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Gli Elementi di Euclide (300a.c.) fondano la geometria del piano su cinque postulati che possiamo così riassumere:
Per due punti passa una ed una sola retta
Ogni retta può essere prolungata indefinitamente
Si può descrivere un cerchio con qualunque centro ed ogni distanza
Tutti gli angoli retti sono uguali
Dato un punto P esterno ad una retta, per esso passa una ed una sola retta parallela alla retta data
L' ultimo assioma, il quinto, nel corso dello sviluppo successivo del pensiero matematico non sembra evidente e molti matematici nel corso degli anni tentarono di dimostrare che dipendesse dai primi quattro.
Fu solo nel XIX secolo che il problema trovò una soluzione con i lavori di Bolyai, Gauss, Lobacevskij, Riemann.
Nella geometria di Lobacevskij si mostra che si possono costruire geometrie in cui non vale l' unicità: "per un punto P esterno ad una retta si possono condurre pù rette parallele ad una retta data "( modello di Klein)
Nel modello di Klein, il piano è un cerchio privato della circonferenza , i punti, sono i punti del cerchio, mentre le rette sono le corde dello stesso cerchio.Considerando la retta PQ, un punto C fuori di essa, esistono infinite rette passanti per C che non intersecano PQ e che, pertanto, risultano parallele ad essa.Non vi è più, dunque, una sola geometria, ma più geometrie la cui adeguatezza va ricercata nella propria coerenza logica . Questioni come la non contraddittorietà e l' indipendenza degli assiomi si trovano al centro della ricerca matematica moderna.
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