Fórmulas Para Obtener Números Primos

Post date: 08-may-2014 0:34:02

A esta altura, doy por sobreentendido que usted sabe lo que es un número primo. Ya sabe además que son infinitos. La pregunta, entonces, es: ¿cómo hacer para encontrarlos todos? Es decir, ¿habrá alguna fórmula que provea todos los primos? Por ejemplo, si uno quiere conseguir todos los números pares, sabe que la fórmula es:

O sea, uno toma un número n cualquiera, lo multiplica por 2 y obtiene un número par. Y cualquier número par se obtiene de esa forma también, con lo cual siempre se puede escribir de la forma que aparece en (1).

Si uno quiere encontrar una fórmula que permita calcular todos los números impares, hace lo siguiente:

Usted elija cualquier número n, reemplácelo en la fórmula (2), y obtendrá un número impar. Y como antes con los pares, todos los números impares se obtienen de esa forma.

Por último, si uno quiere calcular todos los cuadrados, o sea, todos los números que resultan ser el producto de un número natural por sí mismo, basta con hacer:

y otra vez, todos los cuadrados se obtienen de esa forma. ¿Por qué me interesa decir que tanto todos los pares, como todos los impares, como todos los cuadrados se pueden obtener de acuerdo con las fórmulas (1), (2) y (3) respectivamente? Porque los matemáticos andan a la búsqueda de una fórmula que provea todos los números primos. Ya se sabe que una fórmula de ese tipo no puede tener la forma de un polinomio; es decir, no puede ser como las ecuaciones (1), (2) y (3). Incluso se sabe también que ni siquiera aligerando un poco las hipótesis y sin pedir que la fórmula diera primos para todos los naturales n, sino sólo para algunos (pero infinitos) valores de n, aún así se sabe que no puede existir ningún polinomio que los provea. Por otro lado, uno se contentaría, ya no con obtener todos los números primos, sino al menos con obtener algunos de ellos.

En un momento determinado, apareció una expresión que generó alguna esperanza:

… pero duró poco. Es que el polinomio

Permite obtener primos para todos los números n menores que 40. Revisemos la siguiente tabla:

En la primera columna figuran los primeros treinta y nueve números naturales. En la segunda, el resultado de aplicar la fórmula:

para cada número n que figura a la izquierda. Todos los números de la segunda columna son números primos, lo cual permitió alentar alguna esperanza de que se pudiera seguir. Sin embargo, como escribí más arriba, duró poco, porque, si uno calcula la fórmula en el caso en que n = 40 entonces se obtiene el número 1.681, que ya no es primo. En realidad, no sólo no es primo, sino que es un cuadrado:

1.681 = 41 · 41 = 412

Otro hecho curioso (y precioso a la vez) es que, si uno resta de a dos los términos de la segunda columna, se tiene la siguiente tabla:

O sea, que si uno considera la fórmula como:

Las diferencias que figuran en la tercera columna resultan de hacer:

Para cada uno de los valores de n que figuran en la primera columna.

Otra fórmula interesante que involucra a los primos es:

(Y ya no es primo sino compuesto).

Sigo:

Los siguientes primos de la forma

(Con p primo), aparecen cuando

Es decir, se obtienen números primos para algunos valores de p, pero no para todos.

Por último, un pequeño párrafo para la distribución de los primos. Si bien se sabe que hay infinitos primos, es interesante notar que, a medida que uno va recorriendo los números, son cada vez menos densos o, lo que es lo mismo, aparecen cada vez más espaciados.

Fíjese en esta lista:

– Entre los primeros 100 números naturales, hay 25 primos. O sea, 1 de cada 4.

– Entre los primeros 1.000 números naturales, hay 168 primos. O sea, 1 de cada 6.

– Entre los primeros 10.000 números naturales, hay 1.229 primos, o sea 1 primo cada 8,1 números.

– Entre los primeros 100.000 números naturales, hay 9.592 primos, o sea, 1 cada 10,4 números.

– En el primer 1.000.000 de números naturales, hay 78.498 primos, o sea 1 en 12,7.

– Entre los primeros 10.000.000 de números naturales, hay 664.579 primos, o sea 1 en 15.

Y para terminar, dos datos más:

Entre los primeros 100.000.000 de números naturales hay 5.761.455 primos, o sea 1 en 17,3; y entre los primeros 1.000.000.000 de números naturales, hay 50.847.534 números primos, lo que representa una proporción de 1 cada 19,6.

Es decir:

La función P(n) o π(n) es la que cuenta el número de primos que hay entre el número 1 y el número n. Por ejemplo, mirando la tabla que figura acá arriba se deduce que:

Además, hay un teorema que permite estimar el número de primos que hay entre 1 y n, o sea, el valor aproximado de π(n).

Como se ve en estos pocos ejemplos, los números primos son una usina generadora de intrigas dentro de la matemática. Se sabe que son infinitos, pero no existe ninguna fórmula que permita generarlos a todos. Más aún: ni siquiera se conoce una fórmula que permita obtener infinitos números primos, aunque no sean todos. Se conocen los primos gemelos, pero no se sabe sin son infinitos. Se cree que todo número par (salvo el 2) es la suma de dos primos, conjetura que se debe a Goldbach, pero se desconoce la demostración. Son los genes o átomos que producen los números naturales. Son los que dan origen al famoso Teorema fundamental de la aritmética. Son los que permiten hoy encriptar los mensajes de Internet, hacer transacciones bancarias garantizando la Identidad, retirar dinero en los cajeros automáticos, es decir, se saben muchísimas cosas sobre ellos… pero, aun así, todavía resultan resbaladizos y difíciles de domar. (Paenza, MATEMÁTICA… ¿ESTÁS AHÍ? Episodio 3,14, 2007)