Sea
el valor de la integral que aproxima a , mediante una partición de subintervalos de longitud
y usando la regla del trapecio. Entonces,
donde es el error de truncamiento que se comete al aplicar la regla.
El método de extrapolación de Richardson combina dos aproximaciones de integración numérica, para obtener un tercer valor más exacto.
El algoritmo más eficiente dentro de éste método, se llama Integración de Romberg , la cual es una fórmula recursiva.
Supongamos que tenemos dos aproximaciomnes :
e
Se puede demostrar que el error que se comete con la regla del trapecio para n subintervalos está dado por las siguientes fórmulas:
donde es un promedio de la doble derivada entre ciertos valores que pertenecen a cada uno de los subintervalos.
Ahora bien, si suponemos que el valor de es constante, entonces :
Sustituyendo esto último en nuestra primera igualdad, tenemos que:
De aquí podemos despejar :
En el caso especial cuando (que es el algoritmo de Romberg), tenemos :
Esta fórmula es solo una parte del algoritmo de Romberg. Para entender el método, es conveniente pensar que se trabaja en niveles de aproximación. En un primer nivel, es cuando aplicamos la regla del Trapecio, y para poder usar la fórmula anterior, debemos de duplicar cada vez el número de subintervalos: así, podemos comenzar con un subintervalo, luego con dos, cuatro, ocho, etc, hasta donde se desee.
Posteriormente, pasamos al segundo nivel de aproximación, que es donde se usa la fórmula anterior, tomando las parejas contiguas de aproximación del nivel anterior, y que corresponden cuando
.
Después pasamos al nivel tres de aproximación, pero aquí cambia la fórmula de Romberg, y así sucesivamente hasta el último nivel, que se alcanza cuando solo contamos con una pareja del nivel anterior.
Desde luego, el número de niveles de aproximación que se alcanzan, depende de las aproximaciones que se hicieron en el nivel 1. En general, si en el primer nivel, iniciamos con n aproximaciones, entonces alcanzaremos a llegar hasta el nivel de aproximación n.
Hacemos un diagrama para explicar un poco más lo anterior.