Una de las dificultades de la interpolación de Lagrange, es que el error es difícil (o imposible) de calcular. La forma habitual de trabajar es ir incrementando el orden de los polinomios, hasta que se obtiene un valor deseado. Sin embargo, cada cálculo es independiente del previo, perdiéndose contacto entre uno y otro. Los polinomios de Legendre también se pueden generar aprovechando los cálculos previos, en forma iterativa.
Calcularemos, usando los valores dados en table.dat, los polinomios de Lagrange de distinto orden y con distinta combinaciones de puntos adyacentes, para x=1.5. Llamaremos Pi,j,k(x) al polinomio de Lagrange de orden 2, que pasa por los puntos adyacentes x=xi, x=xj y x=xk. Se puede demostrar que el polinomio de Lagrange que pasa por los puntos adyacentes x=xi, x=xj, x=xk y x=xl se obtiene haciendo:
(x-xi)Pjkl - (x-xl)Pijk
P(x) = Pijkl(x) = ---------------------------
(xl-xk)
Por ejemplo:
(r-x1)P2 - (r-x2)P1
P12® = -----------------------------
( x2 - x1 )
en el caso de r=1.5 :
(1.5 - 1.0)0.6200860 - (1.5 - 1.3)0.7651977
P12(1.5) = ---------------------------------------------- = 0.5233449
( 1.3 - 1.0 )
o
(1.5 - 1.3)0.4554022 - (1.5 - 1.6)0.6200860
P23(1.5) = ---------------------------------------------- = 0.5102968
( 1.6 - 1.3 )
y en orden mas elevado:
(1.5 - 1.0)0.5102968 - (1.5 - 1.6)0.5233449
P123(1.5) = ---------------------------------------------- = 0.5124715
( 1.6 - 1.0 )