El método de Taylor mas simple es el de Euler, este método es histórico, ya que tiene aproximadamente 2 siglos, y es el mas simple, por lo cual también es el mas inexacto de todos. Puede derivarse de varias formas, la mas sencilla es truncar la serie de Taylor en un termino, es decir:
Es un método de 1er orden, es decir, O(H). Geométricamente aproxima la solución mediante líneas rectas.
Método de Euler Mejorado
Otro método sencillo es el método de Euler Mejorado. Este método es predictor corrector. Sus fórmulas son:
Este método es de orden O(H2).
Este método también puede expresarse como un método implícito. Si solo consideramos la ecuación del corrector tenemos:
yi+1 depende de si mismo. Para aplicar este método en esta forma se requiere resolver una ecuación no lineal, ya que se puede escribir en la forma:
es posible resolverla con los métodos del capitulo 3.
En la practica se prefiere un procedimiento mas simple. Comenzando con un valor inicial obtenido de la ecuación del predictor, se sustituye en la ecuación. Con esto se genera un valor nuevo de . Este se vuelve a sustituir y se obtiene otro valor de . El procedimiento se repite hasta que no cambie. Esto lo verificamos con un criterio de convergencia, el cual puede ser:
en este caso m es el índice de la iteración. Este procedimiento se conoce como rectificación. El valor final es el que se tabula. Por supuesto que mas laborioso que si se considera el método como predictor corrector. En algunos textos, el método se presenta como predictor corrector. En otros se expresa como un método implícito.