El método de Bairstow es un proceso iterativo relacionado aproximadamente con los métodos de Müller y Newton-Raphson. Recuérdese la forma factorizada de un polinomio, ej:
Si se divide entre un factor que no es una raíz (por ejemplo, ), el cociente podría ser un polinomio de cuarto orden. Sin embargo, en este caso, podría haber residuo.
Con estas bases se puede elaborar un algoritmo para determinar la raíz de un polinomio: 1) suponiendo que el valor inicial de la raíz es , 2) al dividir el polinomio entre el factor , y 3) determinando si existe un residuo. Si hay un residuo, el valor puede ajustarse en forma sistemática y el procedimiento repetirse hasta que el residuo desaparezca y la raíz sea localizada.
El método de Bairstow se basa por lo general en esta aproximación. El proceso matemático depende de dividir el polinomio entre un factor. Por ejemplo, el polinomio general
Puede dividirse entre el factor para producir un segundo polinomio que dé un orden más bajo, con un residuo , donde los coeficientes son calculados por la relación de recurrencia.
para a 0
Obsérvese que si t fue una raíz del polinomio original, el residuo b0 sería igual a cero.
Para permitir la evaluación de raíces complejas, el método de Bairstow divide el polinomio entre un factor cuadrático . El resultado es un nuevo polinomio con un residuo
Como con una división sintética normal, la simple relación de recurrencia puede usarse para realizar la división entre un factor cuadrático:
para a 0
El factor cuadrático se introduce para permitirla determinación de las raíces complejas.
Los cambios, y , necesarios para mejorar nuestros valores iniciales se pueden estimar por medio de:
Bairstow muestra que las derivadas parciales pueden obtenerse por división sintética de las b en forma similar al camino en el cual las b en si mismas fueron derivadas:
para a 0
Entonces, las derivadas parciales se obtienen por división sintética de las b. Así, las derivadas pueden sustituirse en las ecuaciones anteriores junto con las b para dar:
Estas ecuaciones pueden resolverse para y , las cuales pueden emplearse para mejorar los valores iniciales de r y s. en cada paso, el error aproximado en r y s puede ser estimado.