3.1.2 Gauss – Seidel.

La iteración de Gauss-Seidel se define al tomar Q como la parte triangular inferior de A incluyendo los elementos de la diagonal:

Si, como en el caso anterior, definimos la matriz R=A-Q

y la ecuación (63) se puede escribir en la forma:

Qx^(k) = -Rx^(k-1) + b

Un elemento cualquiera, i, del vector Qx^(k) vendrá dado por la ecuación:

Si tenemos en cuenta la peculiar forma de las matrices Q y R, resulta que todos los sumandos para los que j > i en la parte izquierda son nulos, mientras que en la parte derecha son nulos todos los sumandos para los que

. Podemos escribir entonces:

de donde despejando x_i^(k), obtenemos:

Obsérvese que en el método de Gauss-Seidel los valores actualizados de x_i sustituyen de inmediato a los valores anteriores, mientras que en el método de Jacobi todas las componentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a cabo la sustitución. Por contra, en el método de Gauss-Seidel los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor x_i depende de los valores actualizados de x₁, x₂, ..., x_i-1.

En la figura (15) se incluye un algoritmo para la iteración de Gauss-Seidel.