Leçon n°6 : GEOMETRIE, GEOMETRIES
LE PLUS COURT CHEMIN D'UN POINT A UN AUTRE EST LA LIGNE DROITE,
A CONDITION QU'ILS SOIENT BIEN L'UN EN FACE DE L'AUTRE
Pierre Dac
La structuration de l’espace chez le jeune enfant
Du concret à l'abstrait, on distingue trois "types d'espace" :
Le carré est un quadrilatère ayant des propriétés (longueurs, angles) invariantes par déplacement.
Cependant, le jeune enfant ne reconnaîtra pas cette figure...
... comme un carré !
Au cours des deux premières années de sa vie l’enfant construit l’espace sensori-moteur. Cet espace, physique, vécu, sert de base à la construction lente et progressive d’un espace représenté mentalement, construction qui s’achèvera à l’approche de l’adolescence.
La structuration de l’espace se construit à travers 4 types de géométries qui apparaissent successivement puis se développent simultanément.
On peut ainsi les imaginer comme des « géométries gigognes » :
La géométrie topologique
C'est la « géométrie de la membrane de caoutchouc »...
Si on étire la « membrane de caoutchouc » (dans tous les sens) ...
Quelles sont les propriétés qui restent invariantes ?... (réponse plus loin)
La géométrie projective
C'est la « géométrie des figures planes projetées sur un écran »
La source lumineuse (ponctuelle)se déplaçant...
Quelles sont les propriétés qui restent invariantes ?... (réponse plus loin)
La géométrie affine
C'est la « géométrie des figures planes projetées sur un écran à partir d’une source lumineuse située à l’infini (soleil) ».
Quelles sont les propriétés qui restent invariantes ?... (réponse plus loin)
La géométrie euclidienne
C'est la « géométrie des transformations isométriques » (celle que l’on enseigne à l’école et au collège)
Un tableau et un schéma pour résumer...
Voici une maison
Les maisons suivantes sont topologiquement équivalentes au modèle :
Les maisons suivantes ne sont pas topologiquement équivalentes au modèle :
(1) Une ligne n'est pas fermée
(2) Il manque un "trou" (une fenêtre).
(3) La porte n'est pas à l'intérieur de la façade.
La maison suivante est équivalente au modèle en géométrie projective :
(C'est la "même maison", un peu "bancale" - les droites restent des droites)
La maison suivante est équivalente au modèle en géométrie affine :
(C'est la "même maison", un peu "penchée" - le parallélisme est respecté)
La maison suivante est équivalente au modèle en géométrie euclidienne :
(c'est la "même maison" - après une légère rotation)
Un paradoxe pour terminer…
Ces géométries sont enseignées (de l’Ecole à l’Université) dans un ordre rigoureusement inverse à celui de la construction de l'espace chez l'enfant...