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En general, en todos los procesos iterativos para resolver el sistema Ax=b se recurre a una cierta matriz Q, llamada matriz descomposición, escogida de tal forma que el problema original adopte la forma equivalente:
Qx = (Q-A)x+b
(62)
La ecuación (62) sugiere un proceso iterativo que se concreta al escribir:
(63)
El vector inicial x(0) puede ser arbitrario, aunque si se dispone de un buen candidato como solución éste es el que se debe emplear. La aproximación inicial que se adopta, a no ser que se disponga de una mejor, es la idénticamente nula
. A partir de la ecuación (63) se puede calcular una sucesión de vectores x(1), x(2), .... Nuestro objetivo es escoger una matriz Q de manera que:
se pueda calcular fácilmente la sucesión [x(k)].
la sucesión [x(k)] converja rápidamente a la solución.
Como en todo método iterativo, deberemos especificar un criterio de convergencia y un número máximo de iteraciones M, para asegurar que el proceso se detiene si no se alcanza la convergencia. En este caso, puesto que x es un vector, emplearemos dos criterios de convergencia que se deberán satisfacer simultáneamente:
1.
El módulo del vector diferencia, , partido por el módulo del vector x, deberá ser menor que la convergencia deseada:
2.
La diferencia relativa del mayor elemento en valor absoluto del vector x(k), , deberá ser diez veces menor que :
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