жовта; в) синя?
Одночасно кидають два кубика. Яка ймовірність того, що сума очок, які випали на обох з них, дорівнює восьми?
Задачі на теорію ймовірностей сторінками ЗНО, інтерактиви
У відділі працює певна кількцість жінок та чоловіків. Для анкетування навмання вибрали одного зі співробітників. Ймовірність того, що це чоловік дорівнює 2/7. Знайдіть відношення кількості жінок до кількості чоловіків, які працюють у цьому відділі.
Пасічник зберішгає мед в закритих металевих бідонах. Їх у нього 12: у трьох бідонах - квітковий мед; у чотирьох - мед з липи; у п'яти - мед з гречки. Знайдіть ймовірність того, що перший навмання відкритий бідон буде містити квітковий мед.
У лотереї 10 виграшних і 290 білетів без виграшу. Яка ймовірність того, що перший придбаний білет цієї лотереї буде виграшним ?
Майстер обслуговує три верстати: 20 % робочого часу він обслуговує 1-й верстат; 30% - другий; 50% - третій. Обчисліть ймовірність того, що в навмання вибраний момент робочого часу майстер обслуговує перший або третій верстат.
Підсумок заняття. Рефлексія
Page updated
Google Sites
Report abuse