Conjetura de Goldbach

Post date: 12-abr-2014 23:39:49

Estoy seguro de que a ustedes les habrá pasado alguna vez que se tropezaron con una idea pero no estaban tan seguros de que fuera cierta y se quedaron un rato pensándola. Si no les ocurrió nunca, empiecen ahora, porque nunca es tarde. Pero lo maravilloso es poder “entretener” en la cabeza de uno algún problema cuya solución sea incierta. Y darle vueltas, mirarlo desde distintos ángulos, dudar, empezar de nuevo. Enfurecerse con él. Abandonarlo para reencontrarlo más tarde. Es una experiencia inigualable: se las recomiendo.

En la historia de la ciencia, de las distintas ciencias, hay muchos ejemplos de situaciones como las que expuse en el párrafo anterior. En algunos casos, los problemas planteados pudieron resolverse sencillamente. En otros, las soluciones fueron mucho más difíciles, llevaron años (hasta siglos). Pero como ustedes ya sospechan a esta altura, hay muchos de los que todavía no se sabe si son ciertos o falsos. Es decir: hay gente que ha dedicado su vida a pensar que el problema tenía solución, pero no la pudieron encontrar. Y otros muchos que pensaron que era falso, pero no pudieron encontrar un contraejemplo para exhibir.

De todas formas, resolver alguna de las que aún permanecen “abiertas”, traería fama, prestigio y también dinero al autor. En esta entrada quiero contar un poco sobre una conjetura conocida con el nombre de “La Conjetura de Goldbach”. El 7 de junio de 1742 (piensen entonces que ya pasaron 272 años), Christian Goldbach le escribió una carta a Leonhard Euler (uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos), sugiriéndole que pensara una demostración para la siguiente afirmación:

“todo número par positivo, mayor que dos, se puede escribir como la suma de dos números primos”.

Por ejemplo, veamos los casos más fáciles:

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 7 + 7 = 3 + 11

16 = 5 + 11

18 = 7 + 11 = 5 + 13

20 = 3 + 17 = 7 + 13

22 = 11 + 11

24 = 11 + 13 = 7 + 17

…

864 = 431 + 433

866 = 3 + 863

868 = 5 + 863

870 = 7 + 863

y así podríamos seguir.

Hasta hoy (abril de 2014), se sabe que la conjetura es cierta para todos los números pares que sean menores que 4 . 10¹³.

La novela Uncle Petros & Goldbach’s Conjecture del escritor australiano (aunque creció en Grecia) Apostolos Doxiadis, publicada en 1992, en griego y traducida a diversos idiomas en el año 2000, es la que promovió que las compañías editoras Faber y Faber de Gran Bretaña y Bloomsbury Publishing de Estados Unidos ofrecieran un millón de dólares a quien pudiera resolver la Conjetura. Doxiadis es también reconocido como uno de los iniciadores de las novelas con “trama matemática” y ha dirigido además teatro y cine. Pero lo que importa en este caso es que la popularidad alcanzada por la novela devino en la oferta (que nadie pudo reclamar aún) de los editores.

Hay otra Conjetura también planteada por Goldbach, conocida con el nombre de “La Conjetura Impar de Goldbach”, que dice que todo número impar mayor que cinco se escribe como la suma de tres números primos. Esta conjetura recibe el nombre de «conjetura débil de Goldbach» porque la conjetura fuerte de Goldbach sobre la suma de dos números primos, si se demuestra, demostraría automáticamente la conjetura débil de Goldbach.

Dos trabajos publicados en los años 2012 y 2013 por el matemático peruano afincado en Francia Harald Helfgott, que reivindican la mejora de las estimaciones de los arcos mayores y menores, se consideran suficientes para demostrar incondicionalmente la conjetura débil de Goldbach. De este modo la conjetura queda demostrada después de 271 años. De modo que dicha conjetura pasa a ser un teorema, i. e. una proposición cuya verdad se puede demostrar. Su trabajo aún está bajo revisión por pares.

Si bien toda conjetura puede resultar falsa, la opinión “educada” de los expertos en teoría de números es que lo que pensó Goldbach es cierto y sólo es una cuestión de tiempo hasta que aparezca la demostración (Paenza, 2005).

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