PROBABILITES

A.1 - Bases de la théorie des probabilités : Notion intuitive de probabilité, phénomène déterministe et aléatoire, vocabulaire et notions associées, univers des possibles, évènement, famille d'évènements, tribu, mesure mathématique, mesure de probabilité et axiomes, probabilité d'une réunion d'évènements, probabilité conditionnelle, probabilité composée, évènements indépendants, probabilité totale, arbre de probabilité, théorème de Bayes.

A.2 - Variables aléatoires : Définition, variable aléatoire discrète et continue, insertion d'un nouvel espace mesurable, loi de probabilité et densité de probabilité, fonction de répartition, espérance mathématique, théorème de transfert et utilité, moments d'ordre n d'une variable aléatoire, variance et écart-type, fonction caractéristique et quelques unes de ses propriétés de base, lien entre fonction caractéristique et Moments d'ordre n.

A.3 - Cardinalité et dénombrement : Application, injection, surjection, bijection, produit cartésien de deux ensembles non vides, définition d'une partition, cardinal d'un produit cartésien, Lemme des bergers, principe de multiplication, mécanique de base du raisonnement par récurrence.

A.4 - Tirage ordonné avec remise ( les p-listes ou k-uplets ) : Situation générale du problème, du produit cardinal à la p-liste, généralisation du raisonnement, exemples classiques détaillés, approche intuitive du nombre d'applications entre deux ensembles non vides, lien avec un tirage ordonné avec remise, nombre de parties d'un ensemble non vide, notion générale de fonction indicatrice.

A.5 - Tirage ordonné sans remise ( Arrangement et Permutation ) : Situation du problème et observations, rappel du principe de multiplication et exemple, rappel sur application et application injective, cas général de l'arrangement et changement d'expression, cas particulier de la permutation, fiche de synthèse et remarques.

A.6 - Principe des tiroirs / pigeonhole principle ( Complément au thème A.5 ) : Situation du problème, rappels sur parties entières et décimales, énoncé du principe, comparaison avec le lemme des bergers, 2 exemples de base.

A.7 - En Attente

A.8 - Tirage non ordonné sans remise ( Combinaison / Coefficient binomial ) : Situation du problème et première approche simplifiée, rappels sur les p-listes et les arrangements, expression de la combinaison ou coefficient binomial, approche ensembliste, propriétés de base, relation de symétrie ( approche algébrique et combinatoire ) , relation du pion ou du capitaine ( approche algébrique et combinatoire ), relation de Pascal ( approche algébrique et combinatoire ), étapes de construction du triangle de Pascal, expression du binôme de Newton.

B.1 - Séries numériques, séries entières et séries de Fourrier : Cette partie est la reprise de l'étude des séries déjà présente sur ce site dans la partie "Génie électrique / Mathématiques / Algèbre classique BAC+2 ". Elle s'avère être ici un complément intéressant par la synthèse qu'elle présente. Les cours présentés sont accompagnés d'exercice corrigés.

B.2 - Compléments sur le théorème de transfert :  Application et variable aléatoire, partition et univers des évènements, autour de l'espérance mathématique, espérance dans l'univers des évènements et développement des mécanismes de changement utilisés, principe et exemple de base, mise en place des évènements élémentaires et double sommation, énoncé du théorème et développement des démarches calculatoires, synthèse et utilité du théorème.

B.3 - Approche pratique de la fonction génératrice des moments : Situation du problème, définition, premières propriétés, calculs des moments et mise en place détaillée d'un exemple, unicité des moments, limite d'utilisation de la fonction génératrice des moments.

B.4 - Rappels sur quelques moyennes :  Notion générale, ce qu'elle est et ce qu'elle n'est pas, la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique, la moyenne harmonique, la moyenne quadratique.

C.1 - Loi uniforme discrête ( Équiprobabilité d'évènements ) et annexes diverses : Première présentation par le biais d'un exemple simple, définition, étude de base d'un cas général, famille de cas particuliers pouvant se ramener à une série arithmétique de raison 1, prise en compte d'un intervalle [ a ; b ], prise en compte d'un intervalle [ 1 ; n ], détermination détaillée d'espérance et de variance, synthèse.

Annexes : Expression d'une somme de nombres entiers allant de 1 à n, expression d'une somme de carrés de nombres entiers allant de 1 à n, expression d'une somme de nombre entiers allant de la valeur p à la valeur n, variance d'une constante, espérance et variance d'une fonction affine.

C.2 - Loi de Bernoulli ( Mise en place et utilisation de la notion "succès - échec" ) : Épreuve de Bernoulli, définition et représentations de la loi de Bernoulli, espérance, variance et écart-type.

C.3 - Loi binomiale ( loi AVEC remise / Probabilité d'obtenir k succès parmi n essais ) : Quelques rappels  ( application et variable aléatoire, coefficient binomial, binôme de Newton, évènements indépendants ), expérience de Bernoulli et mécanisme général de la loi binomiale, schémas de Bernoulli avec n=2 puis n=3, caractérisation de la loi binomiale et exemples,  quelques exercices avec correction, moments d'une loi binomiale, calculs directs et utilisation de la fonction génératrice des moments, notes élémentaires sur la loi faible des grands nombres.

C.4 - Loi Géométrique ( loi AVEC remise / Probabilité du premier succès ) : Première approche et mécanisme général, expressions rencontrées, formules parfois utilisées, exemple et fonction de répartition, absence de mémoire de la loi géométrique, Interprétation avec exemples de l'absence de mémoire de la loi, valeurs de l'espérance et de la variance.

C.5 - Loi Hypergéométrique ( loi SANS remise / Probabilité d'obtenir k succès parmi n essais ) : Quelques rappels de dénombrement ( k-listes, arrangements, combinaisons, comparatif et tableau de synthèse ), contexte d'utilisation et montage de la loi hypergéométrique à l'aide d'exemples progressifs commentés, différentes écritures possibles, le problème de la cardinalité, Expression de l'espérance et de la variance, approximation de la loi hypergéométrique à la loi binomiale.

D.1 - Fonctions de densité et de répartition ( incluant exemples, exercices corrigés et figures explicatives ) :

• Continuité d'une fonction : Notion de voisinage, limite d'une fonction en un point, limite à droite et à gauche d'un point, continuité en un point x0, continuité à droite et à gauche, fonction continue sur un intervalle, théorèmes généraux ( admis ).

• Dérivabilité d'une fonction : Approche progressive d'une définition, dérivée à droite et à gauche d'un point, dérivabilité sur un intervalle, dérivabilité et continuité.

• Notion d'absolue continuité : Situation du problème, définition et exemple, synthèse de base.

• Fonction de densité : Définition, exemples commentés, exercices de base avec correction.

• Fonction de répartition : Définition et remarques, exemples et contre-exemples, exercices de base avec correction, liens avec la fonction de densité, densité dite "classique", densité dite "non classique", exercices de base avec proposition de correction sur les répartitions et densités dites "classiques" et mixtes.