El Problema de Brocard

Post date: 09-may-2014 14:07:37

Quiero plantear ahora un problema abierto (sin solución) hasta hoy, mediados de 2014. Necesito que nos pongamos de acuerdo con la notación, para que se entienda el enunciado. Por un lado, lo que se llama el factorial de un número natural n, y se escribe n! se define como:

Por ejemplo:

O sea, el "factorial de un número n" consiste en multiplicar todos los números para atrás, hasta llegar al 1, incluyendo al mismo n.

Por otro lado, “elevar un m número al cuadrado”, o sea m², es multiplicarlo por sí mismo. Por ejemplo:

Ahora estoy en condiciones de plantear el problema. Lea las siguientes tres igualdades:

Haga las cuentas conmigo:

O sea, las tres igualdades cumplen esta ecuación:

Lo interesante, entonces, es que al “mirar” las “tres” igualdades de (*), uno advierte que en cada caso, hay un par de números que cumplen la ecuación (**).

Es decir, hay tres ejemplos de pares de números, que cumplen con la ecuación (**). Lo que no se sabe hasta hoy es si hay otros pares de números que cumplan esa ecuación. Los únicos conocidos son esos tres (5, 4), (11, 5) y (71, 7). El famoso matemático húngaro Paul ErdŐs conjeturó que no hay otros, pero, hasta hoy, no se sabe.

El problema se conoce con el nombre de “Problema de Brocard”, y los pares de números que cumplen la ecuación (**) se llaman “Números de Brown”.

En 1906 ya se sabía (lo demostró Gérardin) que, si el número m > 71 (mayor que 71), entonces tenía que tener por lo menos 20 dígitos.

Otro que visitó el problema fue el famoso Ramanujan, quien lo abordó en 1913. En 1994, Guy fue otro de los que afirmó que lo más probable era que no hubiera más soluciones.

Todo bien, pero hasta el momento no hay certeza al respecto. ¿Quiere intentar?