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Post date: 29-may-2014 13:55:43
Ya sabemos lo que son los números primos. Sin embargo, conviene recordar un pasaje de la obra El burgués gentilhombre, de Molière, en el que el protagonista, cuando se le pregunta si sabe algo en particular, contesta: “Haced como si no lo supiera y explicádmelo”. Así que para partir de un conocimiento común, comenzaremos por algunas definiciones.
En este artículo, vamos a usar sólo los números naturales (o enteros positivos). No quiero dar aquí una definición rigurosa, pero sí ponernos de acuerdo acerca de qué números estoy hablando: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,…, 100, 101, 102,…,}
Excluyamos al número 1 de las consideraciones que siguen, pero como ustedes pueden comprobar fácilmente, cualquier otro número tiene siempre por lo menos dos divisores: sí mismo y 1. (Un número es divisor de otro, si lo divide exactamente. O sea, si al dividir uno por otro, no tiene resto o lo que es lo mismo: el resto es cero.)
Por ejemplo:
El 2 es divisible por 1 y por sí mismo (el 2),
El 3 es divisible por 1 y por sí mismo (el 3),
El 4 es divisible por 1, por 2 y por sí mismo (el 4),
El 5 es divisible por 1 y por sí mismo (el 5),
El 6 es divisible por 1, por 2, por 3 y por sí mismo (el 6),
El 7 es divisible por 1 y por sí mismo (el 7),
El 8 es divisible por 1, por 2, por 4 y por sí mismo (el 8),
El 9 es divisible por 1, por 3 y por sí mismo (el 9),
El 10 es divisible por 1, por 2, por 5 y por sí mismo (el 10).
Uno podría seguir con esta lista indefinidamente. Con todo, revisando lo que pasa con los primeros naturales, uno detecta un patrón: todos son divisibles por el 1 y por sí mismos. Puede que tengan más divisores, pero siempre tienen por lo menos dos. Quiero agregar aquí un par de ejemplos más, para invitarlo a pensar en una definición. Observen:
El 11 es divisible solamente por 1 y por sí mismo.
El 13 es divisible solamente por 1 y por sí mismo.
El 17 es divisible solamente por 1 y por sí mismo.
El 19 es divisible solamente por 1 y por sí mismo.
El 23 es divisible solamente por 1 y por sí mismo.
El 29 es divisible solamente por 1 y por sí mismo.
El 31 es divisible solamente por 1 y por sí mismo.
¿Advierten un patrón en todos estos ejemplos? ¿Qué les sugiere que el 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 tengan únicamente dos divisores mientras que el resto de los números tengan más de dos? Una vez que tienen esa respuesta (y si no la tienen, también) escribo una definición:
Un número natural (distinto de 1) se dice que es un número primo si y sólo si tiene exactamente dos divisores: el 1 y él mismo.
Como se ve, pretendo aislar a un grupo de números porque tienen una característica muy especial: son divisibles por sólo dos números, ellos mismos y el número uno.
Ahora escribamos en una lista los que aparecen entre los primeros cien números naturales:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Hay 25 primos entre los primeros cien números. Hay 21, entre 101 y 200. Hay 16, entre 201 y 300. Hay 16, entre 301 y 400. Hay 17, entre 401 y 500. Hay 14, entre 501 y 600. Hay 16, entre 601 y 700. Hay 14, entre 701 y 800. Hay 15, entre 801 y 900. Hay 14, entre 901 y 1.000.
Es decir, hay 168 en los primeros mil números. Si uno se fija en cualquier “tablita” de números primos, la secuencia empieza a hacerse más “fina”. Es decir, hay 123 primos entre 1.001 y 2.000, 127 entre 2.001 y 3.000, 120 entre 3.001 y 4.000. Y así podríamos seguir. Aunque surgen algunas preguntas… muchas preguntas. Por ejemplo:
a) ¿Cuántos primos hay?
b) ¿Se acaban en algún momento?
c) Y si no se acaban, ¿cómo encontrarlos todos?
d) ¿Hay alguna fórmula que produzca primos?
e) ¿Cómo están distribuidos?
f) Si bien uno sabe que no puede haber primos consecutivos, salvo el 2 y el 3, ¿cuántos números consecutivos podemos encontrar sin que aparezca ningún primo?
g) ¿Qué es una laguna de primos?
h) ¿Qué son los primos gemelos?
En esta página sólo me propongo responder algunas, pero lo mejor que podría pasar es que quien esté leyendo estas notas sienta la suficiente curiosidad como para ponerse a pensar algunas de las respuestas o bien a buscar en los diferentes libros del área (Teoría de Números) qué es lo que se sabe de ellos al día de hoy y qué problemas permanecen abiertos.
El objetivo es exhibir ahora una prueba de que los números primos son infinitos. Es decir, que la lista no termina nunca. Supongamos que no fuera así. O sea, supongamos que al tratar de “listarlos”, se agotan en algún momento.
Los llamaremos entonces p1, p2, p3, p4, p5,…, pn de manera tal que ya estén ordenados en forma creciente.
p1< p2 < p3 < p4 < p5 <… < pn
En nuestro caso sería como poner:
2 < 3 < 5 < 7 < 11 < 13 < 17 < 19 <… < pn
Es decir, estamos suponiendo que hay n números primos. Y además, que pn es el más grande de todos. Está claro que si sólo hay un número finito de números primos, tiene que haber uno que sea el más grande de todos. Es decir: si uno tiene un conjunto finito de números, uno de ellos tiene que ser el más grande de todos. No podríamos decir lo mismo si el conjunto fuera infinito, pero en este caso, como estamos suponiendo que hay sólo finitos primos, uno de ellos tiene que ser el mayor, el más grande.
A ese número lo llamamos pn.
Vamos a fabricar ahora un número que llamaremos N.
N = (p1 . p2 . p3 . p4 . p5… pn ) + 1
Por ejemplo, si todos los números primos fueran:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, entonces, el nuevo número N sería:
2 . 3 . 5 . 7 . 11 . 13 . 17 . 19 + 1 = 9.699.691
Ahora bien. Como este número N es mayor que el más grande de todos los primos, es decir, es mayor que pn, entonces, no puede ser un número primo (ya que hemos supuesto que pn es el mayor de todos).
Luego, como N no puede ser primo, tiene que ser divisible por un primo. Por lo tanto, como todos los primos son p1, p2, p3, p4, p5, …, pn entonces, alguno de ellos, digamos el pk tiene que dividirlo. O lo que es lo mismo, N tiene que ser múltiplo de pk.
Esto quiere decir que
N = pk . A
Ahora, como el número (p1 . p2 . p3 . p4 . p5… pn) es también múltiplo de pk, llegaríamos a la conclusión de que tanto N como (N – 1) son múltiplos de pk. Y eso es imposible. Dos números consecutivos no pueden ser nunca múltiplos de un mismo número (salvo del uno).
Ahora miremos en un ejemplo cómo sería esta demostración.
Supongamos que la lista de primos (que suponemos es finita) fuera la siguiente:
2 < 3 < 5 < 7 < 11 < 13 < 17 < 19
O sea, estaríamos suponiendo que 19 es el primo más grande que se puede encontrar.
En ese caso, fabricamos el siguiente número N:
N = 2 . 3 . 5 . 7 . 11 . 13 . 17 . 19 + 1 = 9.699.691
Por otro lado, el número
(2 . 3 . 5 . 7 . 11 . 13 . 17 . 19) = 9.699.690 = N – 1.
El número N = 9.699.691 no podría ser primo, porque estamos suponiendo que el más grande de todos es el número 19. Luego, este número N tiene que ser divisible por un primo. Ahora bien, este primo debería ser uno de los que conocemos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y/o 19. Elijamos uno cualquiera para poder seguir con el argumento (aunque ustedes, si quieren, comprueben que es falso… ninguno de ellos divide a N). Supongamos que 7 es el número que divide a N. Por otro lado, el número (N – 1) es obviamente múltiplo de 7 también.
Entonces tendríamos dos números consecutivos, (N – 1) y N, que serían ambos múltiplos de 7, lo que es imposible. Por lo tanto, esto demuestra que es falso suponer que hay un número primo que es mayor que todos y concluye la demostración.
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